2023新教材高中数学第4章概率与统计4.1条件概率与事件的独立性4.1.1条件概率对点练新人教B版选择性必修第二册

4．1　条件概率与事件的独立性

4.1.1　条件概率

知识点一  利用P(A|B)＝求条件概率

1. 已知P(A)＝，P(AB)＝，P(B)＝，则P(A|B)＝(　　)

A．  B．

C．  D．

答案　C

解析　根据条件概率公式得P(A|B)＝＝＝.故选C.

知识点二  条件概率的应用

2．将一枚硬币任意抛掷两次，记事件A表示“第一次出现正面”，事件B表示“第二次出现正面”，则P(B|A)等于(　　)

A．1  B．

C．  D．

答案　B

解析　两次抛掷硬币的结果共有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反) 4种情况，∴P(A)＝＝，P(AB)＝.由条件概率公式得P(B|A)＝＝.

3．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为(　　)

A．  B．

C．  D．

答案　D

解析　设“抛掷一枚骰子出现的点数不超过4”为事件A，“抛掷一枚骰子出现的点数是奇数”为事件B，则P(B|A)＝＝＝.故选D.

4．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为(　　)

A．  B．

C．  D．

答案　B

解析　设“第一次摸出新球”为事件A，“第二次摸出新球”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(B|A)＝＝.故选B.

5．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人．从该班任选一人作为学生代表．

(1)求选到的是共青团员的概率；

(2)求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率；

(3)已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生的概率．

解　设“选到的是共青团员”为事件A，“选到的是第一小组学生”为事件B，则“选到的既是共青团员又是第一小组学生”为事件AB.

(1)P(A)＝＝.

(2)P(AB)＝＝.

(3)解法一：P(B|A)＝＝＝.

解法二：由题意知，事件A所包含的基本事件个数为15，事件AB所包含的基本事件个数为4，

∴P(B|A)＝＝.

6．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．

解　设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B.

由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝＋＝＋＝，故所求的概率为.

一、选择题

1．已知P(B|A)＝0.3，则P(|A)＝(　　)

A．0.4  B．0.5

C．0.6  D．0.7

答案　D

解析　由条件概率表示的含义知，P(|A)＝1－P(B|A)＝0.7.故选D.

2．100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为(　　)

A．  B．

C．  D．

答案　D

解析　根据题意，在第一次抽到次品后，有4件次品，95件正品；则第二次抽到正品的概率为P＝，故选D.

3．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，在第二个路口遇到红灯的概率为(　　)

A．0.6  B．0.7

C．0.8  D．0.9

答案　C

解析　记事件A＝{甲在第一个路口遇到红灯}，事件B＝{甲在第二个路口遇到红灯}．由题意得P(AB)＝0.4，P(A)＝0.5，所以P(B|A)＝＝＝0.8.故选C.

4．抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A＝{2,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，则P(A|B)等于(　　)

A．  B．

C．  D．

答案　A

解析　∵A∩B＝{2,5}，∴n(AB)＝2.又n(B)＝5，∴P(A|B)＝＝.

5．(多选)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A表示“取到的2个数之和为偶数”，事件B表示“取到的2个数均为偶数”，则下列说法正确的是(　　)

A．P(B|A)＝  B．P(A|B)＝1

C．P(B|)＝  D．P(A|)＝

答案　ABD

解析　对于A，P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝，故A正确；对于B，P(B)＝＝，P(A|B)＝＝1，故B正确；对于C，P()＝1－P(A)＝，P(B)＝0，P(B|)＝＝0，故C错误；对于D，P()＝1－P(B)＝，P(A)＝＝，P(A|)＝＝＝，故D正确．故选ABD.

二、填空题

6．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________．

答案　

解析　设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝.

7．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．

答案　0.5

解析　“该动物由出生算起活到20岁”记为事件A，“活到25岁”记为事件B.

P(A)＝0.8，P(AB)＝0.4，

∴P(B|A)＝＝＝0.5.

8．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，在选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________，选出球的最小号码为2的概率为________．

答案　　

解析　记“选出4号球”为事件A，“选出球的最大号码为6”为事件B，“选出球的最小号码为2”为事件C，

则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝，P(C|A)＝＝＝.

三、解答题

9．掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．求：

(1)事件A发生的条件下，事件B发生的概率；

(2)事件B发生的条件下，事件A发生的概率．

解　掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6×6＝36，

事件A的基本事件数为6×2＝12，故P(A)＝＝.因为3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8，5＋6＝6＋5>8,6＋6>8，所以事件B的基本事件数为4＋3＋2＋1＝10，故P(B)＝＝.

事件A，B同时发生的概率为P(AB)＝＝.

由条件概率公式得，

(1)P(B|A)＝＝＝.

(2)P(A|B)＝＝＝.

10．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为.

(1)求白球的个数；

(2)现从中不放回地取球，每次取1个球，取2次，已知第1次取得白球，求第2次取得黑球的概率．

解　(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，记袋中白球个数为x.

则P(A)＝1－＝，

解得x＝5，即白球的个数为5.

(2)解法一：记“第1次取得白球”为事件B，“第2次取得黑球”为事件C，则

P(BC)＝＝＝，

P(B)＝＝＝.

P(C|B)＝＝＝.

解法二：由题意知事件B所包含的基本事件的个数为CC＝5×9＝45，事件BC所包含的基本事件的个数为C×C＝5×5＝25，所以P(C|B)＝＝＝.