数学选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程复习练习题

2．5　椭圆及其方程

2.5.1　椭圆的标准方程

知识点一  椭圆的定义及简单应用

1.已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为(　　)

A．2             B．3            C．5            D．7

答案　D

解析　由椭圆方程知a＝5，根据椭圆定义有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.若|PF1|＝3，则|PF2|＝7.故选D.

2．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为(　　)

A．16            B．18           C．20           D．不确定

答案　B

解析　∵a＝5，b＝3，∴c＝4.又|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝8，∴△F1PF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋8＝18，故选B.

3．已知椭圆＋＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝(　　)

A．3∶5           B．3∶4           C．5∶3          D．4∶3

答案　C

解析　依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易推得y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则有|PF1|2－|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝16，又根据椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝8，所以|PF1|－|PF2|＝2，从而|PF1|＝5，|PF2|＝3，即|PF1|∶|PF2|＝5∶3.

4．(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法正确的是(　　)

A．当a＝2时，点P的轨迹不存在

B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3

C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6

D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆

答案　AC

解析　当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，D错误．故选AC.

5．求过点P(3,0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．

解　易知点P在圆内，

由x2＋6x＋y2－91＝0得(x＋3)2＋y2＝102，圆心为C1(－3,0)，半径R＝10.

设动圆的圆心为C(x，y)，半径为r，

依题意有

消去r得R－|PC|＝|CC1|⇒|PC|＋|CC1|＝R，

即|PC|＋|CC1|＝10.

因为P(3,0)，C1(－3,0)，且|PC1|＝6<10，

所以C点的轨迹是以P，C1为焦点的椭圆，

所以c＝3,2a＝10，所以a＝5，从而b＝4，

故所求动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.

知识点二  椭圆的标准方程

6.若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　)

A．－9＜m＜8   B．8＜m＜25

C．16＜m＜25   D．m＞8

答案　B

解析　依题意，有解得8＜m＜25.故选B.

7．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞)  B．(0,2)

C．(1，＋∞)   D．(0,1)

答案　D

解析　方程x2＋ky2＝2可化为＋＝1，若焦点在y轴上，则必有＞2，且k＞0，即0＜k＜1.故选D.

8．写出适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)a＝5，c＝2；

(2)经过P1(，1)，P2(－，－)两点；

(3)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)．

解　(1)由b2＝a2－c2得b2＝25－4＝21.

∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

(2)解法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为

＋＝1(a>b>0)．

由已知，得⇒

即所求椭圆的标准方程是＋＝1.

②当焦点在y轴上时，

设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，

由已知，得⇒

与a>b>0矛盾，此种情况不存在．

综上，所求椭圆的标准方程是＋＝1.

解法二：由已知，设椭圆的方程是

Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，

故⇒

即所求椭圆的标准方程是＋＝1.

(3)解法一：方程9x2＋5y2＝45可化为＋＝1，

则焦点是F1(0,2)，F2(0，－2)．

设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，

∵点M在椭圆上，

∴2a＝|MF1|＋|MF2|

＝ ＋

＝(2－)＋(2＋)＝4，

∴a＝2，即a2＝12，

∴b2＝a2－c2＝12－4＝8，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

解法二：由题意，知焦点F1(0,2)，F2(0，－2)，

设所求椭圆方程为＋＝1(λ>0)，

将x＝2，y＝代入，

得＋＝1，

解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．

故所求椭圆的标准方程为＋＝1.

9．设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，当a＝2b时，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，求椭圆方程．

解　∵a＝2b，b2＋c2＝a2，∴c2＝3b2.

又PF1⊥PF2，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2.

由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b，

(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，

∴b2＝1，a2＝4.

∴椭圆方程为＋y2＝1.

一、选择题

1．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为1，则△PF1F2是(　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．钝角三角形   D．等腰直角三角形

答案　B

解析　由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.又|PF1|－|PF2|＝1，∴|PF1|＝，|PF2|＝.又|F1F2|＝2c＝2＝2，∴|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，

∴△PF1F2为直角三角形．故选B.

