2022-2023学年天津市西青区高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年天津市西青区高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．解一道数学题有三种方法，有3个人只会用第一种方法解答．有4个人只会用第二种方法解答，有3个人只会用第三种方法解答，从这10个人中选一个人解答这道题目，则所有不同的选法有（    ）

A．20种 B．10种 C．21种 D．36种

【答案】B

【分析】根据题意，由加法计数原理即可得到结果.

【详解】根据分类加法计数原理可得，不同的选法共有（种）.

故选：B

2．下列函数求导正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的求导公式和复合函数的求导以及导数的运算法则，即可判断出答案.

【详解】对于A，，A错误；

对于B，，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确，

故选：D

3．已知随机变量ξ的分布列为，则实数m＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由随机变量ξ的分布列的性质得：，由此能求出实数m．

【详解】∵随机变量ξ的分布列为

解得实数

故选：C

【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4．某学校社团举办一年一度的“五四”青年节展演．现从《歌唱祖国》《我的未来不是梦》《爱拼才会赢》《走进新时代》这4首独唱歌曲和《光荣啊，中国共青团》《我爱你中国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有（    ）

A．14种 B．48种 C．72种 D．120种

【答案】D

【分析】按照合唱歌曲的个数来分类：可能选出两首，可能是一首，合唱歌曲有要求，则需要先排，然后进行排列.

【详解】（1）若只选取一首合唱歌曲，有种方法，那么独唱歌曲要选首，有种方法，然后先排合唱歌曲在最后，其余的全排列，共种；

（2）若选取两首合唱歌曲，有种方法，那么独唱歌曲要选首，有种方法，然后先排选一首合唱歌曲在最后有种方法，其余的全排列，共种.

因此一共种.

故选：D

5．一颗骰子连续掷两次，设事件为“两次的点数不相等”，为“第一次为奇数点”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件先分析事件对应的情况数，然后分析事件同时发生的情况数，由此求解出的值，再根据公式求解出结果.

【详解】由题知，事件出现的情况有种，事件，同时出现的情况有种，

所以，，．

故选：C.

6．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，结合导数的几何意义判断即可.

【详解】由f(x)的图象可知，函数f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于0，故符合题意的只有选项A.

故选：A.

7．在的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（    ）

①二项式系数之和为32；②各项系数之和为0；③二项式系数最大项为第四项；④的系数为15

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【分析】由展开式中各项系数之和，展开式中的二项式系数之和，二项式系数最大项及二项展开式中的通项公式运算求解判断各个选项即可.

【详解】由条件在的展开式中共有7项，可得①二项式系数之和为，①错误；

令，各项系数之和为，②正确；

二项式系数最大项为第四项，③正确；

，

令，解得，

所以展开式中含项的系数为，的系数为15，④正确.

故选：B.

8．下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（    ）

A．在儿子身高关于父亲身高的经验回归方程中，若父亲身高每增加，其儿子身高平均增加

B．经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线

C．若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数就越接近于1

D．若甲、乙两个模型的决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好

【答案】A

【分析】根据回归方程的意义，逐项分析理解即可.

【详解】对于A，0.839的含义就是每增加一个单位，估计值 就平均增加0.839个单位，故A正确；

对于B，确定回归直线的根据是误差最小，并不是经过的样本点最多，故B错误；

对于C，相关有正相关和负相关，共同点是相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故C错误；

对于D， 是描述拟合效果的， 越大拟合效果越好，应该是甲的拟合效果更好，故D错误.

故选:A.

9．已知随机变量服从正态分布，，则（    ）

A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.8

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算即可.

【详解】因随机变量服从正态分布,.

所以，.

所以.

故选：B.

10．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题意，由此构造函数，判断其单调性，将化为，即，即可求得答案.

【详解】由题意对任意的，都有，即，

令，则，

即为R上的增函数，

而，故，

又即，即，

所以，即不等式的解集为，

故选：D

二、填空题

11．曲线在点处的切线方程为          ．

【答案】

【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．

【详解】由题，当时，，故点在曲线上．

求导得：，所以．

故切线方程为．

故答案为：．

三、双空题

12．已知随机变量服从两点分布，，则         ，若随机变量，则         ．

【答案】         

【分析】根据两点分布的概率的性质即可求得；根据二项分布的期望公式即可求得.

【详解】因为随机变量服从两点分布，，

故，即，

则随机变量，故，

故答案为：；

四、填空题

13．“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”，某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派特1名专家．则分派方法的种数为         ．（用数字作答）

【答案】36

【分析】将4名专家分为3组，一组2人，其余2组个1人，然后分到3个地方，结合排列组合数的计算，即得答案.

【详解】由题意可知有2名专家去一个地方，其余2地方各分派一名专家，

故共有种分派方法，

故答案为：36

14．的展开式中常数项为      ．

【答案】40

【分析】由二项式定理及展开式通项公式可得：展开式的通项公式为,再利用乘法的分配律运算即可得解.

