数学选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系课时作业

2．8　直线与圆锥曲线的位置关系

知识点一  直线与圆锥曲线的位置关系

1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　)

A．相交   B．相切

C．相离   D．相切或相交

答案　C

解析　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝242－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离．故选C.

2．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)

A.          B．－         C．±        D．±

答案　C

解析　把y＝kx＋2代入＋＝1得，(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因为直线与椭圆相切，所以Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±.故选C.

3．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为(　　)

A．4            B．3            C．2            D．1

答案　B

解析　由双曲线的方程知，点P(1,0)为双曲线的一个顶点，过点P(1，0)有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点．

4．设离心率为e的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是(　　)

A．k2－e2>1   B．k2－e2<1

C．e2－k2>1   D．e2－k2<1

答案　C

解析　直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是直线l的斜率－<k<，所以k2<＝＝e2－1，即e2－k2>1.

5．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有(　　)

A．1条            B．2条            C．3条            D．4条

答案　B

解析　由题意知，点(2,4)在抛物线y2＝8x上，所以过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．故选B.

6．(多选)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q，若抛物线C上存在一点E(t,2)到焦点F的距离等于3，则下列说法正确的是(　　)

A．抛物线的方程是x2＝2y

B．抛物线的准线方程是y＝－1

C．sin∠QMN的最小值是

D．线段AB的最小值是6

答案　BC

解析　抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F0，，准线方程为y＝－，由点E(t,2)到焦点F的距离等于3，可得2＋＝3，解得p＝2，则抛物线C的方程为x2＝4y，A不正确；抛物线的准线方程为y＝－1，B正确；由题知直线l的斜率存在，F(0,1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋1，由消去y得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，所以AB的中点Q的坐标为(2k,2k2＋1)，|AB|＝y1＋y2＋p＝4k2＋2＋2＝4k2＋4，所以圆Q的半径为r＝2k2＋2，在等腰△QMN中，sin∠QMN＝＝＝1－≥1－＝，当且仅当k＝0时取等号，所以sin∠QMN的最小值为，C正确；|AB|＝4k2＋4≥4，D不正确．故选BC.

7．若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．

解　因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0.　①

(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解

(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．

令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－.

所以原方程组有唯一解

综上，实数a的取值集合是－1，－.

知识点二  弦长问题

8.过双曲线x2－y2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A，B两点，则AB的长为(　　)

A．2          B．4         C．8          D．4

答案　B

解析　双曲线x2－y2＝4的焦点为(±2，0)，把x＝2代入，解得y＝±2，∴|AB|＝2－(－2)＝4.故选B.

9．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　)

A．2       B．2        C．2         D．2

答案　B

解析　设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB的斜率为－2，且过点(1,0)，得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x，得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，则|AB|＝·＝·＝2.

10．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．

答案　

解析　由消去y并化简得x2＋2x－6＝0.

设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.

∴弦长|MN|＝·|x1－x2|

＝＝＝.

11．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.

(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；

(2)若＝3，求|AB|.

解　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)由题设得F，0，

故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.

又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.

由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，

则x1＋x2＝－.

从而－＝，得t＝－.

所以l的方程为y＝x－.

(2)由＝3可得y1＝－3y2.

由可得y2－2y＋2t＝0，

所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，

故y2＝－1，y1＝3.

代入C的方程得x1＝3，x2＝，

即A(3,3)，B，－1.

故|AB|＝.

知识点三  中点弦问题

12.已知双曲线x2－＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为__________．

答案　6

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B的坐标代入双曲线方程得

①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＝.

∵x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，

∴4(x1－x2)＝.

∴＝6.∴直线AB的斜率为6.

13．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB中点为(2,2)，则直线l的方程为__________．

答案　y＝x

解析　由题意知，抛物线C的方程为y2＝4x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

把A，B的坐标代入抛物线方程得

①－②得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．

又y1＋y2＝4，∴＝＝1.

∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.

一、选择题

1．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　)

A．3   B．2

C．2   D．4

答案　C

解析　根据题意设椭圆方程为＋＝1(b>0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2＝2.故选C.

2．直线y＝与双曲线－y2＝1交点的个数是(　　)

A．0            B．1           C．2          D．3

答案　B

解析　因为直线y＝与双曲线的一条渐近线y＝x平行，且过，0，所以直线与双曲线只有一个交点．故选B.

3．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为(　　)

A．2x－y＋3＝0   B．2x－y－3＝0

C．2x－y＋1＝0  D．2x－y－1＝0

答案　D

解析　设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，即切线方程为2x－y－1＝0.

