2022-2023学年四川省自贡市高二下学期期末考试数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省自贡市高二下学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．当时，复数在复数平面内对应点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】由复数的几何意义，根据实部和虚部的符号，求复数在复数平面内对应点所在象限.

【详解】复数

当时，，，

，，复数在复数平面内对应点位于第三象限.

故选：C

2．抛物线的焦点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据抛物线的标准方程，直接可得答案.

【详解】抛物线即，故其焦点坐标为，

故选：A

3．将上所有点经过伸缩变换：后得到的曲线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由变换：变形得到，再代入，化简即可.

【详解】由得，

代入得，

化简得，即.

故选：D

4．已知命题，有，则是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据全称命题的否定是特称命题直接可得答案.

【详解】由全称命题的否定可知，，.

故选：B

5．已知等比数列{}的前n项和为，则”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用等比数列前项和和的公式判断符号即可求解.

【详解】若公比，则当时成立；

若公比，则与符号相同

与的符号相同，故

即是的充要条件

故选:C.

6．已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求得双曲线焦点坐标和渐近线方程，求得过倾斜角为的直线方程，判断，求出坐标，继而求得，即可求得答案.

【详解】由题意双曲线可知，，

故其渐近线方程为，

过倾斜角为的直线方程为，即，

不妨设l与渐近线的交点如图示：

由于，即；

联立，解得，即，则，

联立，解得，即，则，

则,

故的面积为，

故选：D

7．关于x的不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造，求出定义域，由导函数得到单调性，结合，求出不等式解集.

【详解】的定义域为，

由，知在单调递减，

又，

所以不等式的解集是．

故选：D

8．“以直代曲”是重要的数学思想．具体做法是：在函数图像某个切点附近用切线代替曲线来近似计算．比如要求的近似值，我们可以先构造函数，由于0.05与0比较接近，所以求出处的切线方程为，再把代入切线方程，故有，类比上述方式．则（    ）

A．1.001 B．1.005 C．1.015 D．1.025

【答案】B

【分析】由题意可设，根据导数的几何意义求得在处的切线方程，根据在函数图像某个切点附近用切线代替曲线来近似计算，即可求得答案.

【详解】设，则，

则，故在处的切线方程为，设为，

故由题意得，

故选：B

9．设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列四个结论正确的个数（    ）

①；

②离心率；

③面积的最大值为；

④以线段为直径的圆与直线相切．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】由椭圆定义可判断①；求出离心率可判断②；当为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值，求出可判断③；求出圆心到直线距离可判断④.

【详解】对于①，由椭圆的定义可知，故①正确；

对于②，由椭圆方程知，

所以离心率，故②错误；

对于③，，当为椭圆短轴顶点时，

的面积取得最大值，最大值为，故③错误；

对于④，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，

圆心到直线的距离为:

，

即圆心到直线的距离等于半径，

所以以线段F1F2为直径的圆与直线相切，

故④正确.

故选：B.

10．已知，为的导函数，则的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先将函数化简为，再求得，判断为奇函数，排除B，D；再分析选项A，C图像的区别，取特殊值即可判断出答案．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴为奇函数，其图象关于原点对称，故B，D错误；

将代入得：，故C错误．

故选：A．

11．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的极值点，分析可知，函数在区间上存在极值点，可得出关于实数的不等式组，解之即可.

【详解】函数的定义域为，且，

令，可得，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，函数的唯一极值点为，

因为函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，

则函数在区间上存在极值点，且，

所以，，解得.

故选：A.

12．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，将问题转化为直线与函数的图象在上有两个不同的交点，根据导函数研究的单调性，从而作出函数的图象，数形结合即可得解.

【详解】令，原问题可转化为直线与函数的图象有两个不同的交点..令，则，所以在上单调递增，又，，所以存在，使得，即，从而，所以当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增.所以，作出函数的大致图象，如图所示，易知当时，函数与的图象有两个不同的交点，即在上有两个不同的零点.

故选：D

二、填空题

13．已知，则          ．

【答案】

【分析】根据复数的除法运算求得复数z，根据模的计算即可求得答案.

【详解】由得，

故，

故答案为：

14．已知函数，若，则的范围是          ．

【答案】

【分析】判断函数的单调性，根据函数的单调性即可求解不等式.

【详解】由函数，可得，

即为R上的单调递增函数，

故由可得，

即的范围是，

故答案为：

15．双曲线经过一点，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为          ．

【答案】

【分析】由题意可设双曲线方程为，将代入方程求得，即可求得答案.

【详解】由题意双曲线经过一点，渐近线方程为，

可设双曲线方程为，

将代入方程得，

故双曲线的方程为，标准方程为，

故答案为：

16．在平面直角坐标系中，若对于曲线上的任意点，都存在曲线上的点，使得成立，则称函数具备“性质”．则下列函数具备“性质”的序号是          ．

①；②；③；④.

【答案】②④

【分析】①②③④都可以作出简图，对于①和③，可在图中选取特殊点验证排除；②和④可在图中任意选择点，观察是否存在点，使得成立，即可作出判断.

