陕西省、青海省部分学校2024届高三上学期9月联考理科数学试题

绝密★启用前

高三数学考试（理科）

（考试时间：120分钟   试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，则（    ）．

A． B． C． D．

3．已知函数，则下列说法正确的是（    ）．

A．的图象关于直线对称

B．的图象关于点对称

C．的最小正周期为

D．若将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数的图象

4．已知的每条边长均为2，D，E分别是，的中点，则（    ）．

A． B． C． D．3

5．曲线在点处的切线方程为（    ）．

A． B． C． D．

6．设椭圆，的离心率分别为，，若，则（    ）．

A．1 B．2 C． D．

7．已知函数在区间上单调递减，则a的最小值为（    ）．

A．1 B．2． C．3 D．4

8．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（    ）．

A． B． C． D．

9．已知某圆柱的轴截面是边长为2的正方形，在该圆柱的底面内任取一点E，则当四棱锥的体积最大时，该四棱锥的侧面积为（    ）．

A．  B．

C．  D．

10．甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（    ）．

A．144 B．864 C．1728 D．2880

11．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某网络直播平台调研“大学生是否喜欢观看体育比赛直播与性别有关”，从某高校男、女生中各随机抽取100人进行问卷调查，得到如下数据．

通过计算，有95％以上的把握认为大学生喜欢观看直播体育比赛与性别有关，则在被调查的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为（    ）．

附：，其中．

A．55 B．57 C．58 D．60

12．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的渐近线方程为（    ）．

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．若x，y满足约束条件，则的最小值为__________．

14．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的正整数P的最小值为__________，最大值为__________．（本题第一空3分，第二空2分）

15．黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比，其比值为，上述比例又被称为黄金分割．将底和腰之比等于的等腰三角形称为黄金三角形，若某黄金三角形的一个底角为C，则__________．

16．已知正三棱柱内接于半径为2的球，则该正三棱柱体积的最大值为__________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）已知数列满足，．

（1）证明：是等比数列．

（2）设，求数列的前n项和．

18．（12分）人工智能（AI）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（AI）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在该知识竞赛中的情况，现采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，分数分布在450～950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示．将分数不低于850分的学生称为“最佳选手”．

（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生分数的中位数；

（2）现采用分层抽样的方法从分数落在，内的两组学生中抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“最佳选手”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

19．（12分）将沿它的中位线折起，使顶点C到达点P的位置，使得，得到如图所示的四棱锥，且，，E为的中点．

（1）证明：平面平面．

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（12分）设函数（且）．

（1）当时，求的单调区间；

（2）设，证明：当时，．

21．（12分）已知抛物线的方程为．

（1）若M是上的一点，点N在的准线l上，的焦点为F，且，，求；

（2）设为圆外一点，过P作的两条切线，分别与相交于点A，B和C，D，证明：当P在定直线上运动时，A，B，C，D四点的纵坐标乘积为定值的充要条件为．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为．以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线和直线的极坐标方程；

（2）若直线与曲线交于M，N两点，求的值．

23．[选修4-5；不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若存在，使得成立，求m的取值范围．

