2022-2023学年四川省雅安市高二下学期期末检测数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省雅安市高二下学期期末检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解.

【详解】，

则复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.

故选：A.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，将集合化简，然后结合交集的运算即可得到结果.

【详解】因为，，

所以.

故选：C.

3．设函数，则（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】C

【分析】利用分段函数的函数值求法求解即可.

【详解】因为，

所以.

故选：C.

4．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由函数有意义的条件，求解函数定义域.

【详解】函数有意义，则有，即

解得，所以函数的定义域是.

故选：D

5．已知命题p：，；命题q：直线：与：相互垂直的充要条件为，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】确定命题的真假，然后由复合命题的真值表判断．

【详解】令，则，所以p为真命题；

若与相互垂直，则，解得，故q为假命题，

所以只有为真命题.

故选：B．

6．下列说法中正确的是（    ）

A．“”是“”成立的充分不必要条件

B．命题，，则，

C．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r越接近于1

D．已知样本点组成一个样本，得到回归直线方程，且，剔除两个样本点和得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归方程为

【答案】D

【分析】对于A，利用特殊值进行排除；对于B，根据命题的否定定义进行判断；对于C，相关关系越强，相关系数越接近于1；对于D，求出剔除两个样本点和得到新的样本的平均数，再进行求解.

【详解】对于A，满足，但，所以“”不是“”成立的充分条件，故A错误；

对于B，命题，，则，，故B错误；

对于C，相关关系越强，相关系数越接近于1，当负相关时，相关系数r越接近于，相关关系越强，故C错误；

对于D，已知回归直线方程，且，则，剔除两个样本点和，得到新的回归直线的斜率为3，新样本平均数，，则新的回归方程为.故D正确.

故选：D.

7．当时，函数取得最小值1，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得，，，即可求出a，b的值，进而得到.

【详解】由题意可得，，，

因为，所以，解得，

则，所以，

故选：A.

8．函数的部分图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据函数的取值情况或零点，利用排除法判断即可.

【详解】因为，令，解得或，

所以的定义域为，

又，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，C；

当时，，或当，即时，，故排除D.

故选：A.

9．经过点作曲线的切线有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】C

【分析】设出切点坐标，写出切线方程

把代入，研究方程根的情况即可.

【详解】因为，

设切点为，所以曲线在点处的切线方程为.

将代入，得即：或，

所以，此时，切点为；

或

因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0，所以方程共有3个不同的根，即经过点作曲线的切线有3条.

故选：C.

10．已知，则a，b，c的大小关系是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用指，对，幂函数的单调性，即可比较大小.

【详解】函数单调递减，所以，

函数在上单调递增，所以，

单调递减，，

所以，即.

故选：C

11．已知函数的定义域为，，是偶函数，，则（    ）

A．0 B．1 C．-1 D．2

【答案】B

【分析】由函数的奇偶对称性推得是周期为4的函数，并求得，最后利用周期性求目标函数值.

【详解】由是偶函数，，则，又，

，

所以是周期函数，周期为4，

对于，令，得，则，

所以.

故选：B

12．已知函数，若关于x的方程有三个互不相等的实根，则实数k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，画出函数图象，考虑临界点即可求解.

【详解】作出函数的图象如下图所示，直线恒过点，

当过点时，解得，此时直线与有两个交点，故关于的方程有两个互不相等的实根；

将代入得，当时，直线与抛物线只有一个交点，则，解得或，

当时，解得，不满足，则应舍去，即，

所以实数k的取值范围是.

故选：.

二、填空题

13．已知，则___________.

【答案】

【分析】将作为常量对求导，得到导函数，再将作为未知量求解即可.

【详解】由解析式知：，

，解得.

故答案为：

14．若函数为奇函数，则实数a的值为           ．

【答案】1

【分析】先求出函数的定义域，再由，代入求解即可.

【详解】因为函数的定义域为，

解得：，

所以由函数为奇函数，

则，由，

解得：.

故答案为：.

15．设是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则不等式的解集是      ．

【答案】

【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性，利用函数性质求解不等式作答.

【详解】依题意，令函数，则，因为时，，

于是当时，，函数在上单调递减，

又，则，因此当时，，当时，，

即当时，，当时，，而是定义在R上的奇函数，

从而当时，，当时，，

所以不等式的解集是.

故答案为：

16．已知函数，若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是            .

【答案】

【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，由已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】因为，则，

令，可得；令，可得或.

