高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.1 圆的标准方程同步练习题

2．3　圆及其方程

2.3.1　圆的标准方程

知识点一  圆的标准方程

1.已知一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为(　　)

A．(1,0)，4  B．(－1,0)，2

C．(0,1)，4  D．(0，－1)，2

答案　D

解析　由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，知圆心为(a，b)，半径为r，易知答案为D.

2．方程(x－1) ＝0所表示的曲线是(　　)

A．一个圆  B．两个点

C．一个点和一个圆  D．一条直线和一个圆

答案　D

解析　(x－1)＝0可化为x－1＝0或x2＋y2＝3，因此该方程表示一条直线和一个圆．

3．方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆(　　)

A．关于x轴对称

B．关于y轴对称

C．关于直线x－y＝0对称

D．关于直线x＋y＝0对称

答案　D

解析　易得圆心C(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D.

知识点二  点与圆的位置关系

4.若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1,1)  B．(0,1)

C.  D.

答案　A

解析　因为点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以(2a)2＋[(a＋1)－1]2＜5，解得－1<a<1.故选A.

5．(多选)若点A(a＋1,3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的值可以是(　　)

A．0  B．1 

C．2  D．5

答案　BC

解析　由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2>m，即m<5，又易知m>0，∴0<m<5，故选BC.

知识点三  求圆的标准方程

6.求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．

解　解法一(几何法)：设点C为圆心，∵点C在直线x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为(2y0＋3，y0)．

∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|，

∴ ＝ ，

解得y0＝－2，

∴圆心坐标为C(－1，－2)，半径长r＝.

故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.

解法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

由题设条件知

解得

故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.

解法三(几何法)：线段AB的中点的坐标为(0，－4)，

直线AB的斜率kAB＝＝，

∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝－2，

∴弦AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，

即y＝－2x－4.

又圆心是直线y＝－2x－4与直线x－2y－3＝0的交点，

由得∴圆心坐标为(－1，－2)，

∴圆的半径长r＝＝，

故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.

7．已知圆P过点A(1,0)，B(4,0)．

(1)若圆P还过点C(6，－2)，求圆P的标准方程；

(2)若圆心P的纵坐标为2，求圆P的标准方程．

解　(1)设圆P的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

则

解得

故圆P的标准方程为(x－)2＋(y＋)2＝.

(2)由圆的对称性，可知圆心P的横坐标为＝，

故圆心P，2，

故圆P的半径r＝＝，

故圆P的标准方程为(x－)2＋(y－2)2＝.

知识点四  圆的标准方程的实际应用

8.已知隧道的截面是半径为4 m 的半圆，为确保车辆安全，要求车辆只能在道路中心线右侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？

解　以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)，将x＝2.7代入，得y＝＝＜3.即在离隧道中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道．

一、选择题

1．点(sin30°，cos30°)与圆x2＋y2＝的位置关系是(　　)

A．在圆上  B．在圆内

C．在圆外  D．不能确定

答案　C

解析　∵sin230°＋cos230°＝2＋2＝1>，

∴点在圆外．

2．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

B．(x－2)2＋(y－1)2＝1

C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1

D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1

答案　A

解析　圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆心C(2，－1)，故圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.

3．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半径为3.6 m的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(　　)

A．1.4 m  B．3.5 m

C．3.6 m  D．2.0 m

答案　B

解析　如图所示为隧道与卡车的横截面，以半圆的直径为x轴，圆心为原点建立直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，点A的坐标为(0.8，h)．设M(0.8，y)在半圆上，则y＝≈3.5，∴h≤y≈3.5(m)．

4．方程|x－1|＝表示的曲线是(　　)

A．一个圆  B．两个半圆

C．两个圆  D．半圆

答案　A

解析　方程|x－1|＝两边平方得|x－1|2＝()2，即(x－1)2＋(y＋1)2＝1，所以方程表示的曲线为一个圆，故选A.

5．(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为(　　)

A．x2＋(y－4)2＝20  B．(x－4)2＋y2＝20

C．x2＋(y－2)2＝20  D．(x－2)2＋y2＝20

答案　AD

解析　令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝2.即直线与两坐标轴的交点为A(0,4)和B(2,0)．以点A为圆心，过点B的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20；以点B为圆心，过点A的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.故选AD.

二、填空题

6．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离是________．

答案　

解析　圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，由点到直线的距离公式得d＝＝.

7．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________________．

答案　(x－2)2＋y2＝10

解析　设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2，

则解得

所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.

8．过两点A(1,0)，B(2,1)，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是________．

答案　(x－1)2＋(y－1)2＝1

解析　线段AB的中点为，A，B所在直线的斜率为1，所以直线AB的垂直平分线的方程为y－＝－，化简得y＝－x＋2，与x－y＝0联立，解得圆心坐标为(1,1)，半径r＝＝1，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.

三、解答题

9．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．

(1)求AD边所在直线的方程；

(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程．

解　(1)因为AB边所在直线的方程为

x－3y－6＝0，

且AD与AB垂直，

所以直线AD的斜率为－3.

又点T(－1,1)在直线AD上，

所以AD边所在直线的方程为

y－1＝－3(x＋1)，

即3x＋y＋2＝0.

(2)由

解得点A的坐标为(0，－2)，

因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2,0)，

所以M为矩形ABCD外接圆的圆心，

又r＝|AM|＝＝2，

所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.

10．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．

(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；

(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．

解　(1)因为点M在圆上，

所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，

又a>0，可得a＝.

(2)由两点间距离公式可得

|PN|＝＝，

|QN|＝＝3.

因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点，

所以P，Q两点一个在圆N内，

另一个在圆N外，

又3<，

所以3<a<，即a的取值范围是(3，)．