2022-2023学年天津市东丽区高二下学期期末模拟数学试题含答案

2022-2023学年天津市东丽区高二下学期期末模拟数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用交集的运算律即可求解.

【详解】根据交集的运算规律知.

故选：C

2．若的展开式中的系数为150，则（    ）

A．20 B．15 C．10 D．25

【答案】C

【解析】写出此二项展开式的通项，令的系数为6求出r，即可代入通项求出的系数，列出等式即可求解.

【详解】此二项展开式的通项为，

令，解得，

此时，则.

故选：C

【点睛】本题考查二项展开式的特定项的系数，属于基础题.

3．的定义域为，，，则

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据定义域计算得到，，，得到答案.

【详解】满足，即，故，

，，故.

故选：.

【点睛】本题考查了函数定义域，指数对数函数的单调性比较大小，意在考查学生对于函数知识的综合应用.

4．若非空集合、、满足，且不是的子集，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】分析出，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】因为非空集合、、满足，且不是的子集，则，

因此，“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

5．若命题p为：为

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果.

【详解】根据的构成方法得，为.故选C.

【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.

6．易经是中国传统文化中的精髓，如图所示的是易经八卦(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成(“——”表示一根阳线，“— —”表示一根阴线).现从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中至少有两根阳线的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先求这两卦的六根线中只有一根阳线的概率，再利用对立事件，即可得答案；

【详解】从八卦中任取两卦，共有种取法，若从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中只有一根阳线，则应取坤卦，再从震､艮､坎三卦中取一卦，有种取法.所以所求的概率为.

故选：B.

7．10件产品中有2件次品，现任取件，若2件次品全部被抽中的概率超过0.4，则的最小值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】B

【分析】根据题意得，然后用组合数公式求解.

【详解】根据题意得，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以的最小值为7.

故选：B

【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法和组合数运算，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于基础题

8．给出下列说法：

①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；

②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；

③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差；

④在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位.

其中说法正确的是（    ）

A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④

【答案】B

【分析】①中，根据回归直线方程的特征，可判定是不正确；②中，根据相关系数的意义，可判定是是正确的；③中，根据方差的计算公式，可判定是正确的；④中，根据回归系数的含义，可判定是正确的.

【详解】解:对于①中，回归直线恒过样本点的中心，但不一定过一个样本点，所以不正确；

对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，所以是正确的；

对于③中，根据平均数的计算公式可得,根据方差的计算公式，所以是正确的；

对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的.

故选：B

【点睛】本题主要考查了统计知识的相关概念及判定，其中解答中熟记回归直线方程的特征，回归系数的含义，相关系数的意义，以及方程的计算方法是解答的关键，属于基础题.

9．已知函数，其定义域是，，则下列说法正确的是　　

A．有最大值，无最小值 B．有最大值，最小值

C．有最大值，无最小值 D．有最大值2，最小值

【答案】A

【分析】将化为，判断在，的单调性，即可得到最值．

【详解】解：函数

即有在，递减，

则处取得最大值，且为，

由取不到，即最小值取不到．

故选：．

【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用单调性，考查运算能力，属于基础题．

二、填空题

10．(1-2x)5的二项展开式中各项系数的绝对值之和为     .

【答案】243

【分析】令x=-1即得(1-2x)5的二项展开式中各项系数的绝对值之和.

【详解】设

令x=-1,则243=，

故答案为243

【点睛】（1）本题主要考查二项式展开式的各项的系数和问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二项展开式的系数的性质：对于，

.

11．对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，的“差数列”的通项公式为，则      .

【答案】

【解析】利用累加法求解即可．

【详解】∵

∴，，，，

，

各项累和得：，

∴．

故答案为：．

【点睛】在数列中，若已知首项，且满足型如的递推关系式时，一般采用累加法求通项公式．

12．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为_________.

【答案】

【详解】试题分析：由题活动恰好在第4人抽完后结束，包含的情况有；（不中）中中中，中（不中）中中，中中（不中）中．则概率为；

【解析】相互独立事件及互斥事件概率算法．

13．已知曲线的一条切线为，则           .

【答案】2

【分析】求导，设出切点坐标，利用导数的几何意义进行求解.

【详解】由，得：，

设切点为，则，

即，即，

所以.

故答案为：2.

14．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为        ．(若，则)

【答案】/0.5

【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，即可根据集合的包含关系列出不等式组，从而得解．

【详解】依题可知，，再根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，

由可得，，

所以，解得：，故σ至多为．

故答案为：．

15． 设，，，则的最小值为          .

【答案】.

【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．

【详解】由，得，得

，

等号当且仅当，即时成立．

故所求的最小值为．

【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．

三、解答题

16．已知函数.