高三数学考试参考答案（理科）

1．C   因为，，所以．

2．A   ．

3．D   因为，

所以，，A错误，B错误．

显然的最小正周期为，C错误．

将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数的图象，D正确．

4．C   因为是的中位线，

所以，，．

又，所以．

5．A

因为，所以所求切线的斜率，

故该切线的方程为．

6．B   因为，所以，解得．

7．D

令，因为是增函数，所以在区间上单调递减，

所以，解得．

8．A

因为，所以，

整理得，

所以．

因为，所以．

又，所以，从而．

又，所以．

9．B

四棱锥体积，其中d为E到的距离，

因为正方形的面积为定值，所以当E为的中点时，四棱锥的体积最大，

连接，，

此时其侧面积．

10．C

甲家庭的站法有种，乙家庭的站法有种，

最后将两个家庭的整体全排列，有种站法，

则所有不同站法的种数为．

11．C

因为

，

所以，

又，所以，解得，

故在被调查的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为58．

12．D

因为，所以∽．

设，则，设，则，．

因为平分，由角平分线定理可知，，

所以，所以．

由双曲线定义知，即，解得．

又由，得，

所以，即是等腰三角形．

由余弦定理知，

即，化简得，所以，

则双曲线的渐近线方程为．

13．

画出可行域（图略）知，当直线过点时，z取得最小值．

14．6；17    执行程序框图，

，，，，满足；

，，满足；

，，满足；

，，满足．

所以，，所以正整数P的最小值和最大值分别为6和17．

15．

设这个黄金三角形的另一个底角为B，顶角为A，

因为，所以，

则．

16．8

设的外接圆半径为r，边长为a，正三棱柱的高为，

则，，即，

所以正三棱柱的体积．

又，当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以当时，函数取得最大值．

17．（1）证明：由，得，（1分）

所以，（3分）

故是公比为3的等比数列．（4分）

（2）解：由（1）得，则，．（6分）

所以，

所以．（7分）

两式相减，得，（9分）

所以，（11分）

解得．（12分）

18．解：（1）由题意知，

解得，（1分）

分数段对应的频率为0.1，对应的频率为0.35，对应的频率为0.25，

设中位数为x，则．（3分）

由，解得．（5分）

（2）由题意知从分数段对应的学生中抽取5人，

从对应的学生中抽取2人，随机变量X的所有可能取值为0，1，2．（7分）

则，（8分）

，（9分）

，（10分）

随机变量X的分布列为

所以．（12分）

19．（1）证明：因为为的中位线，

所以．（1分）

因为，所以，，（3分）

又，所以平面，（4分）

因为平面，所以平面平面．（5分）

（2）解：取的中点O，连接，

因为，所以．

因为平面平面，所以平面，且，（6分）

分别以，的方向为y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，．（8分）

设是平面的法向量，

可得，令，得，（10分）

则，

所以与平面所成角的正弦值为．（12分）

20．（1）解：当时，因为，所以，（1分）

令，得，（2分）

所以在上单调递减，在上单调递增．（4分）

（2）证明：（法一）易知当时，，，

所以．（6分）

由题设知，．（7分）

令，得，（8分）

由上可知，，故．（10分）

当时，，单调递减，

当时，，单调递增．（11分）

又，所以当时，．（12分）

（法二）因为，且，

所以在上单调递增．（5分）

又，设，则，

可知在上单调递减，所以，即．（7分）

又，设，

则，可知在上单调递增，

所以，即．（9分）

所以存在唯一的，使得，

且在上单调递减，在上单调递增．（11分）

因为，所以当时，．（12分）

21．（1）解：由题意可得，抛物线的焦点为，准线．（1分）

不妨设点，则，

即，可得，即，

所以，则直线的斜率．（3分）

为，所以直线的斜率，

所以直线的方程为，

令，解得，即，

故．（5分）

（2）证明：设，由，，

知过P所作圆的切线的斜率k存在且非零，每条切线都与有两个交点，

设切线方程为，即，

故，整理得，①（7分）

则过P所作的两条切线，的斜率，分别是方程①的两个实根，

故有，．②（8分）

联立，消去x得，③

设点A，B，C，D的纵坐标分别为，，，，

由③得，

同理可得．（9分）

于是得．

设（其中为常数），

把②式代入整理得，（10分）

欲使上式与的取值无关，则当且仅当常数且时，A，B，C，D四点的纵坐标乘积为定值．（12分）

22．解：（1）曲线的参数方程为（为参数），

其普通方程为，即，（2分）

则的极坐标方程为．（3分）

直线的方程为，

所以直线的极坐标方程为．（5分）

（2）设，，

将代入，（7分）

得，（8分）

所以，（9分）

所以．（10分）

23．解：（1）化简得．（1分）

当时，解得，所以；（2分）

当时，解得，此时无解；（3分）

当时，解得，所以．（4分）

综上所述，原不等式的解集为．（5分）

（2）因为，（7分）

所以．（8分）

由题意知，解得，

所以m的取值范围是．（10分）