【详解】对于①，如图所示，曲线，当点时，

要使得点满足成立，那么点落在直线上，

而此时与两直线是平行的，不存在交点，

故此时不满足在上存在点，使得成立，故①不满足条件；

对于②，如图所示，对于函数，

对于曲线上的任意点，都存在曲线上的点，

使得成立，故②满足条件；

对于③，因为，其中，则，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，当时，函数取得最大值，即，

当时，；当时，.

当点，要使得点满足成立，那么点落在直线上，

而此时与两曲线不存在交点，故此时不满足在上存在点，

使得成立，故③不满足；

对于④，如下图所示，曲线，对于曲线上的任意点，

在曲线上都存在点，使得成立，故④满足条件.

故答案为：②④.

三、解答题

17．已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，求该抛物线准线方程及．

【答案】；8

【分析】根据抛物线方程即可确定焦准距，继而可得抛物线准线方程；求出过焦点且倾斜角为的直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，利用抛物线的弦长公式即可求得.

【详解】由题意抛物线可知焦准距为，

则焦点，抛物线准线方程为；

过焦点且倾斜角为的直线的方程为，

联立可得，

设，则，

故.

18．某中学计划在学校开设劳动实践课程，为了解学生对劳动实践课程的赞同度，随机从高一、高二年级学生中一共抽取了100人进行调查，其中高一年级对开设劳动实践课程赞同的占，而高二年级有20人表示对开设劳动实践课程赞同．下表是部分列联表：

(1)求表中，，的值；能否有的把握认为对开设劳动实践课程的赞同度与年级有关？

(2)为进一步了解学生对劳动实践课程认知，用分层抽样的方法随机从参与调查的高二学生中选取4人，若再从这4人中随机选取2人进行个别交流，求这2人中至少有1人不赞同的概率．

附表：．

【答案】(1)，，，有的把握认为对开设劳动实践课程的赞同度与年级有关

(2)

【分析】（1）已知条件结合表中数据求，，的值；计算，与临界值比较下结论；

（2）利用古典概型公式结合对立事件求解.

【详解】（1）由题意得，，，，

，

有的把握认为对开设劳动实践课程的赞同度与年级有关.

（2）用分层抽样的方法随机从参与调查的高二学生中选取4人，则赞同的有2人，记为A,B,

不赞同的2人，记为a，b，

若再从这4人中随机选取2人进行个别交流，

总的基本事件有：，则2人中均赞同的基本事件仅有，

所以这2人中至少有1人不赞同的概率概率为.

19．已知函数．

(1)若的单调递减区间为，求实数的值；

(2)若函数在单调递减，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导数，根据的单调递减区间为，可得是的两根，即可求得答案；

（2）由函数在单调递减，可得在上恒成立，即可推出在上恒成立，从而求得答案.

【详解】（1）由题意得，

因为的单调递减区间为，即的解集为，

故是的两根，即，

当时，，由，解得，

等号仅在时取得，即的单调递减区间为，符合题意，

故.

（2）函数在单调递减，即在上恒成立，

即在上恒成立，此时，

即在上恒成立，而，故,

经验证当时, 即，

等号仅在时取得，此时函数在单调递减，符合题意，

故.

20．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；

(2)求为曲线的点，为曲线的点，求的最小值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用消参法可求得曲线的普通方程，根据极坐标与直角坐标之间的转化公式可得曲线的直角坐标方程；

（2）判断两曲线的位置关系，求出曲线的圆心到曲线的距离，即可求得答案.

【详解】（1）由题意知曲线的参数方程为（为参数），

化为普通方程为；

曲线的极坐标方程为，即，

故化为直角坐标方程为；

（2）由（1）知曲线:表示圆，圆心为，半径为1；

圆心到曲线，即到直线的距离为，

故曲线与直线相离，

则曲线的点与曲线上的点之间的最短距离为，

即的最小值为.

21．已知椭圆的离心率为，右顶点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)、为椭圆上的不同两点，设直线、的斜率分别为、，若，证明：直线经过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由已知条件得出、的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；

（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设直线的方程，代入椭圆方程，利用解得直线方程，即可求出直线所过定点的坐标.

【详解】（1）解：因为椭圆的右顶点为，则，

又因为椭圆的离心率为，则，故，

所以，椭圆的标准方程为.

（2）证明：分以下两种情况讨论：

①若直线的斜率存在，设方程为，

则将直线方程代入椭圆方程，消去可得，

，得，

设、，则有，，

，

，

，

化简得，解得或，

当时，方程为，过定点，不合题意，

当时，方程为，过定点；

②若直线的斜率不存在，设方程为，

设、，，

即，解得或（舍去）.

此时方程为，显然直线过点.

综上，直线经过定点.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.

22．已知函数．

(1)当时，求的极值；

(2)证明：当时，．

【答案】(1)极大值为0，无极小值

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，判断函数单调性，即可求得答案；

（2）由题意将要证明的不等式转化为证明，从而构造函数，利用导数判断其单调性，进行证明即可.

【详解】（1）由函数可得，

当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减，

故为的极大值点，则的极大值为，无极小值.

（2）证明：的定义域为，

当时, ，

要证明，只需证明，

令，即，

该函数在上单调递减，且，

即存在，使得，

当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减，

故，

对于函数，，

在上单调递减，故，

即有，即，

故.

【点睛】难点点睛：利用导数证明不等式时本题的难点，解答时要将原不等式转化为证明成立，继而构造函数，利用导数判断函数单调性进行证明.