高中2.3.3 直线与圆的位置关系当堂达标检测题

这是一份高中2.3.3 直线与圆的位置关系当堂达标检测题，共6页。
2.3.3　直线与圆的位置关系知识点一  直线与圆位置关系的判断1.直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是(　　)A．相离  B．相交  C．相切  D．无法判定答案　C解析　由圆的方程可得圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，所以圆心到直线3x＋4y－13＝0的距离d＝＝1＝r，则直线与圆的位置关系为相切，故选C.2．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是(　　)A．相离  B．相切C．相交  D．不确定答案　C解析　将直线ax－y＋2a＝0化为点斜式得y＝a(x＋2)，知该直线过定点(－2,0)．又(－2)2＋02<9，故该定点在圆x2＋y2＝9的内部，所以直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9必相交．故选C.知识点二  直线与圆相交问题3.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为(　　)A.  B．2  C.  D．2答案　D解析　过原点且倾斜角为60°的直线方程为y＝x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心(0,2)到直线的距离d＝＝1，由垂径定理知所求弦长为l＝2＝2，故选D.4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)A．－1或  B．1或3C．－2或6  D．0或4答案　D解析　圆的半径r＝2，圆心(a,0)到直线x－y－2＝0的距离d＝，由2＋()2＝22得a＝0或a＝4.故选D.5．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的斜率为(　　)A.  B．±C.  D．±答案　D解析　因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，所以圆心C(2,3)到直线的距离为d＝ ＝1，所以＝＝1，解得k＝±，故选D.6．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为________．答案　x－y＋5＝0解析　由圆的一般方程可得圆心M(－1,2)．由圆的性质易知M，C两点的连线与弦AB垂直，故有kAB·kMC＝－1⇒kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.知识点三  切线问题7.(多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线可能为(　　)A．x－y＝0  B．x＋y＝0C．x＋y－4＝0  D．x－y－4＝0答案　ABC解析　圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1，故A，B正确；(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)，故C正确，D错误．故选ABC.8．已知圆x2＋y2＝25，求：(1)过点A(4，－3)的切线方程；(2)过点B(－5,2)的切线方程．解　(1)∵点A(4，－3)在圆x2＋y2＝25上，∴过点A的切线方程为4x－3y－25＝0.(2)∵点B(－5,2)不在圆x2＋y2＝25上，当过点B(－5,2)的切线斜率存在时，设所求切线方程为y－2＝k(x＋5)，即kx－y＋5k＋2＝0.由＝5，得k＝.∴此时切线方程为21x－20y＋145＝0.当过点B(－5,2)的切线斜率不存在时，结合图形可知，x＝－5也是切线方程．综上所述，所求切线方程为21x－20y＋145＝0或x＝－5.  一、选择题1．已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r>0)的外部，则直线ax＋by＝r2与C的位置关系是(　　)A．相切  B．相离C．相交  D．不确定答案　C解析　由已知，得a2＋b2>r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d<r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交．2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)A．[－3，－1]  B．[－1,3]C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)  D．[－3,1]答案　D解析　将直线方程与圆方程联立消去y得2x2＋(2－2a)x＋a2－1＝0.因为直线与圆有公共点，所以Δ≥0，解得－3≤a≤1，故选D.3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)A．10  B．20  C．30  D．40答案　B解析　如图所示，设圆的圆心为M，则M(3,4)，半径r＝5.当过点P的直线过圆心M时，对应的弦AC是最长的，此时，|AC|＝2r＝10；过点P的直线与MP垂直时，对应的弦BD最短，此时在Rt△MPD中，|MD|＝r＝5，|MP|＝1，故|BD|＝2＝4.此时四边形ABCD的面积为：S＝|AC||BD|＝20.4．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)A．1个  B．2个  C．3个  D．4个答案　C解析　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径为2，∴圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为＝<2，结合图形知满足条件的点有3个．5．(多选)如图A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W.则下列结论正确的是(　　)A．曲线W与x轴围成的面积等于2πB．曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)C. 所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1D．过点(，1)的的切线方程为x＋y＝＋1答案　BCD解析　曲线W与x轴围成的图形由以(0,1)为圆心，1为半径的半圆，加上以(1,0)为圆心，1为半径的圆，加上以(－1，0)为圆心，1为半径的圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，可得其面积为π＋π＋2＝2＋π≠2π，故A错误；曲线W上有(－2,0)，(－1,1)，(0,2)，(1,1)，(2,0)共5个整点，故B正确；是以(0,1)为圆心，1为半径的圆上一段圆弧，其所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，故C正确；易知过点(，1)的的切线的斜率存在．设过点(，1)的的切线方程为y＝k(x－)＋1(k<0)，由直线和圆相切的条件可得＝1，解得k＝－1(k＝1舍去)，则其切线方程为y＝－(x－)＋1，即x＋y＝＋1，故D正确．故选BCD.二、填空题6．已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则直线l的斜率为________．答案　±解析　由题意知直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx，代入圆的方程化简得(1＋k2)x2－6x＋5＝0，判别式Δ＝36－20(1＋k2)＝0，解得k＝±.7．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．答案　y＝2x解析　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝1，即圆心为(1,2)，半径长为1.设所求直线的方程为y＝kx(由题意易得直线的斜率存在)，即kx－y＝0.由于直线与圆相交所得弦的长为2，圆的半径长为1，即圆心在直线kx－y＝0上，于是k－2＝0，即k＝2.故所求直线的方程为y＝2x.8．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A且与圆O相切的直线方程为________，切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．答案　x＋2y－5＝0　解析　由题意可直接求出切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0，切线在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为××5＝.三、解答题9．已知两平行直线4x－2y＋7＝0,2x－y＋1＝0间的距离等于坐标原点O到直线l：x－2y＋m＝0(m>0)的距离的一半．(1)求m的值；(2)判断直线l与圆C：x2＋(y－2)2＝的位置关系．解　(1)2x－y＋1＝0可化为4x－2y＋2＝0，则两平行直线4x－2y＋7＝0,2x－y＋1＝0之间的距离为＝，则点O到直线l：x－2y＋m＝0(m>0)的距离为＝，∴m＝5.(2)圆C：x2＋(y－2)2＝的圆心C(0,2)，半径r＝，∵点C到直线l的距离为＝，∴直线l与圆C相切．10．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．(1)求证：直线l过定点A(3,1)，且直线l与圆C相交；(2)求直线l被圆C截得的弦长最短时的方程．解　(1)证明：将点A(3,1)代入直线l的方程，得左边＝3(2m＋1)＋(m＋1)＝7m＋4＝右边，所以直线l过定点A.因为|AC|＝＝＜5，所以点A在圆C内，所以对任意的实数m，直线l与圆C恒相交．(2)由平面几何的知识可得，直线l被圆C截得的弦长最短时与直径AC垂直，因为kAC＝＝－，所以此时直线l的斜率为kl＝2，所以直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.