人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算课时训练

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算课时训练，共10页。试卷主要包含了故选D等内容，欢迎下载使用。
1．1　空间向量及其运算1.1.1　空间向量及其运算知识点一  空间向量的有关概念1.下列命题中，假命题是(　　)A．向量与的长度相等B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等答案　D解析　共线的单位向量是相等向量或相反向量．故选D.2．下列命题正确的有(　　)①若a＝b，b＝c，则a＝c；②空间向量a，b相等的充要条件是③|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件；④＝的充要条件是A与C重合，B与D重合．A．1个  B．2个  C．3个  D．4个答案　B解析　①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，故a＝c；②不正确．由a∥b，知a与b的方向相同或相反；③正确．a＝b⇒|a|＝|b|，但|a|＝|b|a＝b；④显然不正确．故选B.3．下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是(　　)A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等C．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同答案　C解析　零向量的方向是任意的，且长度为0.两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故选C.知识点二  空间向量的加减运算4.已知空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－等于(　　)A.   B.  C.   D.答案　D解析　＋－＝(＋)－＝－＝.故选D.5．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是(　　)A.＋＝  B.＋＋＝0C.－＝  D.＝－答案　B解析　B中向量的和应该是零向量，而不是数0，故选B.6．在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　)A．a＋b＋c   B．c－a－bC．a－b－c   D．b－a＋c答案　B解析　如图所示，＝＋＝＋＋＝－b－a＋c.故选B.7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量的共有(　　)①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.A．1个   B．2个  C．3个   D．4个答案　D解析　根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知①②③④都是符合题意的．故选D.8．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　)A.－－  B.＋－C.－－  D.－＋答案　AB解析　选项A中，－－＝－＝；选项B中，＋－＝＋＝；选项C中，－－＝－＝－＝≠；选项D中，－＋＝＋＋＝＋≠.故选AB.知识点三  空间向量的线性运算9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　)A．x＝1，y＝   B．x＝，y＝1C．x＝1，y＝   D．x＝1，y＝答案　D解析　因为＝＋＝＋＝＋(＋)，所以x＝1，y＝.故选D.10．已知空间四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.答案　3a－b＋3c解析　连接BE，EF，∵＝(＋)＝(－＋)，＝＝(－)＝(＋)，∴＝－＝(＋)－(－＋)＝(＋)＝(5a－5b＋8c＋a－2c)＝(6a－5b＋6c)＝3a－b＋3c.知识点四  空间向量的数量积11.已知空间向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　)A．12   B．8＋C．4   D．13答案　D解析　(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|·cos120°＝2×4－2×5×＝13.故选D.12.如图，正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么(　　)A.·<·B.·＝·C.·>·D.·与·不能比较大小答案　C解析　根据题意，得⊥，∴·＝0，又·＝(＋)·＝·(－)＋·＝||||cos120°－||||cos120°＋||||cos120°<0，∴·>·.故选C.13．已知a，b是空间向量，|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a在b方向上的投影的数量为(　　)A．－  B.  C．－  D.答案　D解析　∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝0，又|a|＝1，|b|＝，∴|a|cos〈a，b〉＝，即a在b方向上的投影的数量为.故选D.14．已知a，b均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝(　　)A.  B.  C.   D．4答案　C解析　|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝|a|2＋6|a||b|cos〈a，b〉＋9|b|2，∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴|a＋3b|2＝13，∴|a＋3b|＝.故选C.  一、选择题1．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)A．平行四边形   B．空间四边形C．等腰梯形   D．矩形答案　A解析　∵＋＝＋，∴＝.∴∥且||＝||.∴四边形ABCD为平行四边形．故选A.2．已知a，b是空间向量，|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则a在b方向上的投影的数量为(　　)A．4  B.  C．－   D．－3答案　B解析　设a与b的夹角为θ，则a在b方向上的投影的数量为|a|cosθ＝＝.3．在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且＝α＋β，则(　　)A．α＝，β＝－1B．α＝－，β＝1C．α＝1，β＝－D．α＝－1，β＝答案　A解析　根据向量加法的多边形法则以及已知可得，＝＋＋＝＋＋＝＋－＋＋＝－，∴α＝，β＝－1.故选A.4．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝(　　)A.  B.  C．－   D．0答案　D解析　·＝·(－)＝·－·＝||·||cos〈，〉－||||cos〈，〉，因为〈，〉＝〈，〉＝，||＝||，所以·＝0，所以⊥，所以cos〈，〉＝0.故选D.5．(多选)在四面体P－ABC中，以下说法正确的有(　　)A．若＝＋，则＝3B．若Q为△ABC的重心，则＝＋＋C．若·＝0，·＝0，则·＝0D．若正四面体P－ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则||＝1答案　ABC解析　对于A，∵＝＋，∴3＝＋2，∴2－2＝－，∴2＝，∴3＝＋，即3＝，故A正确；对于B，若Q为△ABC的重心，则＋＋＝0，∴3＋＋＋＝3，∴3＝＋＋，即＝＋＋，故B正确；对于C，若·＝0，·＝0，则·＋·＝0，∴·＋·(＋)＝0，∴·＋·＋·＝0，∴·＋·－·＝0，∴(－)·＋·＝0，∴·＋·＝0，∴·＋·＝0，∴·(＋)＝0，∴·＝0，故C正确；对于D，∵＝－＝(＋)－＝(＋－)，∴||＝|－－|.∵|－－|＝ ＝＝2，∴||＝，故D错误．故选ABC.二、填空题6．给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若空间向量a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任何空间向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正确命题的序号为________．答案　④解析　对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；对于②，向量是不能比较大小的，故②错误；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错误；只有④正确．7.已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP＝2PN，设向量＝a，O＝b，O＝c，则O＝________.答案　a＋b＋c解析　∵MP＝2PN，∴M＝2P，即O－O＝2(O－O)，3O＝O＋2O＝＋＋＝a＋b＋c，∴O＝a＋b＋c.8．已知空间四边形OABC，若各边及对角线长都相等，且E，F分别为AB，OC的中点，则向量与的夹角的余弦值为__________．答案　－解析　如图，不妨设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b＝b·c＝c·a＝，∵＝(a＋b)，＝c－b，且||＝，||＝.∴·＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－.∴cos〈，〉＝＝－.三、解答题9．在六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，(1)化简－＋＋，并在图中标出化简结果的向量；(2)化简＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．解　(1)在六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，－＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.如图所示．(2)＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝(－)＋(＋)＝0＋＝.如图所示：10. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求与所成的角．解　由题意，知PB＝，CD＝，∵PA⊥平面ABCD，∴·＝·＝·＝0.∵AB⊥AD，∴·＝0.∵AB⊥BC，∴·＝0.∴·＝(＋)·(＋＋)＝2＝||2＝1.∴cos〈，〉＝＝.∴与所成的角为60°.