2022-2023学年四川省泸州市泸县第五中学高二下学期期末数学（文）试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省泸州市泸县第五中学高二下学期期末数学（文）试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省泸州市泸县第五中学高二下学期期末数学（文）试题 一、单选题1．命题“”的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可得出答案.【详解】解：因为命题“”，所以其否定为：“”.故选：B.2．若复数满足，则的虚部为（    ）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出．【详解】由复数满足，得所以复数的虚部为．故选：．【点评】本题考查了复数的运算法则和虚部的定义，属于基础题．3．具有线性相关关系的变量x，y的回归方程为＝2－x，则下列选项正确的是（    ）A．变量x与y是函数关系 B．变量x与y呈正相关关系C．当x＝4时，y的预测值为2 D．若x增加1个单位，则y减少1个单位【答案】D【分析】结合回归分析逐项分析判断即可.【详解】变量x与y是相关关系，不是函数关系，所以A不正确；变量x与y呈负相关关系，所以B不正确；当x＝4时，y的预测值为－2，所以C不正确；若x增加1个单位，则y减少1个单位，所以D正确；故选：D.4．已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平均数和方差公式计算可得答案.【详解】平均数为，方差为，故选：C.5．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，用导数法可得，从而有，可得确定选项.【详解】设，所以，当时，，当时，，所以，所以，所以，所以，排除B，C，D.故选A【点睛】本题主要考查由函数的解析式识别函数图象，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.6．用反证法证明“若，则至少有一个为0”时，假设正确的是（    ）A．全不为0 B．全为0C．中至少有一个不为0 D．中只有一个为0【答案】A【分析】假设结论的反面成立即可，【详解】结论的反面是：全不为0．故选：A．7．曲线在点处的切线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由导数的几何意义与点斜式方程求解即可【详解】因为，所以，则当时，，故曲线在处的切线方程为，整理得，故选：B8．已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知，函数的图象有两个公共点，画图可知当直线介于 之间时，符合题意，故选B. 【解析】函数与方程，函数的图象.【详解】9．甲、乙、丙、丁四名同学被推荐参加背诵唐诗宋词名篇比赛活动，为了了解他们背诵的情况，老师问询了这四名学生，有如下答复：①甲说：“乙比丁背的少”；②乙说：“甲比丙背的多”；③丙说：“我比丁背的多”：④丁说：“丙比乙背的多”．若四名同学能够背诵古诗数各不相同，而且只有背诵名篇最少的一个说了真话，则四名同学按能够背诵的名篇数量由多到少顺序依次为（    ）A．丁、乙、丙、甲 B．丁、丙、乙、甲C．甲、丁、丙、乙 D．丁、丙、甲、乙【答案】A【分析】根据只有一人说法正确，逐个进行假设找到矛盾即可分析得到答案【详解】因为四名同学只有一人说的正确 ，所以不妨先假设甲说的是正确的，其他都是错误的，则甲最少，乙比丁背的少，甲比丙背的少，丙比丁少，丙比乙少，此时顺序为：丁、乙、丙、甲，假设乙正确，其他错误，则乙最少，根据①知，乙比丁多，矛盾，所以乙错误，假设丙正确，其他错误，则丙最少，根据②知，甲比丙少，矛盾，所以丙错误，假设丁正确，其他错误，则丁最少，根据③知，丙比丁少，矛盾，所以丁错误，综上，甲说的是正确的，且顺序为：丁、乙、丙、甲，故选：A10．若双曲线E：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣4）2+y2＝16所截得的弦长为4，则E的离心率为（    ）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】由题意可设双曲线的一条渐近线方程为bx+ay＝0，由圆心到直线的距离公式可得d，再利用勾股定理，半弦长和点到直线的距离，和半径的关系得到弦长为即可求出.【详解】设双曲线的一条渐近线方程为bx+ay＝0，则圆心（4，0）到该直线的距离d，由题意可得弦长为：，即，得，即离心率∴E的离心率为2．故选：A．【点睛】本题考查圆与双曲线的综合，考查点到直线距离公式的应用及圆的弦长计算，属于一般题.11．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，结合导数可求出函数的单调性，由，即可判断的大小关系.【详解】设，则，令，得，，得，所以在上单调递增，在上单调递减.由题意可知，因为，所以，故选: A.【点睛】本题考查了函数单调性的判断，考查了运用单调性比较数据大小.本题的关键是构造函数.12．已知函数在区间内任取两个实数，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】依题意知，设，不等式恒成立等价于恒成立，构造函数，可得在单调递增，求出，转化为在恒成立，分离参数，利用二次函数的单调性与最值即可求得实数的取值范围．【详解】设，不等式恒成立，等价于恒成立，设，则在上为增函数，，，，又恒成立，整理得：恒成立，函数的对称轴方程为，该函数在区间上单调递增，，．故选：．【点睛】本题考查函数恒成立问题，将不等式恒成立等价转化为为增函数是解决问题关键，考查化归思想与理解应用能力，属于中档题． 