人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.1 直线的倾斜角与斜率巩固练习

2．2　直线及其方程

2.2.1　直线的倾斜角与斜率

知识点一  直线的倾斜角与斜率

1.给出下列命题：

①任意一条直线有唯一的倾斜角；

②一条直线的倾斜角可以为－30°；

③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；

④按照直线的倾斜角概念，直线集合与集合{α|0°≤α<180°}建立了一一对应的关系；

⑤若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0,1)．

正确命题的个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

答案　A

解析　利用直线的倾斜角概念可知倾斜角α满足0°≤α<180°，因此命题②⑤不正确．又每一条直线有唯一倾斜角，但倾斜角为α的直线有无数条，因此命题③④不正确，命题①正确．故选A.

2．若直线过点(1,3)，(4,3＋)，则此直线的倾斜角是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　A

解析　直线过点(1,3)，(4,3＋)，则直线的斜率k＝＝，∴此直线的倾斜角是.故选A.

3．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A．[0，π)  B．[0，]∪[，π]

C．[0，]  D．[0，]∪[，π]

答案　B

解析　直线xsinα＋y＋2＝0的斜率为k＝－sinα，∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[，π]，故选B.

4．(多选)已知点M(2m＋3，m)，N(m－2,1)，则下列说法正确的是(　　)

A．当m∈(－∞，－5)∪(1，＋∞)时，直线MN的倾斜角为锐角

B．当m∈(－5,1)时，直线MN的倾斜角为钝角

C．当m＝1时，直线MN的倾斜角为直角

D．当m＝－5时，直线MN的倾斜角为零

答案　AB

解析　当倾斜角为锐角时，斜率kMN＝，kMN>0，则m<－5或m>1；当倾斜角为钝角时，斜率kMN＝，kMN<0，则－5<m<1；当倾斜角为直角时，两点横坐标相等，即2m＋3＝m－2，解得m＝－5；当倾斜角为零时，两纵坐标相等，即m＝1.故选AB.

5．已知M(，0)，B，A(a，)三点共线，则a＝________.

答案　2

解析　易知直线MB的斜率kMB存在，又A，B，M三点共线，所以直线MA的斜率kMA存在，且kMA＝kMB，

即＝，＝，所以a＝2.

6．已知点A(－2，－1)，B(2,5)，直线l：3x＋ay－6＝0上点C满足＝，则直线l的倾斜角大小为________．

答案　135°

解析　∵点C满足＝，∴点C为线段AB的中点，∴点C(0,2)，代入直线l的方程得，2a－6＝0，∴a＝3，

∴直线l的方程为3x＋3y－6＝0，即y＝－x＋2，∴直线l的斜率为－1，倾斜角为135°.

7．已知直线l经过点P(1,1)，且与线段MN相交，且点M，N的坐标分别是(2，－3)，(－3，－2)．

(1)求直线PM与PN的斜率；

(2)求直线l的斜率k的取值范围．

解　(1)由题意与斜率公式可知，直线PM与PN的斜率分别为kPM＝＝－4，kPN＝＝.

(2)如图所示，直线l相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x轴垂直的直线，当l由PN位置旋转到l′位置时，倾斜角增大到90°，

又kPN＝，∴k≥.

又当l从l′位置旋转到PM位置时，倾斜角大于90°，

又kPM＝－4，∴k≤－4.

综上所述，k∈(－∞，－4]∪.

知识点二  直线的方向向量与法向量

8.若直线l的方向向量为v＝(3m，－m)，m≠0，则直线的斜率为________，倾斜角为________，直线的一个法向量为________．

答案　－　150°　(－，－3)(答案不唯一)

解析　k＝tanθ＝－＝－，则θ＝150°.法向量与方向向量垂直，故为(m,3m)，m≠0，可取m＝－1，得(－，－3)(答案不唯一)．

9．已知直线l1：(a＋3)x＋y－3＝0与直线l2：5x＋(a－3)y＋4＝0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a＝________.

