人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第2课时课时训练

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用

知识点一  等比数列前n项和的性质

1．等比数列{an}中，已知前4项和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q为(　　)

A．2  B．－2

C．2或－2  D．2或－1

答案　C

解析　∵S4＝1，S8＝S4＋q4·S4＝1＋q4＝17，∴q＝±2.

2．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是(　　)

A．7  B．9

C．63  D．7或63

答案　A

解析　∵S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(21－S10)2＝S10·(49－21)，∴S10＝7或63.

当S10＝63时，S20－S10＝－42，则q10＝－＝－，显然不成立，故S10＝7.选A.

3．(多选)在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(　　)

A．q＝2

B．数列{Sn＋2}是等比数列

C．S8＝510

D．S10＝31S5

答案　ABC

解析　因为数列{an}为等比数列，又a1a4＝32，所以a2a3＝32，又a2＋a3＝12，所以或又公比q为整数，则即an＝2n，Sn＝＝2n＋1－2.对于A，由上可得q＝2，A正确；对于B，Sn＋2＝2n＋1，＝＝2，则数列{Sn＋2}是等比数列，B正确；对于C，S8＝29－2＝510，C正确；对于D，由等比数列前n项和的性质可得，＝q5＝25＝32，所以S10＝33S5，D错误．故选ABC.

4．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·3n－2－，则实数t的值为________．

答案　3

解析　由Sn＝t·3n－2－，得Sn＝.因为当公比q≠1时，等比数列前n项和公式可化为Sn＝A(qn－1)，因此＝1，解得t＝3.

5．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.

答案　2

解析　由题意，得

解得S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝＝＝2.

6．在等比数列{an}中，各项皆为正数，且S2＝7，S6＝91，则S4＝________.

答案　28

解析　因为{an}是等比数列，

所以S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，

即(S4－7)2＝7×(91－S4)，解得S4＝28或－21.

又各项皆为正数，所以S4＞0，即S4＝28.

7．在等比数列{an}中，前n项和为2，紧接着后面的2n项和为12，再紧接着后面的3n项和S是多少？

解　设数列{an}的公比为q，首项为a1，显然q≠1，

则解得或

当n为偶数时，只有qn＝2，＝－2符合题意，

故S＝－(2＋12)＝(－2)×(1－26)－14＝112.

当n为奇数时，qn＝2，＝－2或qn＝－3，＝，

相应地，有S＝－(2＋12)＝(－2)×(1－26)－14＝112，或S＝－(2＋12)＝[1－(－3)6]－14＝－378.

知识点二  等比数列前n项和的实际应用

8．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为(　　)

A．1.14a  B．1.15a

C．10a(1.15－1)  D．11a(1.15－1)

答案　D

解析　注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.所以1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．故选D.

9．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)(　　)

A．300米  B．299米

C．199米  D．166米

答案　A

解析　小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米)．

10．某单位制作了一个热气球用于广告宣传．已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米至少要经过________分钟．

答案　4

解析　由题意，知热气球在每分钟上升的高度构成等比数列{an}，则an表示热气球在第n分钟上升的高度(单位：米)，a1＝30，公比q＝，an＝an－1(n≥2，n∈N*)．

经过n分钟，热气球上升的总高度

Sn＝＝＝90.

因为S3＝90≈63.3＜70，

S4＝90≈72.2＞70，

所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米．

11．某地投入资金进行生态环境建设，并以此为基础发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.

(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，求an，bn的表达式；

(2)至少经过几年旅游业的总收入才能等于总投入？

解　(1)第一年投入为800万元，第二年投入为800万元，第n年投入为800n－1万元，

所以n年内的总投入为

an＝800＋800＋…＋800n－1

＝4000－4000n.

第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400万元，第n年旅游业收入为400n－1万元，所以n年内的旅游业总收入为bn＝400＋400＋…＋400n－1＝1600n－1600.

(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能等于总投入，

由此得bn－an＝0，

即1600n－1600－4000＋4000n＝0，

化简，得2n＋5n－7＝0.

设n＝x，代入上式得5x2－7x＋2＝0.

解此方程，得x＝或x＝1(舍去)．

要使总收入等于总投入必须使n＝，由此得n≈4.1.

由于n∈N*，故取n＝5.

故至少经过5年旅游业的总收入才能等于总投入.

一、选择题

1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3，S9＝39，则S6＝(　　)

A．24或－16  B．18或－3

C．12或－9  D．36或－12

答案　C

解析　∵{an}为等比数列，∴S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，设S6＝x，则(x－3)2＝3(39－x)，解得x＝12或－9.

2．在等比数列{an}中，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则S6等于(　　)

A．140  B．120

C．210  D．520

答案　A

解析　依题意，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列，即402＝20(a5＋a6)，∴a5＋a6＝80，∴S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝20＋40＋80＝140.故选A.