二、填空题13．某病毒实验室成功分离培养出奥密克戎BA．1病毒60株、奥密克戎BA．2病毒20株、奥密克戎BA.3病毒40株，现要采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为30的样本，则奥密克戎BA．3病毒应抽取      株.【答案】10【分析】计算该层所占的比例，再乘以总人数得出结果.【详解】由题意可知，奥密克戎BA.3病毒应抽取株.故答案为：10.14．若函数在处有极小值，则实数等于          .【答案】1【分析】由f（x）＝ax3﹣2x2+a2x，知f′（x）＝3ax2﹣4x+a2，由f（x）在x＝1处取得极小值，知f′（1）＝3a﹣4+a2＝0，由此能求出a，再根据条件检验即可.【详解】∵f（x）＝ax3﹣2x2+a2x，∴f′（x）＝3ax2﹣4x+a2，∵f（x）＝ax3﹣2x2+a2x在x＝1处取得极小值，∴f′（1）＝3a﹣4+a2＝0，解得a＝1或a＝﹣4，又当a=-4时，f′（x）＝-12x2﹣4x+16=-4（x-1）(3x+4)，此时f（x）在（上单增，在（1，上单减，所以x=1时取得极大值，舍去；又a=1时，f′（x）＝3x2﹣4x+1=（x-1）(3x-1)，此时f（x）在（上单减，在（1，上单增，符合在x＝1处取得极小值，所以a＝1．故答案为1【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值的问题，属于基础题．解题时要认真审题，仔细解答．易错点是容易产生增根．15．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē nào）．已知四面体为鳖臑，平面，且，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为          ．【答案】【分析】由已知，可根据题意，设，然后根据体积为1，求解出，然后把鳖臑的外接球可还原在以为长宽高的长方体中，可根据长方体的外接球半径是其体对角线的一半求解出外接球半径，从而求解外接球表面积.【详解】由已知，因为平面，可令，所以，所以，所以，由已知，鳖臑的外接球可还原在以为长宽高的长方体中，设其外接球半径为，所以其外接球的半径，所以其外接球的表面积.故答案为：.16．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，在处的切线与的准线交于点，连接．若，则的最小值为          ．【答案】【分析】设点、，分析可知抛物线在点处的切线方程为，且直线与轴不重合，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，列出韦达定理，证明出，，，可求出的值，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】抛物线的准线为，抛物线的焦点为，如下图所示：设点、，接下来证明出抛物线在点处的切线方程为，联立可得，可得，所以，抛物线在点处的切线方程为，所以，直线的方程为，若与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，，由韦达定理可得，，在直线的方程中，令可得，可得，即点，，，所以，，即，因为，当时，因为，则，则；当轴时，则，直线的方程为，联立可得，解得，取点、，此时，直线的方程为，即，在直线的方程中，令可得，即点，所以，，则，则，此时，.综上所述，，.因为，则，又因为，所以，，所以，，即，因此，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值. 三、解答题17．已知函数.求：(1)曲线在点处的切线方程；(2)函数在区间上的最值.【答案】(1)(2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）求出函数的导数，结合切点和斜率求出切线方程；（2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值，最值.【详解】（1），则，，切点是，故切线方程是，即；（2）令，解得：或，，，在的变化如下：023 00 单调递增极大值1单调递减极小值单调递增1在和上单调递增，在上单调递减，最大值是，又，，在的最大值是，在在最小值是.18．某社会机构为了调查对跑步的兴趣程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下列联表： 35岁以下（含35岁）35岁以上合计很感兴趣152035不感兴趣101525合计253560（1）根据列联表，能否有90%的把握认为对跑步的兴趣程度与年龄有关；（2）若从35岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取5人，现从这5人被调查者中随机选取3人，求这3名被调查者中恰有1人对跑步不感兴趣的概率．参考公式及数据：．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）没有；（2）.【分析】（1）根据表中的数据利用公式求解，然后根据临界值表得出结论，（2）由分层抽样的定义求得抽取的5人中有3人对跑步很感兴趣，有2人对跑步无兴趣，然后利用列举法求解即可【详解】解：（1），所以没有90%的把握认为对跑步的兴趣程度与年龄有关．（2）由题知35岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取的5人中有3人对跑步很感兴趣，设为，有2人对跑步无兴趣，设为．从中随机选取3名的基本事件有，，共10个． 其中恰有1个的有，共6个．所以这3名被调查者中恰有1人对跑步不感兴趣的概率为．