数学选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法课时作业

第四章　数列

4．4*　数学归纳法

知识点一  利用数学归纳法证明恒等式

1.证明：当n≥2，n∈N*时，

…＝.

证明　①当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝.

∴当n＝2时，等式成立．

②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立，即

…＝.

则当n＝k＋1时，

…

＝＝·

＝＝.

∴当n＝k＋1时，等式也成立，由①②知，对任意n≥2，n∈N*，等式成立.

知识点二  利用数学归纳法证明整除问题

2.求证：二项式x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．

证明　①当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，

∴能被x＋y整除．

②假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时，

x2k－y2k能被x＋y整除，

则当n＝k＋1时，

x2k＋2－y2k＋2＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k

＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．

∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，

∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．

即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．

由①②可知，对任意的正整数n命题均成立.

知识点三  利用数学归纳法证明几何命题

3.有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N*)．

证明　①当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时命题成立．

即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．

则当n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.

所以当n＝k＋1时，命题成立．

综合①②可知，对一切n∈N*，命题成立．

知识点四  利用数学归纳法证明不等式

4.证明：2n＋2>n2，n∈N*.

证明　①当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，左边>右边；

当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，左边>右边；

当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，左边>右边．

因此当n＝1,2,3时，不等式成立．

②假设当n＝k(k≥3且k∈N*)时，不等式2k＋2>k2成立．

则当n＝k＋1时，

2k＋1＋2＝2·2k＋2

＝2(2k＋2)－2>2k2－2

＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3

＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，k＋1>0)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.

所以2k＋1＋2>(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立．

根据①②，原不等式对于任何n∈N*都成立.

知识点五  归纳—猜想—数学归纳法的综合

5.已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝.

(1)求a2，a3，a4；

(2)推测通项an的表达式，并用数学归纳法加以证明．

解　(1)由an＋1＝，可得a2＝，a3＝＝，a4＝＝.

(2)推测an＝(n∈N*)．

证明如下：

①当n＝1时，左边＝a1＝a，右边＝＝a，结论成立．

②假设当n＝k时，有ak＝，

则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝

＝＝，

故当n＝k＋1时，结论成立．

由①②可知，对n∈N*，都有an＝.

6．数列{an}满足Sn＝2n－an，n∈N*，先计算前4项后猜想an，并用数学归纳法证明．

解　当n＝1时，S1＝a1＝2－a1，∴a1＝1，

n＝2时，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝，

n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝，

n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝.

∴猜想an＝(n∈N*)．

用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝1，猜想成立．

②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时猜想成立，即ak＝成立．

那么，当n＝k＋1时，

Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1＝Sk＋ak＋1＝2k－ak＋ak＋1，

∴2ak＋1＝2＋ak＝2＋＝，

∴ak＋1＝，即当n＝k＋1时猜想成立．

由①②可知，对任何n∈N*，猜想均成立.

一、选择题

1．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，a，b的值可以等于(　　)

A．a＝1，b＝3  B．a＝－1，b＝1

C．a＝1，b＝2  D．a＝2，b＝3

答案　D

解析　令n＝1,2得到关于a，b的方程组，解得即可．

2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则f(n)中的项数为(　　)

A．n  B．n＋1

C．n2－n  D．n2－n＋1

答案　D

解析　观察f(n)解析式的组成特点，是由，，，…，组成，其中每一项的分母n，n＋1，n＋2，…，n2组成等差数列，且首项为n，公差为1，最后一项为n2，所以它的项数为n2－n＋1，即为f(n)的项数．

3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)

A．k2＋1

B．(k＋1)2

C.

D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2

答案　D

解析　∵当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.

4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)

A．(k＋3)3  B．(k＋2)3

C．(k＋1)3  D．(k＋1)3＋(k＋2)3

答案　A

解析　假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．

当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．

5．(多选)下列四个选项中，正确的是(　　)

A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)，当n＝1时恒为1＋k

B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)，当n＝1时恒为1

C．式子＋＋＋…＋(n∈N*)，当n＝1时为1＋＋

D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋

答案　ABC

解析　对于A，当n＝1时，应为1＋k，正确；对于B，当n＝1时，应为1，正确；对于C，当n＝1时，应为1＋＋，正确；对于D，f(k)＝＋＋…＋，而f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋＋，所以f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－，错误．故选ABC.

二、填空题

6．用数学归纳法证明“Sn＝＋＋＋…＋＞1(n∈N*)”时，S1＝_________________.

答案　＋＋

解析　∵n＝1时，n＋1＝2,3n＋1＝4，∴S1＝＋＋.

7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________________________．

答案　1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1

解析　∵n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，

∴n＝k＋1时为使用归纳假设，应写成

1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1.

8．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)．

答案　5　(n＋1)(n－2)

解析　f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，

f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)

＝(n＋1)(n－2)．

三、解答题

9．用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝n(3n－1)(n∈N*)．

证明　①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，

所以当n＝1时等式成立．

②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，

即1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝k(3k－1)．

则当n＝k＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]

＝k(3k－1)＋(3k＋1)＝(3k2＋5k＋2)

＝(k＋1)(3k＋2)＝(k＋1)[3(k＋1)－1]，

即当n＝k＋1时等式成立．

综合①②知，对于任意n∈N*，等式1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝n(3n－1)成立．

10．已知数列，，，，…，，…，计算数列和S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．

解　S1＝＝，S2＝＋＝，

S3＝＋＝，S4＝＋＝.

上面四个结果中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1，于是可以猜想Sn＝(n∈N*)．

其证明如下：

①当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝＝，猜想成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，

即＋＋…＋＝成立，

则当n＝k＋1时，＋＋…＋

＋

＝＋＝

＝＝，

所以当n＝k＋1时，猜想成立，根据①②知对任意n∈N*，猜想Sn＝都成立．