人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义第1课时当堂达标检测题

5.1.2　导数的概念及其几何意义

第1课时　导数的概念

知识点一  函数的平均变化率

1.当自变量从x0变到x1(x0<x1)时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　)

A．在区间[x0，x1]上的平均变化率

B．在x0处的变化率

C．在x1处的导数

D．在区间[x0，x1]上的导数

答案　A

解析　由平均变化率的定义，可知当自变量从x0变到x1(x0<x1)时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在区间[x0，x1]上的平均变化率．

2．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在[－2,1]上的平均变化率为________，函数f(x)在[－2,3]上的平均变化率为________．

答案　　

解析　从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)在[－2,1]上的平均变化率为＝＝；函数f(x)在[－2,3]上的平均变化率为＝＝.

3．求函数y＝x3从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．

解　当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为＝＝＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值为3×12＋3×1×＋2＝.

知识点二  导数的定义

4.函数f(x)在x0处可导，则 (　　)

A．与x0，h都有关

B．仅与x0有关，而与h无关

C．仅与h有关，而与x0无关

D．与x0，h均无关

答案　B

解析　由导数的概念可知， ＝f′(x0)，仅与x0有关，与h无关，故选B.

5．若f′(x0)＝1，则 ＝(　　)

A.  B．－

C．1  D．－1

答案　B

解析　∵f′(x0)＝ ＝1，

∴ ＝－1，

∴ ＝×(－1)＝－.

知识点三  导数的实际意义

6.一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数，且y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．

解　因为＝＝＝3，所以由导数的定义，得f′(2)＝ ＝3.f′(2)的意义是：水流在2 s时的瞬时流速为3 m3/s，即如果保持这一速度，每经过1 s，水管中流过的水量为3 m3.

7．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．

(1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？

(2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？

(3)求T′(5)，并解释它的实际意义．

解　(1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为

T(0)＝＋15＝39，T(10)＝＋15＝23，

故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃.

(2)平均变化率为＝－＝－1.6.

它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.

(3)因为＝

＝＝－.

所以由导数的定义，得

T′(5)＝ ＝ ＝－1.2.

它表示当t＝5时，蜥蜴体温的下降速度为1.2 ℃/min.

一、选择题

1．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝(　　)

A．－3  B．2

C．3  D．－2

答案　C

解析　根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3.故选C.

2．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)＝(　　)

A．－2  B．－1

C．1  D．2

答案　B

解析　∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝ ＝ ＝－1，∴选B.

3．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　)

A．－4  B．2

C．－2  D．±2

答案　D

解析　因为f′(m)＝ ＝－，所以有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.

4．设函数f(x)在点x0处附近有定义，且f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)

A．f′(x0)＝－a  B．f′(x0)＝－b

C．f′(x0)＝a  D．f′(x0)＝b

答案　C

解析　∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2，

∴＝a＋b·Δx.

∴ ＝ (a＋b·Δx)＝a.

∴f′(x0)＝a.故选C.

5．已知奇函数f(x)满足f′(－1)＝1，则 等于(　　)

A．1  B．－1

C．2  D．－2

答案　A

解析　由f(x)为奇函数，得f(1)＝－f(－1)，所以 ＝ ＝f′(－1)＝1.

二、填空题

6．已知函数f(x)＝ax2在区间[1,2]上的平均变化率为，则f(x)＝________，f(x)在区间[－2，－1]上的平均变化率为________．

答案　x2　－

解析　∵f(x)在[1,2]上的平均变化率＝＝＝3a，∴3a＝，即a＝，故f(x)＝x2.

∴f(x)在[－2，－1]上的平均变化率为

＝＝＝－.

7．设函数y＝f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.

答案　1

解析　Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝a(－1＋Δx)3＋2－a(－1)3－2＝a(Δx)3－3a(Δx)2＋3aΔx.

∴＝＝a(Δx)2－3aΔx＋3a.

当Δx无限趋近于0时，a(Δx)2－3aΔx＋3a无限趋近于3a.

∴f′(－1)＝3a＝3，∴a＝1.

8．已知y＝，则y′|x＝1＝________.

答案　

解析　由题意知Δy＝－＝－，所以＝.

所以y′|x＝1＝ ＝

＝

＝ ＝.

三、解答题

9．已知函数y＝f(x)＝求f′(1)·f′(－1)的值．

解　当x＝1时，

＝＝＝.

由导数的定义，得f′(1)＝ ＝.

当x＝－1时，＝

＝＝Δx－2.

由导数的定义，得f′(－1)＝ (Δx－2)＝－2.

所以f′(1)·f′(－1)＝×(－2)＝－1.

10．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．

解　∵位移公式为s＝at2，

∴Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，

∴＝at0＋aΔt，

∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为

 ＝ ＝at0，

已知a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，

∴at0＝800 m/s.

∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.