所以，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为，

所以，，

令，即，即，解得，

如下图所示：

由题意可得，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

三、解答题

17．计算：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；

（2）根据换底公式及对数的运算法则计算可得.

【详解】（1）

（2）

18．春节联欢晩会是我国在除夕晩上举办的大型欢庆晩会，全国家家户户围坐在电视机前欣赏一年中最重要的晩会，下表为某年观看春晩的人数百分比：假设统计人数为200人，下表为分析年龄大于30的人和年龄不大于30的人对春晩是否满意的列联表：

(1)请将列联表补充完整；

(2)能否有99%的把握认为年龄大于30的人和年龄不大于30的人对春晩评价有差异.

附：，其中.

【答案】(1)列联表见解析

(2)有

【分析】（1）由题意计算年龄不大于30的人数和年龄大于30的人数，即可得列联表；

（2）计算的值，与临界值表比较，即可得结论.

【详解】（1）年龄不大于30的有人，

则年龄不大于30对春晩不满意的有人；

年龄大于30的有人，

则年龄大于30对春晩满意的有人，

所以，列联表如下：

（2） ，

故有的把握认为年龄大于30的人和年龄不大于30的人对春晩评价有差异.

19．已知函数（）.

(1)当时，求函数的极值；

(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值.

(2)的取值范围是.

【分析】（1）先求函数的定义域和导函数，根据导数与极值点的关系求极值点，再求极值即可；

（2）由条件可知在上恒成立，再分离变量求最值即可求解.

【详解】（1）函数的定义域为，

当时，  

求导得，

整理得：.

令可得，或（舍去）

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

所以当时，函数取极小值，极小值为，

函数无极大值；

（2）由已知时，恒成立，

所以恒成立，

即恒成立，则.

令函数，

由知在单调递增，

从而.

经检验知，当时，函数不是常函数，

所以的取值范围是.

20．已知，p：“函数的定义域为”，q：“，使得成立”．

(1)若q为真命题，求实数m的取值范围；

(2)若“”为真命题，“”为假命题，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分离参数，转化为求函数的最大值问题，从而求出的取值范围；

（2）当命题为真时根据进行分类讨论，注意借助与的大小关系，求出的取值范围，然后通过含逻辑联结词的复合命题的真假判断出的真假，由此求解出的取值范围.

【详解】（1）当为真命题时，在上有解，

所以，当时取，有最大值3，所以，

所以实数m的取值范围为；

（2）当为真命题时，

当时，，定义域为，满足题意；

当时，要使的定义域为R，

则，解得，

综上可知：的取值范围是.

因为为真命题且为假命题，所以一真一假，

当真假时，，解得，

当假真时，，此时，

综上，的取值范围是.

21．“城市公交”泛指城市范围内定线运营的公共汽车及轨道交通等交通方式，也是人们日常出行的主要方式.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：

(1)根据以上数据作出折线图，易知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；

(2)建立y关于x的回归直线方程，并预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数.

附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；相关系数； .

【答案】(1)答案见解析

(2)，31人.

【分析】（1）根据相关系数的公式，分别计算数据求解即可；

（2）根据回归直线方程的参数计算公式可得关于的回归直线方程为，再代入求解即可.

【详解】（1）由题意，知，，

，，

所以.又，则.

因为与的相关系数近似为0.95，说明与的线性相关非常高，

所以可以用线性回归模型拟合与的关系.

（2）由（1）可得，，

则，

所以关于的回归直线方程为，

当时，，

所以预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数为31人.

22．已知函数.

(1)当时，求函数的图像在点处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)若恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.

(3)

【分析】（1）代入，求出，根据导数的几何意义得到切线的斜率，即可得到切线方程；

（2），对以及进行讨论，根据导函数的符号即可得到的单调区间；

（3）根据（2）的结论，可知，根据题意，应有，即.令，根据导函数即可求得实数的取值集合.

【详解】（1）当时，，则.

根据导数的几何意义，可得函数的图像在点处的切线斜率，

又.

所以，切线方程为，整理可得.

（2）定义域为R，.

当时，在R上恒成立，所以在R上单调递增；

当时，解，即，解得，

解，得，则在上单调递增，

解，得，则在上单调递减.

综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.

（3）由（2）知，当时，在R上单调递增，又，所以当时，，不满足要求，所以.

则由（2）知，在时，取得最小值.

要使恒成立，则只需满足即可，即.

令，即.

.令，则.

当时，，当时，，

所以，在处取得极大值，也是最大值，所以.

又，所以，所以有.

即当时，，有成立.

所以，实数的取值范围为.