4．已知椭圆E：＋＝1，过右焦点F且倾斜角为45°的直线交椭圆E于A，B两点，设AB的中点为M，则直线OM的斜率为(　　)

A．－3   B．－

C．－   D．－

答案　B

解析　椭圆E的标准方程为＋＝1，所以半焦距c＝＝＝4，即右焦点坐标为F(4,0)．过右焦点F的直线的倾斜角为45°，即斜率k＝tan45°＝1，所以直线方程为y＝x－4.联立直线方程与椭圆方程得化简可得x2－6x＋6＝0，设直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系可得x1＋x2＝6，则y1＋y2＝x1－4＋x2－4＝－2，由中点坐标公式可得AB的中点M(3，－1)，则直线OM的斜率为＝－.故选B.

5．(多选)设A，B是抛物线y＝x2上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的是(　　)

A．若OA⊥OB，则|OA||OB|≥2

B．若OA⊥OB，则直线AB过定点(1,0)

C．若OA⊥OB，则O到直线AB的距离不大于1

D．若直线AB过抛物线的焦点F，且|AF|＝，则|BF|＝1

答案　ACD

解析　对于选项A，设A(x1，x)，B(x2，x)，

∵OA⊥OB，∴O·O＝0，∴x1x2＋(x1x2)2＝0，

∴x1x2(1＋x1x2)＝0，∴x2＝－，

∴|OA||OB|＝＝≥ ＝2，当且仅当x1＝±1时等号成立，故A正确；对于选项B，若OA⊥OB，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋m，联立方程消去y得x2－kx－m＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝k，x1x2＝－m，∴y1y2＝xx＝(x1x2)2＝m2，∵OA⊥OB，∴O·O＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，∴－m＋m2＝0，∴m＝0或1，易知直线AB不过原点，∴m＝1，∴直线AB的方程为y＝kx＋1，恒过定点(0,1)，故B错误；原点O到直线AB的距离d＝，∵k2≥0，∴k2＋1≥1，∴d≤1，故C正确；对于选项D，直线AB过抛物线的焦点F0，，设直线AB的方程为y＝kx＋，联立方程消去y得x2－kx－＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设点A在y轴右侧，∴x1＋x2＝k，x1x2＝－，∴|AF|＝y1＋＝，∴y1＝，∴x1＝，∴x2＝＝－，∴y2＝，∴|BF|＝y2＋＝1，故D正确．故选ACD.

二、填空题

6．已知抛物线y2＝8x，过点P(3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为________．

答案　2x－y－4＝0

解析　设l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＝8x1，y＝8x2，两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．又P(3,2)是AB的中点，∴y1＋y2＝4.又直线l的斜率存在，∴直线l的斜率k＝＝2，∴直线l的方程为2x－y－4＝0.

7．中心在原点，焦点坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2＝0截得弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为________．

答案　＋＝1

解析　椭圆焦点在y轴上，可设方程为＋＝1(a＞b＞0)，设直线3x－y－2＝0交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

则x1＋x2＝1，y1＋y2＝3(x1＋x2)－4＝－1，

且

由①－②得＋＝0，

＝－，

∴－＝－，＝＝

＝＝3.

∴a2＝75，b2＝25.∴椭圆方程为＋＝1.

8．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．

答案　

解析　设直线4x＋3y＋m＝0与抛物线y＝－x2相切．

解方程组得3x2－4x－m＝0.

因为Δ＝0，所以m＝－，所以所求距离的最小值

即平行直线4x＋3y－8＝0与4x＋3y－＝0之间的距离d＝＝.

三、解答题

9．直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．

(1)求线段AB的长；

(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？

解　由得(3－a2)x2－2ax－2＝0.

由题意可得3－a2≠0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

(1)|AB|＝

＝

＝

＝.

(2)由题意知，OA⊥OB，则·＝0，

即x1x2＋y1y2＝0，

∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0.

即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，

∴(1＋a2)·＋a·＋1＝0，解得a＝±1.

经检验a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点．

10．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．

解　(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，

又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.

所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM,0)．设直线PB的斜率为k(k≠0)，

又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，

可得xP＝－，

代入y＝kx＋2，得yP＝，

进而直线OP的斜率为＝.

在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.

由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.

由OP⊥MN，得·＝－1，

化简得k2＝，

从而k＝±.

所以直线PB的斜率为或－.