高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质精练

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质精练，共7页。
2.6.2　双曲线的几何性质知识点一  由双曲线的标准方程研究几何性质1.若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　)A．4             B．2   C．1             D．－2答案　A解析　∵双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，∴若直线x＝a与双曲线有两个交点，则a>2或a<－2，只有A选项符合题意，故选A.2．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)A．2          B．2             C.             D．1答案　A解析　不妨取焦点(4,0)和渐近线y＝x，则所求距离d＝＝2.故选A.3．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是(　　)A．y＝±3x   B．y＝±xC．y＝±x  D．y＝±x答案　C解析　令x2－＝0，则y＝±x.4．求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、半实轴长、半虚轴长、离心率和渐近线方程．解　把方程化为标准形式为－＝1，由此可知，半实轴长a＝1，半虚轴长b＝2.顶点坐标是(－1,0)，(1,0)．c＝＝＝，即焦点坐标是(－，0)，(，0)．离心率e＝＝，渐近线方程为±＝0，即y＝±2x.知识点二  双曲线的离心率问题5.(多选)下列方程表示的曲线中，离心率为的是(　　)A.－＝1  B.－＝1C.－＝1  D.－＝1答案　BD解析　∵e＝，c2＝a2＋b2，∴e2＝＝＝1＋＝2＝.故＝，观察各曲线方程得B，D符合，故选BD.6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，其离心率e的取值范围为(　　)A．[，＋∞)   B．[，＋∞)C．(1，]   D．(1，]答案　D解析　依题意(a,0)到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于a，∴≤a，解得e≤ .又e>1，∴1<e≤.故选D.7．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．答案　解析　不妨设P点在双曲线右支上，由题意得⇒又|F1F2|＝2c，∴|PF2|最小．由余弦定理，得＝cos30°，∴2ac＝3a2＋c2，等式两边同除以a2得e2－2e＋3＝0，∴e＝.8．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，经过F1且垂直于x轴的直线交双曲线于P，Q两点，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．解　设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，∴y＝±.由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，∴＝2c.∴b2＝2ac.∴c2－2ac－a2＝0.∴2－2×－1＝0.即e2－2e－1＝0.∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．∴所求双曲线的离心率为1＋.知识点三  由双曲线的几何性质求标准方程9.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的标准方程是(　　)A.－＝1  B.－＝1C.－＝1  D.－＝1答案　B解析　由右焦点为F(3,0)可知c＝3，又因为离心率等于，所以＝，所以a＝2.由c2＝a2＋b2知b2＝5，故双曲线C的标准方程为－＝1.故选B.10．中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1,3)，离心率为的双曲线的标准方程为(　　)A.－＝1  B.－＝1C.－＝1  D.－＝1答案　D解析　因为离心率为，所以e2＝＝＝1＋＝2，即a＝b.故设所求双曲线的标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．又点P(1，3)在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.  一、选择题1．如果椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为(　　)A.               B.           C.           D．2答案　A解析　由已知椭圆的离心率为，得＝，∴a2＝4b2.∴e2＝＝＝.∴双曲线的离心率e＝.2.如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC，BC边上的高分别为BD，AE，则以A，B为焦点，且过D，E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为(　　)A.             B．1            C．2            D．2答案　A解析　若是椭圆，则|DA|＋|DB|＝2a，|AB|＝2c，|DA|＝|DB|，|AB|＝2|DB|，而椭圆的离心率e1＝＝＝＝－1.若是双曲线，则|DA|－|DB|＝2a，e2＝＝＝＝＋1，所以＋＝＋＝＋＝.故选A.3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则该双曲线的方程为(　　)A．x2－y2＝1   B．x2－＝1C．x2－＝1  D.－y2＝1答案　B解析　由已知，知＝2，c－a＝1，∴c＝2，a＝1.∴b2＝c2－a2＝3.∴所求双曲线的方程为x2－＝1.4．已知椭圆C1：＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)A．m>n且e1e2>1   B．m>n且e1e2<1C．m<n且e1e2>1   D．m<n且e1e2<1答案　A解析　在椭圆中，a1＝m，c1＝，e1＝.在双曲线中，a2＝n，c2＝，e2＝.因为c1＝c2，所以n2＝m2－2，可得m>n.从而ee＝＝，令t＝m2－1，则t>0且t≠1，ee＝>1，即e1e2>1.故选A.5．(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1，则(　　)A．实轴长为2B．渐近线方程为y＝±xC．离心率为2D．一条渐近线与直线x＝1的交点到另一条渐近线的距离为3答案　BC解析　由双曲线的方程可得，a2＝4，b2＝12，c2＝a2＋b2＝16，所以a＝2，b＝2，c＝4，所以实轴长为2a＝4，A不正确；渐近线方程为y＝±x＝±x，离心率＝2，所以B，C正确；设渐近线y＝x与直线x＝1的交点为A，两个方程联立可得A(1，)，另一条渐近线的方程为x＋y＝0，所以A到它的距离为d＝＝，所以D不正确．故选BC.二、填空题6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________，b＝________.答案　1　2解析　由题意知，一条渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知＝2，由c＝，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.7．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点为直线3x－4y＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________．答案　x2－y2＝8解析　由双曲线的实轴在x轴上知其焦点在x轴上，直线3x－4y＋12＝0与x轴的交点坐标为(－4,0)，故双曲线的一个焦点为(－4,0)，即c＝4.设等轴双曲线方程为x2－y2＝a2，则c2＝2a2＝16，解得a2＝8，所以双曲线方程为x2－y2＝8.8．设F是双曲线C：－＝1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．答案　解析　设F(c,0)，P(m，n)(m＜0)，设PF的中点为M(0，b)，即有m＝－c，n＝2b，将点(－c,2b)代入双曲线方程可得，－＝1，可得e2＝＝5，解得e＝.三、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)一个顶点是(0,6)，且离心率是1.5；(2)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)．解　(1)∵顶点为(0,6)，设所求双曲线方程为－＝1，∴a＝6.又e＝1.5，∴c＝a×e＝6×1.5＝9，b2＝c2－a2＝45.故所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)解法一：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，令x＝－3，y＝±4，∵2<4，∴点(－3,2)在射线y＝－x(x≤0)及x轴负半轴之间，∴双曲线焦点在x轴上．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得∴双曲线的标准方程为－＝1.解法二：设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，∴－＝λ.∴λ＝，∴双曲线的标准方程为－＝1.10．已知双曲线－＝1的一个焦点为(2,0)．(1)求双曲线的实轴长和虚轴长；(2)若已知M(4,0)，点N(x，y)是双曲线上的任意一点，求|MN|的最小值．解　(1)由题意可知，m＋3m＝4，∴m＝1.∴双曲线方程为x2－＝1.∴双曲线实轴长为2，虚轴长为2.(2)由x2－＝1，得y2＝3x2－3，∴|MN|＝＝＝＝.又x≤－1或x≥1，∴当x＝1时，|MN|取得最小值3.