北京市清华大学附属中学2024届高三上学期开学考试数学试卷

2023-2024学年北京市清华附中高三（上）开学数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．不等式（1﹣x）（2+x）＞0的解集为（　　）

A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） 

C．（﹣∞，1）∪（2，+∞） D．（﹣1，2）

2．的展开式中的常数项为（　　）

A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15

3．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a2＝﹣1，S5﹣S3＝8，则S9＝（　　）

A．36 B．45 C．54 D．63

4．已知，则（　　）

A．f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增 

B．f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减 

C．f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增 

D．f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减

5．若直线y＝kx+2把圆x2+y2＝4分成长度为1：2的两段圆弧，则k＝（　　）

A． B． C．±1 D．

6．已知，为平面上的单位向量，“⊥“是“|3|＝|2﹣3（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不必要又不充分条件

7．在△ABC中，，A＝45°，b＝m，则m的可能取值为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2

8．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线准线上一动点，则直线l与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为（　　）

A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{1，2}

9．我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，且A，B，D'三点共线，B为AD'的中点，当伞从完全张开到完全收拢，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是（　　）

A． B． C． D．

10．已知函数在[0，2]上恰有4个不同的零点（　　）

A． B． C． D．

二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.

11．双曲线的渐近线方程为y＝±2x，则a＝　   　．

12．已知复数z满足z（1+i）＝2+2z，则z在复平面的对应点的坐标为 　   　．

13．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（该点为所在棱的中点）．若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为，如图所示，则该“十字贯穿体”的体积为 　   　．

14．已知函数．

①函数f（x）的零点个数为 　   　．

②若存在实数b，使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根　                　．

15．已知无穷项数列{an}满足：an+2＝an+an+1（n＝1，2，3，⋯），a1，a2为有理数，给出下列四个结论：

①若a3＞a2＞a1，则数列{an}单调递增；

②数列{an}可能为等比数列；

③若存在k0∈N*，k0≥3，，则对于任意n≤k0﹣2，总有anan+1≤0．

④若存在M＞0，对于任意n∈N*，总有|an|＜M，则an＝0．

其中全部正确结论的序号为 　   　．

三、解答题共6道小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．已知函数．

（1）求的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝21B1的中点．

（1）求证：C1M∥平面B1DE；

（Ⅱ）从下面两个选项中选择一个作为条件，求二面角A﹣DE﹣B1的余弦值．

①DE⊥BC；

②．

18．为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民（分为18﹣40岁、41岁﹣70岁及其他人群各100名）参与问卷测试（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分绘制频数分布表如下

假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响．

（Ⅰ）从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；

（Ⅱ）从A、B小区41﹣70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）设事件E为“从A小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”（E）与事件F发生的概率P（F）的大小

19．已知椭圆E：，其离心率，长轴长为6．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）椭圆E的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，过点A的直线l与椭圆E的另一个交点为P，直线AP交BC于M，直线AQ交BC于点N（6，﹣2），求证：|AM|＝|TN|．

20．已知函数，且曲线y＝f（x）在x＝0处与x轴相切．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）令g（x）＝f′（x），证明函数g（x）在（0，+∞）；

（Ⅲ）求f（x）的极值点个数．

21．对于数集X＝{﹣1，x1，x2，…，xn}（n≥2为给定的正整数），其中0＜x1＜x2＜⋯＜xn，如果对任意a，b∈X，都存在c，使得ac+bd＝0，则称X具有性质P．

（Ⅰ）若，且集合{﹣1，x，，1}具有性质P；

（Ⅱ）若X具有性质P，求证：1∈X；且若xn＞1成立，则x1＝1；

（Ⅲ）若X具有性质P，且xn＝2023，求数列x1，x2 …，xn的通项公式．

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