3．设Sn是等比数列{an}的前n项和，公比q＞0，则Sn＋1an与Snan＋1的大小关系是(　　)

A．Sn＋1an＞Snan＋1  B．Sn＋1an＜Snan＋1

C．Sn＋1an≥Snan＋1  D．Sn＋1an≤Snan＋1

答案　A

解析　当q＝1时，Sn＋1an＝(n＋1)a，Snan＋1＝na，

Sn＋1an－Snan＋1＝a＞0.

当q＞0且q≠1时，Sn＋1an－Snan＋1

＝－

＝＝aqn－1＞0.

∴Sn＋1an＞Snan＋1.

综上可得，Sn＋1an＞Snan＋1.故选A.

4．已知数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)，且b1＝a2，则|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝(　　)

A．1－4n  B．4n－1

C.  D．

答案　B

解析　因为q＝an－an－1＝－4，b1＝a2＝－3，所以bn＝b1qn－1＝－3×(－4)n－1，所以|bn|＝|－3×(－4)n－1|＝3×4n－1，即{|bn|}是首项为3，公比为4的等比数列，所以|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＝4n－1，故选B.

5．(多选)已知等比数列{an}，其前n项和为Sn，若a1＝1，a5＝a2，则下列说法正确的是(　　)

A．{an}的公比为

B．S4＝

C．存在正整数n使得Sn为

D．数列{Sn－2}是等比数列

答案　ABD

解析　设{an}的公比为q，∵a5＝a2，且a5＝a2q3，∴q3＝，∴q＝，A正确；∵{an}是一个首项为1，公比为的等比数列，∴Sn＝＝2－，S4＝2－＝，B正确；令Sn＝，即2－＝，得2n＝－4，该方程无解，∴不存在正整数n使得Sn为，C不正确；Sn－2＝－，＝＝，∴数列{Sn－2}是等比数列，D正确．故选ABD.

二、填空题

6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏．

答案　3

解析　每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3，故塔的顶层共有灯3盏．

7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1a2a3＝27，则a6＝________，Sn＝________.

答案　243　

解析　解法一：设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，

所以依题意，有

解得所以a6＝a1q5＝35＝243，Sn＝＝.

解法二：设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，所以依题意，有偶数项的和等于奇数项的和的3倍，

所以＝，

所以a2＝3a1，所以q＝3.因为a1a3＝a，a1a2a3＝27，

所以a2＝3，a1＝1，所以a6＝a2q4＝35＝243，Sn＝＝.

8．设等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，前n项和为Sn.若对任意n∈N*，有S2n＜3Sn，则q的取值范围是________．

答案　(0,1]

解析　由题设，知q＞0.

①若q＝1，则S2n＝2na1,3Sn＝3na1，S2n＜3Sn，

所以q＝1符合要求．

②若q≠1，则由S2n＜3Sn，得＜.

当q＞1时，可得q2n－3qn＋2＜0，

即(qn－1)(qn－2)＜0，即1＜qn＜2，

显然当q＞1时该式不可能对任意n∈N*都成立，

所以q＞1不符合要求；

当0＜q＜1时，可得(qn－1)(qn－2)＞0，该式恒成立，所以0＜q＜1符合要求．

综合①②，可得q的取值范围是(0,1]．

三、解答题

9．某地区2018年人口总数为45万．实施“二孩”政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从2019年开始到2028年，每年人口总数比上一年增加0.5万人，从2029年开始到2038年，每年人口总数为上一年的99%.

(1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式(注：2019年为第一年)；

(2)若“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2038年结束后是否需要调整政策？(参考数据：0.9910≈0.9)

解　(1)由题意知，当1≤n≤10时，数列{an}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，可得an＝45.5＋0.5×(n－1)＝0.5n＋45，则a10＝50；

当11≤n≤20时，数列{an}是公比为0.99的等比数列，则an＝50×0.99n－10.

故实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式为an＝

(2)设Sn为数列{an}的前n项和．从2019年到2038年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)＝477.5＋4950×(1－0.9910)≈972.5.

所以“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值为≈48.63<49，故到2038年结束后不需要调整政策．

10．在等比数列{an}中，an＞0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，且2为a3与a5的等比中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的通项公式；

(3)在(2)的条件下，当＋＋…＋最大时，求n的值．

解　(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a＋2a3a5＋a＝25.

又an＞0，∴a3＋a5＝5.　①

又2为a3与a5的等比中项，∴a3a5＝4.　②

而q∈(0,1)，∴a3＞a5.

∴由①②解得a3＝4，a5＝1，∴q2＝＝，q＝，∴a1＝16.

∴an＝16·n－1＝25－n.

(2)由(1)得bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1，b1＝4.

∴数列{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列，

∴Sn＝.

(3)由(2)得＝，

故当n≤8时，＞0，当n＝9时，＝0，

当n＞9时，＜0，

∴当n＝8或n＝9时，＋＋…＋最大．