2．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为(　　)

A.＋y2＝1  B.＋＝1

C.＋＝1  D.＋＝1

答案　C

解析　由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝1，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>1)，又过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，所以点必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a4－17a2＋4＝0，所以a2＝4或a2＝(舍去)．故椭圆C的方程为＋＝1.故选C.

3．若α∈0，，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是(　　)

A.，   B．0，

C．0，  D.，

答案　A

解析　易知sinα≠0，cosα≠0，方程x2sinα＋y2cosα＝1可化为＋＝1.因为椭圆的焦点在y轴上，所以>>0，即sinα>cosα>0.又α∈0，，所以<α<.

4．若椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为(　　)

A．9            B．12           C．15            D．18

答案　A

解析　设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由∠F1PF2＝90°且|F1F2|＝8，知r＋r＝64.又r1＋r2＝10，可得r1r2＝18，所以S△PF1F2＝r1r2＝9.故选A.

5．(多选)已知椭圆C：＋＝1内有一点M(2,3)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，则(　　)

A．|PM|－|PF1|的最大值为

B．|PM|－|PF1|的最小值为－

C．|PM|＋|PF1|的最大值为10＋

D．|PM|＋|PF1|的最小值为－10

答案　ABC

解析　由椭圆方程知a＝5，F1(－3,0)，F2(3,0)．对于A，由于三角形两边之差小于第三边，连接MF1并延长交椭圆于点P1，则点P1是使|PM|－|PF1|取得最大值的点，于是(|PM|－|PF1|)max＝|MF1|＝＝，A正确；对于B，|PM|－|PF1|＝－(|PF1|－|PM|)，则求|PM|－|PF1|的最小值，即求|PF1|－|PM|的最大值，连接F1M并延长交椭圆于点P2，则点P2是使|PF1|－|PM|取得最大值的点，即|PM|－|PF1|取得最小值的点，于是(|PM|－|PF1|)min＝－|MF1|＝－，B正确；对于C，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，则|PF1|＝10－|PF2|，所以|PM|＋|PF1|＝|PM|＋10－|PF2|＝10＋(|PM|－|PF2|)，连接MF2并延长交椭圆于点P3，则点P3是使|PM|＋|PF1|取得最大值的点，于是(|PM|＋|PF1|)max＝10＋|MF2|＝10＋＝10＋，C正确；对于D，|PM|＋|PF1|＝10－(|PF2|－|PM|)，连接F2M并延长交椭圆于点P4，则点P4是使|PF2|－|PM|取得最大值的点，即|PM|＋|PF1|取得最小值的点，于是(|PM|＋|PF1|)min＝10－|MF2|＝10－，D错误．故选ABC.

二、填空题

6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．

答案　3或5

解析　当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1.∴m－4＝1，m＝5.当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.

7．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．

答案　2　120°

解析　∵a2＝9，b2＝2，∴c＝＝＝，∴|F1F2|＝2.又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2.由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.

8．设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1||PF2|的最大值是__________．

答案　9

解析　由已知，得a＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，

∴|PF1||PF2|≤2＝9.当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时，等号成立．故|PF1||PF2|的最大值为9.

三、解答题

9．一个动圆与已知圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．

解　两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，r1＝1；Q2(3,0)，r2＝9.

设动圆圆心为M(x，y)，

半径为R，如图所示，

由题意有，|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，

所以|MQ1|＋|MQ2|＝10＞|Q1Q2|＝6.

由椭圆的定义可知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.

故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.

10．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.

(1)求此椭圆方程；

(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．

解　(1)由已知得|F1F2|＝2，

∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4＝2a，

∴a＝2.

∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)在△PF1F2中，由余弦定理得，

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos120°，

即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1||PF2|，

∴4＝(2a)2－|PF1||PF2|＝16－|PF1||PF2|，

∴|PF1||PF2|＝12，

∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin120°＝×12×＝3.