（1）若，且在上存在零点，求实数a的取值范围；

（2）若对任意，存在使，求实数b的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由时，，当时，可得，实数a的取值范围即为的值域，令对其求导判断单调性，求出的值域，进而可计算的值域，即可求解；

（2）由得，即，令，则的对称轴为，由得，所以在上最小值为，再由得，即可求得实数b的取值范围.

【详解】（1）当时，在上有解，

当时，，即，

令，；

由可得或，

由可得或，

所以在和上单调递增，在和上单调递减，

当时，，当时，，

所以的值域为，

所以的值域为，

所以

（2）由得，即，

令，则的对称轴为，

当时，，

所以当时，的最小值为，

又因为对任意的恒成立，

所以，

所以，

所以实数b的取值范围为.

【点睛】结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．

17．某闯关游戏规则是：先后掷两枚骰子，将此试验重复n轮，第n轮的点数分别记为xn，yn，如果点数满足，则认为第n轮闯关成功，否则进行下一轮投掷，直到闯关成功，游戏结束.

(1)求第一轮闯关成功的概率；

(2)如果第i轮闯关成功所获的奖金数f(i)=10000× （单位：元），求某人闯关获得奖金不超过1250元的概率；

(3)如果游戏只进行到第四轮，第四轮后不论游戏成功与否，都终止游戏，记进行的轮数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)

(3)分布列见解析，

【分析】（1）枚举法列出所有满足条件的数对,即可，

（2）由，得，由（1）每轮过关的概率为．某人闯关获得奖金不超过1250元的概率：

（3）设游戏第轮后终止的概率为，2，3，，分别求出相应的概率，由能求出的分布列和数学期望．

【详解】（1）当时，，因此，2；

当时，，因此，2；

当时，，因此，2；

当时，，因此；

当时，因此；

当时，，因此无值；

第一轮闯关成功的概率．

（2）令金数，则，

由（1）每轮过关的概率为．

某人闯关获得奖金不超过1250元的概率

（3）依题意的可能取值为1，2，3，4

设游戏第轮后终止的概率为，2，3，

．，，；

故的分布列为

因此

18．某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位：吨)是一个随机变量，其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z(单位：元)是一个随机变量.

(I)求Z的分布列和均值；

(II)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.

【答案】（Ⅰ）的分布列见解析，；（Ⅱ）0．973．

【详解】（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，

则有（1）

目标函数为．

当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为．

将变形为，

当时，直线：在轴上的截距最大，

最大获利．

当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为．

将变形为，

当时，直线：在轴上的截距最大，

最大获利．

当时，（1）表示的平面区域如图3，

四个顶点分别为．

将变形为，

当时，直线：在轴上的截距最大，

最大获利．

故最大获利的分布列为

因此，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率，

由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为

【解析】线性规划的实际运用，随机变量的独立性，分布列与均值，二项分布．

19．在数列中，，，．

（1）证明数列是等比数列；

（2）求数列的前项和；

（3）证明不等式，对任意皆成立．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【详解】试题分析：（1）由条件可构造，从而数列为等比数列，即可求出；（2）写出数列的通项，分组求和即可；（3）作差后分析差的正负即可.

试题解析：

（1）证明：由题设，得

，．                                              

又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．              

（2）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为

． 所以数列的前项和．                                    

（3）证明：对任意的，

．

所以不等式，对任意皆成立．

点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程的思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．

20．已知函数.

（1）若，求函数的最小值；

（2）若对于任意恒成立，求的取值范围；

（3）若，求函数的最小值.

【答案】（1）（2）（3）

【分析】（1）时，当时取得最小值

（2）将不等式平方得，然后只需求出左边的最小值即可

（3）图象分别是以和为顶点的开口向上的V型线，且两条射线的斜率为，然后分7种情况讨论这两个函数的位置关系

【详解】（1）因为，所以，

所以当时，的最小值为1；

（2）因为对任意恒成立，

所以对任意恒成立，

所以，

即对任意恒成立，

所以，解得：，

所以；

（3），

图象分别是以和为顶点的

开口向上的V型线，且两条射线的斜率为，

当时，即，所以，

此时令，所以.

若，，此时恒成立，

所以，此时为图中红色部分图象，

对应如下图：

若，令，

即，所以.

所以，

此时为图中红色部分图象，对应如下图：

当时，即，所以，

此时令，所以，

若时，，令，

即，所以，

所以，

此时为图中红色部分图象，对应如下图：

若时，，此时恒成立，

所以，此时为图中红色部分图象，

对应如下图：

当时，则，所以，所以恒成立，

令，即，所以，

当时，，

若时，则，

所以，此时为图中红色部分图象，

对应如下图：

若时，则，

所以，此时为图中红色部分图象，

对应如下图：

若，则，

所以，此时为图中红色部分图象，

对应如下图：

综上所述：的最小值为

【点睛】本题考查的是含有绝对值函数的综合应用，较复杂，含有绝对值的函数基本上都是分段函数，一般用分类讨论的思想解题.