19．如图，在四边形中，，，点在上，且，，现将沿折起，使点到达点的位置，且. （1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析； （2）.【分析】（1）根据折叠前后关系得PC⊥CD，根据平面几何知识得BE//CD，即得PC⊥BE，再利用线面垂直判定定理得EB⊥平面PBC，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据线面垂直EB⊥平面PBC得高，再根据等积法以及三棱锥体积公式得结果.【详解】（1）证明：∵AB⊥BE，AB⊥CD，∴BE//CD，∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴PC⊥BE， 又BC⊥BE，PC∩BC=C，∴EB⊥平面PBC， 又∵EB平面DEBC，∴平面PBC 平面DEBC；（2）解法1：∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2，由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE得,∴△PBC为等边三角形，  ∴, ∴ . 解法2：∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2， 由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE，得,  ∴△PBC为等边三角形，取BC的中点O，连结OP，则,∵PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD，∴ .【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20．已知椭圆的长轴长与短半轴长之比为，且点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)直线与x轴，椭圆C依次相交于三点，点M为线段上的一点，若，求（O为坐标原点）面积的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意得，求解出，从而可得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程化简，设，，利用根与系数的关系，设，则得，表示出，从而可表示出的面积，再由的范围可求得结果.【详解】（1）根据题意得，解得，所以椭圆C的方程为．（2）由题意得，，将直线l的方程代入椭圆C的方程，整理得：，，由得，，设，，由韦达定理可得，设，所以，，即，所以，所以的面积．因为，所以的面积．【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是由求出，从而可表示出的面积，考查数学计算能力和数学转化思想，属于较难题.21．已知函数，.（1）若，求证：当时，（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）求得函数的导函数，利用分析法，结合取对数运算，证得不等式成立.（2）构造函数，利用导数求得的最小值，利用最小值为非负数列不等式，由此求得的取值范围.【详解】（1）证明：当时，，则欲证，即，故只需证明，两边取对数，即证，，该不等式显然成立，从而当时，.（2）解：恒成立，即恒成立设，则，只需讨论函数，因为，所以单调递增，，欲取一点，使得，，因此，取因此在之间存在唯一零点，得，则，故在上单调递减，在上单调递增，所以，设，，则只需，即，此时，由此可得实数a的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分析法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.22．已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点O，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的普通方程；（2）为曲线C上两点，若，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由极坐标与直角的互化公式，代入极坐标方程，即可求得曲线C的普通方程；（2）由，设，则的点坐标为，结合曲线的极坐标方程和三角函数的基本关系式，即可求解的值.【详解】（1）由曲线C的极坐标方程为，可得，将代入，可得可得曲线C的普通方程为.（2）因为，所以，因为，设，则的点坐标为，所以.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的极坐标方程的应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及极坐标方程的几何意义是解答的关键，着重考查推理与运算能力.23．已知函数．(1)解关于x的不等式；(2)记的最小值为m，若a、b、c都是正实数，且，求证：．【答案】(1)不等式的解集为或；(2)证明见解析. 【分析】（1）化简函数解析式，分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）由已知可得，利用柯西不等式即可证得原不等式成立.【详解】（1）由，可得，当时，由，解得，此时；当时，，此时不等式无解；当时，由，解得，此时.综上所述，不等式的解集为或.（2）由绝对值三角不等式可得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故，由题意可知，正实数、、满足，由柯西不等式可得，当且仅当时，等号成立，故原不等式得证.