人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第1课时测试题

4．1　数列的概念

第1课时　数列的概念与通项公式

知识点一  根据数列的前几项求通项公式

1.数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是(　　)

A．an＝(－1)n·(2n－1)

B．an＝(－1)n·(2n－1)

C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)

D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)

答案　A

解析　数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1，3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)．

2．根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：

(1)0.9,0.99,0.999,0.9999，…；

(2)1，2，3，4，…；

(3)，，，，…；

(4)3,5,9,17，….

解　(1)0.9＝1－0.1＝1－10－1,0.99＝1－10－2,0.999＝1－10－3,0.9999＝1－10－4，故an＝1－10－n.

(2)1＝1＋，2＝2＋，3＝3＋，4＝4＋，故an＝n＋.

(3)＝＝1－，＝＝1－，

＝＝1－，＝＝1－，

故an＝＝1－.

(4)3＝1＋2,5＝1＋22,9＝1＋23,17＝1＋24，

故an＝1＋2n.

知识点二  数列通项公式的应用

3.数列，，，，…的第10项是(　　)

A.  B．

C．  D．

答案　C

解析　由题意知，数列的通项公式是an＝，

∴a10＝＝.故选C.

4．若数列an＝＋＋…＋，则a5－a4＝(　　)

A.  B．－

C．  D．

答案　C

解析　依题意知，a5－a4＝－＝＋－＝.故选C.

5．已知数列，3，，，3，…，，…，则9是这个数列的(　　)

A．第12项  B．第13项

C．第14项  D．第15项

答案　C

解析　依题意，该数列的通项公式为an＝.令an＝9，得n＝14，故选C.

6．已知数列{an}的通项公式为an＝

则a2a3的值是(　　)

A．70  B．28

C．20  D．16

答案　D

解析　a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3－1＝8，a2a3＝16.故选D.

知识点三  数列的单调性

7.已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　)

A．递增数列  B．递减数列

C．先增后减数列  D．常数列

答案　A

解析　an＝＝2－，单调递增．故选A.

8．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是(　　)

A．第5项  B．第6项

C．第4项或第5项  D．第5项或第6项

答案　A

解析　an＝－22＋，因为n∈N*,5＜＜6，且a5＝55，a6＝54，所以数值最大的项为第5项．故选A.

9．已知数列{an}的通项公式an＝(a，b为正数)，那么an与an＋1的关系是(　　)

A．an>an＋1  B．an<an＋1

C．an＝an＋1  D．以上都不对

答案　B

解析　y＝＝＝＋＝＋.其图象可由y＝先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，如图．

由图象不难得知函数y＝在[1，＋∞)上单调递增，所以an＝的值随n的增大而增大．所以数列{an}是递增数列，即an<an＋1.故选B.

10．已知下列数列：

①2,22,222,2222；

②0，，，…，，…；

③1，，，…，，…；

④－2,0，－2,0，…，(－1)n－1，…；

⑤a，a，a，a，….

其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________(将正确的序号填在横线上)．

答案　①　②③④⑤　①②　③　⑤

解析　①是有穷数列，也是递增数列，②是无穷数列，也是递增数列，③是无穷数列，也是递减数列，④是无穷数列，⑤是无穷数列，也是常数列．

11．设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．

答案　(2,3)

解析　由题意，得点(n，an)分布在分段函数

f(x)＝的图象上．

因此当3－a＞0时，a1＜a2＜a3＜…＜a7；

当a＞1时，a8＜a9＜a10＜…；

为使数列{an}递增还需a7＜a8.

故实数a满足条件解得2＜a＜3，

故实数a的取值范围是(2,3).

一、选择题

1．数列7,9,11，…，2n－1的项数是(　　)

A．n－3  B．n－2

C．n－1  D．n

答案　A

解析　数列通项公式为2n＋5，而2n－1＝2(n－3)＋5，所以项数为n－3.故选A.

2．数列－，，－，，…的通项公式an为(　　)

A．(－1)n＋1

B．(－1)n＋1

C．(－1)n

D．(－1)n

答案　D

解析　观察式子的分子为1,2,3,4，…，n，…，分母为3×5,5×7，7×9，…，(2n＋1)(2n＋3)，…，而且正负间隔，故通项公式an＝(－1)n.

3．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　)

A．1，，，，…

B．－1，－2，－3，－4，…

C．－1，－，－，－，…

D．1，，，…，

答案　C

解析　对于A，an＝，n∈N*，它既是无穷数列又是递减数列；对于B，an＝－n，n∈N*，它既是无穷数列又是递减数列；D是有穷数列；对于C，an＝－n－1，它既是无穷数列又是递增数列．故选C.

4．设an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么an＋1－an等于(　　)

A.  B．

C.＋  D．－

答案　D

解析　∵an＝＋＋＋…＋，

∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，

∴an＋1－an＝＋－＝－.

5．(多选)已知数列{an}的前四项分别为1,0,1,0，则下列通项公式可以作为数列{an}的通项公式的是(　　)

A．an＝[1＋(－1)n＋1]

B．an＝sin2

C．an＝

D．an＝[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)

答案　ABC

解析　要判别某一公式不是数列的通项公式，只要把适当的n代入an，其不满足即可，若要确定它是通项公式，必须加以一定的说明．容易验证A，B，C均符合；对于D，将n＝3代入不符合．故选ABC.

二、填空题

6．已知一组数1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，按这组数的规律，x应为________．

答案　13

解析　由题意得1＋1＝2,1＋2＝3,2＋3＝5,3＋5＝8.∴x＝5＋8＝13.

7．数列，，，，，…的一个通项公式是________．

答案　an＝

解析　∵＝，＝，＝，＝，＝，…，∴an＝.

8．数列{an}满足an＝，若ap最大，aq最小，则p＝________，q＝________.

答案　45　44

解析　an＝＝1＋.

由于44＜＜45，则当n≤44时，

an＝1－＜1且递减；

当n≥45时，an＝1＋＞1且递减．

所以a44最小，a45最大，即p＝45，q＝44.

三、解答题

9．已知数列an＝试求a1＋a100和a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100的值．

解　∵a1＝1－1＝0，a100＝100.∴a1＋a100＝100.

又a1＝0，a3＝2，a5＝4，…，a99＝98，

而a2＝2，a4＝4，a6＝6，…，a98＝98，a100＝100，

∴a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100

＝0－2＋2－4＋4－…＋98－100

＝－100.

10．数列{an}中，an＝.

(1)求数列的第7项；

(2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；

(3)区间内有无数列的项？若有，有几项？

解　(1)a7＝＝.

(2)证明：∵an＝＝1－，

∴0<an<1，故数列的各项都在区间(0,1)内．

(3)∵<<，∴<n2<2.又n∈N*，

∴n＝1，即在区间内有且只有一项a1.