河北省唐山市邯郸市等2地2023届高三上学期期末数学试题

河北省2023届高三年级质量监测考试

数学

本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场/座位号、考生号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若，则在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

3.已知向量，，则等于（    ）

A.52 B.-43 C.-10 D.76

4.风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.因龙被视为中华古老文明的象征，再加上大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴而广受喜爱.某团队耗时3个多月做出一长达180米、重约20公斤，“龙身”共有140节“鳞片”的巨龙风筝.制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定鳞片骨架按图中规律创作.则所有鳞片中竹质鳞片个数为（    ）

A.120 B.124 C.128 D.130

5.右图直角梯形中，，且，以为轴旋转一周，形成的几何体中截一正四棱台的最大体积为（    ）

A. B. C.7 D.

6.下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是（    ）

A. B.

C. D.

7.由空间一点出发不共面的三条射线，，及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为.其中叫做三面角的顶点，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三个面角，分别记为，，，二面角、、叫做三面角的二面角，设二面角的平面角大小为，则一定成立的是（    ）

A. B.

C. D.

8.已知函数有两个零点，则的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

二、不定项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.下列大小关系正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

10.已知抛物线：的焦点为，直线（且）交与、两点，直线、分别与的准线交于、两点，（为坐标原点），下列选项错误的有（    ）

A.且，

B.且，

C.且，

D.且，

11.函数，则（    ）

A.的最小正周期为 B.为偶函数

C.的最小值为 D.在区间单调递增

12.已知函数，则（    ）

A.时，

B.时，单调递增

C.时，有两个极值点

D.若有三个不等实根，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.除以1000的余数是________.

14.双曲线：的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线交的渐近线于点，恰为的角平分线，则的离心率为________.

15.土壤修复是使遭受污染的土壤恢复正常功能的技术措施.中国现有耕地有近1/5受到不同程度的污染，但随着新发展理念深入贯彻落实，国家对环境保护工作越来越重视.2021年我国正式启动（含已招标项目，不含未招标、流标项目）的土壤修复工程项目共510个，合同总金额为121.56亿元，覆盖全国除西藏、港、澳、台的30个省（区、市）.如图为2021年30个省区市土壤修复工程类项目数量的前十名，则这30个省（区、市）土壤修复工程类项目数据的第80分位数是________，若图中未列出的其它20个省（区、市）土壤修复工程类项目数量的方差为44.7，则这30个省（区、市）土壤修复工程类项目数据的总体方差为________.

16.将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）在中，角、、所对的边长分别为、、，且.

（1）求的值.

（2）若的面积为1，求的周长的最小值.

18.（12分）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，为圆的直径，.

（1）求点到面的距离；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

19.（12分）已知数列各项都不为0，，，的前项和为，且满足.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

20.（12分）数据中心是全球协作的特定设备网络，用于在网络上处理、存储和传递数据信息.由于数据中心对算力的要求很高，在高速运转时往往会产生巨大的热量.如果不对设备进行散热，会对设备的正常运作造成不可忽视的影响.氟化液是最为适合浸没式液冷系统的电子设备冷却液.由于氟化液技术壁垒较高，此前高性能电子氟化液长期被国外垄断.2020年巨化集团技术中心成功开发出高性能巨芯冷却液，填补了国内高性能大数据中心专用冷却液的空白.一工厂生产某型号的氯化液其抗张强度⩾100Mpa为合格品，否则为不合格品.该厂有新旧两套生产设备同时生产，按两设备生产量分层抽样进行检测，其中新设备和旧设备生产的产品中分别抽取了12桶和8桶，测得每桶抗张强度值（单位：Mpa）如下表所示：

（1）根据抽检结果请完成下面的列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析新设备是否比旧设备好.

（2）从旧设备产品抽得的样本中随机抽取3桶，求抽到的不合格桶数的分布列和数学期望；

（3）从该厂所有产品中任取一桶，用抽检频率估计概率，求抽到的一桶不合格的概率.

参考公式：，其中.

21.（12分）已知双曲线：的左焦点为，其一渐近线的倾斜角为，过双曲线右焦点的直线与交于、两点.

（1）求双曲线的方程.

（2）已知点，点，直线、与轴分别交于点、，若四边形存在外接圆，求直线的方程.

22.（12分）若函数，.