【详解】解：由展开式的通项公式为,

则 的展开式中常数项为-=40,

故答案为40.

【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题.

15．主人出差，委托邻居浇水，设已知如果浇水，则树活着的概率为0.85：如果不浇水，树活着的概率为0.2，邻居很善于助人，有0.9的把握确定邻居记得浇水．那么主人出差回来树还活着的概率为         ．

【答案】0.785/

【分析】根据全概率公式计算，即可求得答案.

【详解】设事件A表示：树活着，B表示邻居记得浇水，

则，，

故

,

故答案为：0.785

16．已知函数（是自然对数底数）在定义域上有三个零点，则实数的取值范围是         ．

【答案】

【分析】由的取值范围进行分类讨论，结合在上有三个零点以及导数，求得的取值范围.

【详解】当时，由，

当时，由，

令，，

当时，递减，

当时，递增，，

所以当时，在区间上有两个零点，

由于在上有三个零点，所以.

综上所述，的取值范围是.

故答案为：

五、解答题

17．今年是中国共产党建党102周年，为庆祝中国共产党成立102周年，某高中决定在全校约3000名高中生中开展“学党史，知奋进”党史知识克赛活动，设置一、二、三等奖若干名，为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了50名学生作为样本，统计这50名学生的获奖情况后得到如下列联表：

附：

参考公式：

(1)完成上面2×2列联表，并依据的独立性检验，能否认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关；（结果保留一位小数）

(2)从选修历史且获奖的学生中选取2名男生和4名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”，在某次活动中，从这6名学生中随机选取3人为宣讲员，求男生宣讲员人数的分布列和数学期望．

【答案】(1)列联表见解析；能

(2)分布列见解析；1

【分析】（1）由题意可得列联表，计算的值，并与临界值表比较，可得结论；

（2）确定变量的取值，求得每个值对应的概率，即可得分布列，根据数学期望公式即可求得期望.

【详解】（1）由题意可得列联表：

则

故依据的独立性检验，能认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科”有关

（2）由题意可知男生宣讲员人数的取值可能为，

则,

故的分布列为：

则.

18．已知函数在处有极值

(1)求的值并判断是极大值点还是极小值点；

(2)求函数在区间上的最值．

【答案】(1)，极小值点

(2)最大值为4，最小值为

【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处有极值可得，可求得a的值；判断函数的单调性，即可判断判断是极大值点还是极小值点；

（2）根据函数在上的单调性，结合函数值即可确定最值.

【详解】（1）因为函数，故，

由于函数在处有极值，故，

此时，

当或时，，在单调递增，

当时，，在单调递减，

则为的极小值点，符合题意，

故，且为的极小值点.

（2）由（1）可知在单调递减，在单调递增，

故是函数在区间上的极小值也是最小值，

由可知函数在区间上的最大值为4.

19．随着中国羽毛球队第13次捧起苏迪曼杯，2023年世界羽毛球混合团体锦标赛在5月21日落下帷幕．国家羽毛球队在面对东道主和卫冕冠军的双重压力下，多次面临困境，一度濒临绝境但最终都战胜了对手，站上了冠军领奖台，展现了队员们强大的心理素质和永不放弃、顽强，拼搏的中国精神，队员们圆梦经历也告诉我们：人生中会遇到很多逆境，只要逆境中坚定信心，永不放弃，一切皆有可能，就会有奇迹发生．精彩的苏迪曼杯羽毛球比赛激发了某校同学们参加，羽毛球活动的热情，甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛，若采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.

(1)求甲以的比分获胜的概率；

(2)设表示比赛结束时进行的总局数，求的分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）甲以的比分获胜，说明前局胜局输局，第局胜利，根据独立事件的乘法公式计算；

（2）比赛可能打局才结束，分别根据独立事件的乘法公式计算分别的概率，然后再算期望.

【详解】（1）甲以的比分获胜，则甲在前局胜局输局，第局胜利，概率为：

（2）可能的取值为，

；；

20．已知函数，（且）

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，证明：；

(3)，若在上恒成立，求实数取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值情况，从而判断导数正负，即可判断函数单调性；

（2）要证明，即证，由此构造函数，利用导数求解函数的最值即可证明；

（3）将在上恒成立，参变分离整理即为在上恒成立，由此构造函数，利用导数求解函数的最值，即可得答案.

【详解】（1）由题意得函数的定义域为，

，

当时，，则在上单调递增；

当时，令，则，

当时，，则，在上单调递减；

当时，，则，在上单调递增；

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增；

（2）证明：当时，，

要证明，即证明：，即证；

令，则，

当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减，

故时的极大值点，也是最大值点，

则，即，

故.

（3）由题意得，

在上恒成立，即在上恒成立，

即在上恒成立，

令，，则，

当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减，

故，

故

【点睛】方法点睛：（1）利用导数证明不等式时，转化为函数的最值问题解决，即整理变形，构造函数，从而利用导数求解；（2）不等式恒成立问题要参变分离，构造函数，转化为函数最值问题求解.