高中数学5.3 导数在研究函数中的应用第1课时综合训练题

5．3　导数在研究函数中的应用

5．3.1　函数的单调性

第1课时　函数的单调性(1)

知识点一  判断函数的单调性

1.函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则y＝f(x)为R上的单调递增函数是f′(x)＞0的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　函数y＝f(x)在R上为单调递增函数，说明f′(x)≥0在R上恒成立，且f′(x)在R的任意子区间内都不恒等于0，推不出f′(x)＞0.根据函数单调性与导数正负的关系，由f′(x)＞0显然能推出函数y＝f(x)在R上为单调递增函数．所以函数y＝f(x)为R上的单调递增函数是f′(x)＞0的必要不充分条件．

2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　)

答案　D

解析　由函数的图象可知，当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.

3．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是(　　)

A．f(x)在(－3,1)上单调递增

B．f(x)在(1,3)上单调递减

C．f(x)在(2,4)上单调递减

D．f(x)在(3，＋∞)上单调递增

答案　C

解析　根据f(x)的增减性与f′(x)的正负之间的关系进行判断，当x∈(2,4)时，f′(x)<0，故f(x)在(2,4)上单调递减，其余判断均错误．故选C.

4．求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数．

证明　由于f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，

当x∈(0，＋∞)时，ex>1，即f′(x)＝ex－1>0，

故函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数；

当x∈(－∞，0)时，ex<1，即f′(x)＝ex－1<0，

故函数f(x)在(－∞，0)上为减函数.

知识点二  求函数的单调区间

5.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，2)  B．(0,3)

C．(1,4)  D．(2，＋∞)

答案　D

解析　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝ex(x－2)．由f′(x)>0得x>2，∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．

6．函数f(x)＝x－2sinx＋1在(0，π)上的单调递增区间是(　　)

A.  B．

C.  D．

答案　D

解析　由f(x)＝x－2sinx＋1，f′(x)＝1－2cosx>0可得<x<π，故f(x)在(0，π)上的单调递增区间是.故选D.

7．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)

A．(－1,1]  B．(0,1]

C．[1，＋∞)  D．(0，＋∞)

答案　B

解析　函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得0<x≤1.

8．求下列函数的单调区间：

(1)y＝x3－2x2＋3；

(2)y＝ln (2x＋3)＋x2.

解　(1)函数的定义域为R.y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．

令y′>0，则2x(x－2)>0，解得x<0或x>2.

所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．

令y′<0，则2x(x－2)<0，解得0<x<2.

所以函数的单调递减区间为(0,2)．

故函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)．

(2)函数y＝ln (2x＋3)＋x2的定义域为.

y′＝＋2x＝＝.

令y′>0，解得－<x<－1或x>－.

所以函数的单调递增区间为，.

令y′<0，解得－1<x<－.

所以函数的单调递减区间为.

故函数的单调递增区间为，；单调递减区间为.

一、选择题

1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A．y＝sin2x  B．y＝xex

C．y＝x3－x  D．y＝－x＋ln (1＋x)

答案　B

解析　对于B中y＝xex，因为y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0，所以y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．故选B.

2．(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)

A．f(b)>f(c)>f(d)  B．f(b)>f(a)>f(e)

C．f(c)>f(b)>f(a)  D．f(c)>f(d)>f(e)

答案　CD

解析　由题图可得当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数．又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，又c<d<e，所以f(c)>f(d)>f(e)．故选CD.

3．已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)

答案　C

解析　由题图可知，当0<x<1时，xf′(x)<0，∴f′(x)<0，故f(x)在(0，1)上为减函数；当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，故选C.

4．y＝xln x在(0,5)上是(　　)

A．单调增函数

B．单调减函数

C．在上单调递减，在上单调递增

D．在上单调递增，在上单调递减

答案　C

解析　∵y′＝x′·ln x＋x·(ln x)′＝ln x＋1，∴当0<x<时，ln x<－1，即y′<0，∴y在上单调递减．当<x<5时，ln x>－1，即y′>0，∴y在上单调递增．

5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a2－3b<0，则f(x)是(　　)

A．减函数

B．增函数

C．常函数

D．既不是减函数也不是增函数

答案　B

解析　由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，则方程3x2＋2ax＋b＝0的根的判别式Δ＝4a2－12b＝4(a2－3b)<0，故f′(x)>0在R上恒成立，即f(x)在R上为增函数．

二、填空题

6．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为________．

答案　∪(2,3)

解析　f′(x)<0的解集即为f(x)的单调递减区间，结合题图可知f′(x)<0的解集为∪(2,3)．

7．函数y＝ln (x2－x－2)的递减区间为__________．

答案　(－∞，－1)

解析　∵f′(x)＝，由f′(x)＝<0，得x<－1或<x<2，而函数的定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．

8．已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的函数，其图象是连续不间断的，且f′(x)<0.若f(lg x)>f(1)，则x的取值范围是________．

答案　(1,10)

解析　∵在区间(0，＋∞)上f′(x)<0，∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．∵f(lg x)>f(1)，∴

∴1<x<10.

三、解答题

9．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其中a＋b＝0，a，b，c均为常数，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y－1＝0.

(1)求a，b，c的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

解　(1)因为f′(x)＝3ax2＋2bx，所以f′(1)＝3a＋2b，又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，所以3a＋2b＝－1，又因为a＋b＝0，解得a＝－1，b＝1，所以f(1)＝a＋b＋c＝c，由点(1，c)在直线x＋y＝1上，可得1＋c＝1，即c＝0，所以a＝－1，b＝1，c＝0.

(2)由(1)令f′(x)＝－3x2＋2x＝0，

解得x1＝0，x2＝，

当x∈(－∞，0)时f′(x)＜0；当x∈时f′(x)＞0；

当x∈时f′(x)＜0.

所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(－∞，0)和.

10．已知函数f(x)＝x2·ex－1＋ax3＋bx2，且x＝－2和x＝1是f′(x)＝0的两根．

(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间．

解　(1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)．

又x＝－2和x＝1为f′(x)＝0的两根，

所以f′(－2)＝f′(1)＝0.故有

解方程组得a＝－，b＝－1.

(2)因为a＝－，b＝－1，所以f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．

令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.

当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；

当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)<0，

所以f(x)的单调递增区间为(－2,0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)和(0,1)．