（1）求函数在处的切线方程；

（2）当时，讨论函数零点个数；

（3）当时，证明：.

数学试题答案与解析

1.B  2.C  3.B  4.B  5.B  6.D  7.A  8.A

9.BC  10.ACD  11.BC  12.BCD

13.24  14.2

15.30  188.6

【解析】30个行政区域

前10名的平均数为

∴前10名的方差为

除前10名外的20个省的平均数为，方差为44.7

而30个省的平均数为17，

方差

16.

【解析】设①

②

由①-②得：

∴

17.解：（1）由已知

得

……………………………………………………（2分）

∵为内角，

∴

∴，

∴.……………………………………………………………………（4分）

（2）∵，

则.……………………………………………………………………（6分）

且…………（8分）

当且仅当时，即时，等号成立.

∴

当且仅当时，取等号.

∴周长最小值为..………………………………………………（10分）

18.解：（1）∵

∴

∵

∴到的距离为

∵面面

∴到面的距离为……………………………………………………（2分）

………………………………………………………………（4分）

（2）以为坐标原点，垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的坐标系.

，，，

设为平面法向量

，…………………………………………（6分）

取……………………………………………………（8分）

设为平面法向量

，

取…………………………………………………………（10分）

设面与面夹角为，

.……………………………………………………（12分）

19.解：（1）∵①

当时，②

①-②

∵

∴……………………………………………………（2分）

∴的奇数项和偶数项各自成等差数列且，

∴，

∴（为奇数）………………………………………………（3分）

∴，

∴（为偶数）………………………………………………（4分）

∴………………………………………………（5分）

（2）等差数列性质：若则与组合性质，

可得，

且，，⋯，，，

进而有，………………………………（7分）

于是，①

②

由①+②得

整理得，

即..……………………………………………………………………（9分）

∵的前项和为

∴

∴

∴…………………………………………………………（12分）

20.解：（1）由题意，该型号氯化液其抗张强度⩾100Mpa为合格品，否则为不合格品，根据图表中的数据，可得新设备抽到合格品10桶，不合格品有2桶，旧设备抽到合格品6桶，不合格品有2桶，得到列联表：

零假设为：设备新旧与产品合格独立，即设备新旧与产品合格没有关系.

，…………………………………………………………（2分）

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为产品合格与设备新旧无关.

（2）由（1）知旧设备合格品6桶，不合格品有2桶，所以从中随机抽取3桶，，

，，，……（6分）

故的期望为.…………………………（8分）

（3）由题意，知新旧设备加工的产量比例为，所以该厂所有产品中新设备生产的占比为，旧设备生产的占比为.新设备的不合格率为，旧设备的不合格率.

设“任取一桶产品不合格”，“产品为新设备生产”，“产品为旧设备生产”

得，，，.…………………………（10分）

由全概率公式得：

所以从该厂所有产品中任取一桶，该桶不合格的概率为.…………………………（12分）

21.解：（1）由题意知：

解得

∴双曲线的方程为…………………………………………（3分）

（2）设直线的方程为

联立方程

得………………………………（4分）

设，

则，…………………………………………（5分）

直线为

令，得

∴点为

同理，为………………………………………………………………（7分）

∵四边形存在外接圆

需

即

………………………………………………（8分）

得

得…………………………………………（10分）

∴直线为

即………………………………………………………………（12分）

22.解：（1）

………………………………………………………………（2分）

∴在处的切线方程为……………………………………（3分）

（2）

∴

令得

即………………………………………………（5分）

令

时，或1

当时，，单调递增

时，，单调递减

时，，单调递减

时，，单调递增

时，，时，，时，

当时，无零点

或或时，有一个零点

或时，有两个零点

时，有三个零点.…………………………………………（7分）

（3）法一：∵

证：

即证………………………………………………（8分）

令

令，得且单调递增

时，，单调递减

时，，单调递增

∴最小值为

得

即……………………………………………………（10分）

令

∵，

∴单调递增

且

∴时，，单调递减

时，，单调递增

∴在时最小为

即

……………………………………………………（11分）

又∵时，

∴

即

……………………………………………………（12分）

法二：当时

证：

即证…………………………………………（8分）

即

令

则

∵，∴

∴在单调递增………………………………………………（10分）

而

∴当时，，单调递减

时，，单调递增

∴

∴原不等式成立.……………………………………………………（12分）