云南师范大学实验中学昆明湖校区2023-2024学年上学期九年级开学数学试卷

2023-2024学年云南师大实验中学昆明湖校区九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列根式一定是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  勾股定理为勾，为股，为弦，若“勾”为，“股”为，则“弦”是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，▱的对角线，交于点，下列结论一定成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  一次函数的图象经过(    )

A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限              D. 第一、三、四象限

5.  为了让学生了解国内外时事，培养读书看报、关心国家时事的好习惯，增强社会责任感，河南某校决定选择一批学生作为新闻播报员，现有一学生要进行选拔考核，按照：：的比例确定最终成绩，学生甲各项成绩百分制如下表，则学生甲最终的综合成绩为(    )

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

6.  在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少年上学期每天书面作业平均时长为，经过年下学期和年上学期两次调整后，年上学期平均每天书面作业时长为设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，、两点被池塘隔开，、、三点不共线设、的中点分别为、若米，则(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，矩形的对角线，相交于点若，则(    )

A.
B.
C.
D.

12.  已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：
；
；
为任意实数；
；
其中正确的结论有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）

13.  若有意义，则的取值范围是          ．

14.  已知点、在二次函数的图象上，那么 ______ 填“”、“”、“”．

15.  校生物小组有一块长，宽的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为，小道的宽应是______米．

16.  在数学活动课上，小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个如图的正方形，而后将正方形的边固定，平推成图的图形，并测得，若图中的边长，则变形后图中图形的面积是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解下列一元二次方程．
；
．

18.  本小题分
某校组织学生参加安全知识竞赛，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取名学生，统计的成绩如下：
七年级：，，，，，，，，，．
八年级：，，，，，，，，，．

根据以上信息回答下列问题：
______ ， ______ ．
通过已有数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由．

19.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
直接写出点的坐标；
在对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标．

20.  本小题分
云南柚子是芸香科柑橘属的常绿乔木，柚子含有极为丰富的维生素，胡罗卜素，钙、钾、铁等微量元素，可以预防血栓、糖尿病，投入市场销售时，经调查，该柚子每天销售量千克与销售单价元千克之间符合一次函数关系，如图所示．
求与的函数关系式；
某农户今年共采摘该柚子千克，其保质期为天，若以元千克销售，问能否在保质期内销售完这批柚子？请说明理由．

21.  本小题分
阅读材料：
材料：若关于的一元二次方程的两个根为，；
则，；
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为，；
，；
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ______ ， ______ ；
类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．

22.  本小题分
昆明湖中学提醒学生，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为元个，经测算，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上每上涨元个，则月销售量将减少个，设售价在元个的基础上涨价元．
用含有的代数式表示月销售量；
为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？

23.  本小题分
如图，平行四边形中，、分别是、的平分线，且、分别在边、上，．
求证：四边形是菱形；
若，的面积等于，求平行线与间的距离．

24.  本小题分
已知抛物线．
求该抛物线的顶点坐标；
点在该抛物线上且为整数，若的值为整数，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．中被开方数为无意义，不符合题意；
B.是二次根式，符合题意；
C.当时，是二次根式，不符合题意；
D.是的立方根，不是二次根式，不符合题意．
故选：．
根据二次根式的定义进行判断即可．
本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义和有意义的条件，一般地，形如的代数式叫作二次根式，其中叫作被开方数．

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
“弦”是．
故选：．
由题意知，，由即可得到答案．
本题考查勾股定理，关键是应用进行计算．

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
故选：．
由平行四边形的对角线互相平分可得，，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：，，
图象经过一、三、四象限．
故选：．
一次项系数，，则图象经过一、三、四象限．
本题考查了一次函数的性质，属于基础题，一次函数的图象经过第几象限，取决于的系数及常数是大于或是小于．

5.【答案】 

【解析】解：学生甲最终的综合成绩为分．
故选：．
根据加权平均数的公式计算即可．
此题主要考查了加权平均数，关键是掌握加权平均数的计算公式．

6.【答案】 

【解析】解：设根据题意得：．
故选：．
利用年上学期平均每天书面作业时长年上学期每天书面作业平均时长该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：．，所以选项不符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项不符合题意；
D.，所以选项符合题意．
故选：．
根据二次根式的除法法则对选项进行判断；根据二次根式的加法运算对选项进行判断；根据二次根式的性质对选项进行判断；根据二次根式的乘法运算对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：点，分别是和的中点，
，
故选：．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

9.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故选：．
若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于的等式，即可求解．
此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．