答案　－2

解析　当a＝3时，易知不符合题意，当a≠3时，∵直线l1：(a＋3)x＋y－3＝0，直线l2：5x＋(a－3)y＋4＝0，

∴直线l1的方向向量为a＝(1，－(a＋3))，直线l2的方向向量为b＝(1，)，∵l1的方向向量是l2的法向量，∴两直线的方向向量垂直，即a·b＝1×1＋(－a－3)×＝0，解得a＝－2，∴实数a＝－2.

一、选择题

1．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是(　　)

A．[0°，90°)  B．[90°，180°)

C．(90°，180°)  D．[0°，180°)

答案　C

解析　因为直线过第二、四象限，则直线斜率为负，因此倾斜角的范围是(90°，180°)．

2．下列各选项中，三点共线的是(　　)

A．P(－2,3)，Q(3，－2)，R(，)

B．P(－2,3)，Q(3，－3)，R(，－)

C．P(0,0)，Q(1,1)，R(1，－1)

D．P(1,1)，Q(2，－1)，R(3,2)

答案　A

解析　对于A，kPQ＝＝－1，kQR＝＝－1，所以三点共线；对于B，kPQ＝＝－，kQR＝＝－1，故三点不共线；对于C，kPQ＝1，直线QR的斜率不存在，故三点不共线；对于D，kPQ＝＝－2，kQR＝＝3，故三点不共线．

3．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为(　　)

A．－2  B．0

C.  D．2

答案　B

解析　由题意知，AB，AC所在直线的倾斜角分别为60°，120°，如图可得AB，AC所在直线的斜率分别为，－，所以＋(－)＝0.故选B.

4．过两点A(0，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为60°，则y＝(　　)

A．－9  B．－3 

C．5  D．6

答案　A

解析　k＝tan60°＝＝，解得y＝－9.

5．(多选)若直线经过(－n,2m)，(2n，－3m)两点，则下列可能为直线的法向量的是(　　)

A．(－3,0)  B．(5,3)

C．(－10,3)  D．(5，－6)

答案　AB

解析　由题意知直线的一个方向向量为(3n，－5m)．当n＝0，m＝1时，直线的一个法向量为(－3,0)，故A正确；当n＝m＝1时，直线的一个法向量为(5,3)，故B正确；当n＝1，m＝2时，直线的一个法向量为(10,3)，故C错误；当n＝2，m＝1时，直线的一个法向量为(5,6)，故D错误．故选AB.

二、填空题

6．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为________，斜率为________．

答案　30°或150°　或－

解析　如右图，直线AB的倾斜角为30°或150°，其斜率为或－.

7．在▱ABCD中，已知A(2,3)，B(5,3)，C(6,6)，则D点坐标为________．

答案　(3,6)

解析　在▱ABCD中，AB∥CD，AB与CD的倾斜角相等，故它们的斜率相等．同理，BC与AD的斜率也相等，从而求出D点坐标为(3,6)．

8．若三点(0,1)，(m，－1)，(2，n)在斜率为－3的直线上，则m＝________，n＝________.

答案　　－5

解析　已知三点(0,1)，(m，－1)，(2，n)在斜率为－3的直线上，根据斜率公式k＝知，－3＝，

解得m＝，－3＝，解得n＝－5.

三、解答题

9．如图所示，四边形OABC为等腰梯形，其中上底长为1，下底长为3，高为1，求梯形各边所在直线的斜率．

解　如图，分别过B，C作x轴的垂线，垂足为D和E，

则有OE＝ED＝DA＝1，CE＝DB＝1，

∴C(1,1)，B(2,1)，A(3,0)，

∴kOC＝＝1，kAB＝＝－1，kOA＝kBC＝0.

10．已知点A(2,4)，B(3,2)，P(x，y)是线段AB上的点．试求的最值．

解　＝表示点P(x，y)与坐标原点O连线的斜率，当点P在线段AB上变化时，直线OP的斜率k＝也随之变化，如图可知，当点P在B点时斜率最小，当点P在A点时斜率最大，因为kOB＝，kOA＝＝2，所以≤≤2，

因此所求的最大值为2，最小值为.