内蒙古自治区包头市2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题

试卷类型：A

绝密★启用前

2022—2023学年度第一学期高二年级期末教学质量检测试卷

理科数学

注意事项：

1．考生务必将自己的姓名、考场、座位号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域。本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“”的否定是（    ）

A． B． C． D．

2．抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

3．已知，则“”是方程“表示圆”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4．长方体中，分别为棱中点，则两点的距离为（    ）

A． B． C．3 D．

5．是椭圆上的一点，是椭圆的左焦点，是坐标原点，已知点是的中点，且，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知圆与圆交于两点，则（    ）

A． B． C． D．

7．若实数满足，则曲线与曲线的（    ）

A．离心率相等 B．焦距相等 C．实轴长相等 D．虚轴长相等

8．已知点满足方程，点．若斜率为斜率为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，．则对角线的长度为（    ）

A． B． C．2 D．

10．是双曲线上关于原点对称的两点，是左、右焦点．若，则四边形的面积是（    ）

A． B．3 C．4 D．6

11．已知命题：椭圆的离心率为，若，则；命题：双曲线的两条渐近线的夹角为，使．下列命题正确的是（    ）

A． B． C． D．

12．已知椭圆，直线依次交轴、椭圆轴于点四点．若，且直线斜率．则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．拋物线上一点到轴的距离为6，则点到抛物线焦点的距离为________．

14．在平面直角坐标系中，过作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为________．

15．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第二象限．若为等腰三角形，则点的坐标为________．

16．在平面直角坐标系中，．以下各曲线中，存在两个不同的点，使得且的曲线有________．（请将所有符合要求的曲线方程序号写在横线上）

①；②；③；④．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）已知圆过且圆心在直线上．经过点的直线交圆于两点．

（1）求圆的标准方程；

（2）若，求直线的方程．

18．（12分）抛物线的准线被圆截得的弦长为．

（1）求的值；

（2）过点的直线交抛物线于点，证明：以为直径的圆过原点．

19．如图1、2，已知圆方程为，点．M是圆上动点，线段的垂直平分线交直线于点．

            图1                             图2

（1）求点的轨迹方程；

（2）记点的轨速为曲线，过点是否存在一条直线，使得直线与曲线交于两点，且是线段中点．

20．（12分）如图，已知四棱锥中，是正方形，平面，点分别是棱、对角线上的动点（不是端点），满足．

（1）证明：平面；

（2）求距离的最小值，并求此时二面角的正弦值．

21．（12分）已知椭圆左右焦点分别为，离心率为．斜率为的直线（不过原点）交椭圆于两点，当直线过时，周长为8．

（1）求椭圆的方程；

（2）设斜率分别为，且依次成等比数列，求的值，并求当面积为时，直线的方程．

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错误、漏涂均不给分，如果多做、则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为．

（1）当时，求曲线与轴交点的直角坐标；

（2）直线与曲线有唯一公共点，求实数的值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知均为正实数，且．

（1）求的最大值；

（2）若，证明：．

2022-2023学年度第一学期高二年级期末教学质量检测试卷

理科数学参考答案

一、选择题

1．A  2．C  3．A  4．D  5．C  6．B  7．B  8．A  9．B  10．D  11．C  12．D

二、填空题

13．10  14．  15．  16．①③

三、解答题

17．解：（1）直线的垂直平分线方程为

与联立得，，即

圆半径

所以，圆的标准方程为．

（2）圆心到直线的距离

当直线的斜率存在时，设直线的方程为

由得

当直线的斜率不存在时，直线方程为到距离为2

综上可得，直线方程为或．

18．解：（1）圆的圆心，半径为2；

所以到准线距离为1

所以准线方程为

所以，抛物线标准方程为．

（2）设直线方程为

与联立得

，由韦达定理

，即以线段为直径的圆过点．

19．解：（1）由中垂线性质知，

所以

所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线

设此双曲线方程为，则

所以点的轨迹方程为．

（2）设可得

两式相减得

由题意，所以

直线方程为代入得，

∵．∴不存在这样的直线．

20．（1）证明：作交于，作交于，连接．

在直角三角形和中，因为，

所以．

因为．所以，所以．

因为，所以．所以四边形是平行四边形．

所以

面平面平面．

（2）因为平面是正方形．所以以为原点，

分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系．

设，则，

所以，当即是中点时，的最小值为2．

此时设平面的一个法向量

由即取，即

平面的一个法向船

所以．

所以二面角的正弦值为．

21．解：（1）由题意，，解得

椭圆的方程为．

（2）法一：设直线的方程为，

与椭圆方程联立得，

可得．

由题意，

得

此时，得

O到直线得距离，三角形的面积．

解得，或，所以直线l方程为，或．

法二：设直线l方程为，代入得

整理得

即

由得，，

．

（以下同法一）

22．解：（1）

得

所以曲线与轴交点得坐标为．

（2）

得即为直线l的方程

曲线的普通方程为

方程与联立得

得．

23．解：（1）由柯西不等式

所以，当且仅当时等号成立．

（2）证明：因为，由（1）得

即，所以

因为

当且仅当，即时，等号成立．

因为，所以，即．