10.【答案】 

【解析】解：第个单项式为，即，
第个单项式为，
第个单项式为，
第个单项式为，
故选：．
根据题干所给单项式总结规律即可．
本题考查数式规律问题，根据已知单项式总结出规律是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选：．
先证是等边三角形，可得，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：由图象可知，
，，，
所以．
故错误．
因为抛物线的对称轴是直线，
所以时与时的函数值相等．
又由图象可知，
时，函数值大于．
所以时，函数值也大于．
即．
故正确．
因为抛物线开口向下，且对称轴为直线，
所以当时，函数有最大值．
则当为任意实数时，总有，
即．
故错误．
因为抛物线与轴有两个交点，
所以，
即．
故正确．
故选：．
根据所给函数图象，可得出，，的正负，再结合抛物线的对称轴为直线和开口向下，即可解决问题．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，能根据所给图象得出，，的正负并巧妙的利用抛物线的对称性是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可求得的取值范围．
【解答】
解：根据题意得，
解得．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为轴，
当时，随的增大而减小，
点、在二次函数的图象上，，
．
故答案为：．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数的关系．

15.【答案】 

【解析】【分析】
本题本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式．另外求出块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
设道路的宽为，将块草地平移为一个长方形，长为，宽为根据长方形面积公式即可求出道路的宽．
解：设道路的宽为，依题意有
，
整理，得，
，
，不合题意，舍去，
答：小道的宽应是．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】解：将正方形的边固定，平推成菱形，则边长长度不改变，
．
过点作于点，如图，

，
，
，
．
．
故答案为：．
在菱形中，，过点作于点，求出，再求出菱形的面积即可．
本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质．

17.【答案】解：因式分解可得，，
或，
解得：，，
故方程的解为：，；

移项得，，
因式分解可得，，
，，
解得：，． 

【解析】利用因式分解法求解即可得到答案；
移项，利用因式分解法求解即可得到答案．
本题主要考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法解方程．

18.【答案】   

【解析】解：七年级名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是，因此七年级学生成绩的中位数为，即；
八年级学生成绩出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，即；
故答案为：，；
八年级学生成绩较好，理由是：
两个年级中位数和众数相同，八年级的平均数比七年级高，故八年级成绩更好．
根据中位数、众数的意义即可得出答案；
根据平均数、中位数和众数的大小进行比较即可．
本题考查平均数、中位数、众数，理解平均数、中位数、众数的定义是正确解答的前提，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．

19.【答案】解：抛物线的对称轴是直线，
，
，
抛物线与轴交于，两点，点的坐标是，
，
联立得，
解得，
二次函数的解析式为，
令得，
解得或，
点的坐标为；
点，关于直线对称，
，
，
如图，连接，线段与直线的交点就是所求作的点，

设直线的表达式为，
把和代入得：，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
． 

【解析】根据二次函数的对称轴为直线得，把点代入抛物线得，联立，解方程组求出，的值，从而得出二次函数的解析式，再令，解方程即可；
连接，线段与直线的交点就是所求作的点，设直线的表达式为，代入和即可求得直线的表达式为，当时，，得．
本题考查抛物线与轴的交点，掌握二次函数对称轴、与坐标轴交点的性质是解题的关键．

20.【答案】解：设，将坐标和代入，
得，解得，
．
能在保质期内销售完这批柚子．
当时，，
千克．
天内可销售千克．
又，
能在保质期内销售完这批柚子． 

【解析】设，将坐标和代入，利用待定系数法求解即可；
当时，求出值，即每天销售量．计算出天内能够销售的数量，与千克相比，即可得出结论．
本题考查一次函数的应用，正确求出与的函数关系式是解答本题的关键．

21.【答案】   

【解析】解：一元二次方程的两个根为，，
，，
故答案为：，；
一元二次方程的两根分别为，，
，，
．
利用根与系数的关系，即可得出及的值；
利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论．
本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．

22.【答案】解：根据题意得：；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽可能让顾客得到实惠，
，
．
答：该品牌头盔的实际售价应定为元个． 

【解析】利用月销售量售价在元个的基础上涨的钱数，即可用含的代数式表示出月销售量；
利用月销售利润每个头盔的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，结合要尽可能让顾客得到实惠，可确定的值，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出月销售量；找准等量关系，正确列出一元二次方程．

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
、分别是、的平分线，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的面积等于，
，
，
即，
由知四边形是菱形，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
即，
由勾股定理得，
即平行线与间的距离是． 

【解析】根据平行四边形对角相等得到，再根据、分别是、的平分线，可得到，再根据平行四边形对边平行得到，于是有，得出，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；
连接，根据平行四边形的性质和角平分线的定义可证得，结合已知得到是等边三角形，从而求出，，再证得，即可得到，根据勾股定理求出的长，从而得出平行线与间的距离．
本题考查了菱形的判定与性质，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形是此题的关键，理解平行线间的距离的定义，等边三角形的性质与判定．

24.【答案】解：，
则抛物线的顶点坐标为：；
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
则，
则，
或或或时，为整数． 

【解析】由，即可求解；
由，得到，即可求解．
此题主要考查了抛物线与轴的交点，同时也利用了函数的性质和表达式的化简，综合性比较强，对于学生的要求比较高．