2022-2023学年宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学高二下学期期末考试数学（理）试题（A卷）含答案

2022-2023学年宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学高二下学期期末考试数学（理）试题（A卷）

一、单选题

1．已知集合，，且，则m的值为（    ）

A． B．或

C．或或 D．或或或

【答案】C

【分析】根据并集的结果可得或，再根据集合的性质求解即可.

【详解】由可得或，解得，，或.

又集合与，故，故，或.

故选：C

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】直接写出存在量词命题的否定即可.

【详解】命题“”的否定是“”.

故选：D.

3．若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先对复数化简求出复数实部和虚部，然后根据题意列不等式组求解即可

【详解】，

因为复数在复平面内对应的点位于第二象限，

所以，解得，

故选：A

4．下列命题中，真命题的个数是（    ）

①函数与是同一个函数；②若，则或；③若随机变量，，则；④在回归分析模型中，残差的平方和越大，模型的拟合效果越好.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的解析式可判断①，根据原命题的逆否命题的真假判断②，根据正态分布的对称性可判断③，根据回归分析的性质可判断④.

【详解】对①，函数，与不是同一个函数，故①错误；

对②，“若，则或”的逆否命题为“若且，则”为真命题，故原命题也为真命题，故②正确；

对③，随机变量，则其正态分布图象关于对称，，故③错误；

对④，在回归分析模型中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好，故④错误.

故选：B

5．已知函数是奇函数，则（    ）

A．0 B．1 C． D．

【答案】B

【分析】根据奇函数的定义求解即可.

【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，所以，

经验证，，故.

故选：B.

6．已知函数，且，则实数的值等于（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】利用抽象函数定义域求法求解即可；

【详解】令，解得或由此解得，

故选：D

7．已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将问题转化为“，”为真命题，即可根据最值求解.

【详解】由于命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，

故即可，由于函数在单调递增，故当，

因此，

故选：C

8．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】解不等式求出不等式的解集，根据为的真子集，得到答案.

【详解】解不等式得，

不等式化为，所以，

因为为的真子集，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

9．函数的单调减区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先真数需要大于零，设，考查其单调性，再结合函数的单调性，根据复合函数的单调区间满足的“同增异减”原则即可判定.

【详解】令，得或

设，则在上为减函数，

又在上为增函数；

可得的单调减区间为，

故选：

10．偶函数满足，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知条件可得函数的周期为4，再利用周期和偶函数的性质可求得结果.

【详解】因为满足，所以，

所以是以4为周期的周期函数，

因为为偶函数，且当时，，

所以，

故选：A

11．如图，是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】D

【分析】建立关于的关系式，分为点在中点左侧和右侧分类讨论，结合函数图象变化情况即可求解．

【详解】因为是边长为2的等边三角形，

所以当时，设直线与交点为，

当点在中点左侧时，，，

此时函数为开口向上的二次函数；此时可排除BC，

当点在中点右侧时，，

此时左侧部分面积为：，

此时函数为开口向下d额二次函数，此时可排除A，

故选：D

故选：D．

12．已知函数是定义在R上的奇函数，且，若，且，都有，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可判断函数的奇偶性和单调性，进而分两种情况即可求解.

【详解】由，且，都有可知函数在上单调递减，

记，则所以为偶函数，

因此在单调递增，且，

不等式等价于和，

故或，解得或，

故不等式的解为，

故选：C

二、填空题

13．函数的定义域为      .

【答案】

【分析】由即可求出.

【详解】由，解得且，

所以的定义域为.

故答案为：.

14．设命题函数是增函数；命题方程表示椭圆. 若是真命题，则实数的取值范围是         .

【答案】

【分析】首先求出命题、命题为真时参数的取值范围，再取交集即可.

【详解】若命题函数是增函数为真命题，则，解得，

若命题方程表示椭圆为真命题，则，解得或，

因为是真命题，所以为真命题且为真命题，

所以或，即实数的取值范围是.

故答案为：

15．已知 在R上单调递减，则实数a的取值范围是          .

【答案】

【分析】利用函数的单调性的性质，求得的范围，即得所求．

【详解】若函数在上是单调减函数，

则，解得，

即，

故答案为：．

16．函数的定义域为R，其图像是一条连续的曲线，在上单调递增，且为偶函数，为奇函数，则下列说法中，正确说法的序号是          .

①既不是奇函数也不是偶函数；

②的最小正周期为4；

③在上单调递减；

④是的一个最大值；

⑤.

【答案】②③⑤

【分析】由为偶函数，可得的图象关于直线对称，由为奇函数，可得，再结合前面的可得，，从而可得为奇函数，周期为4，然后逐个分析判断.

【详解】对于①②，因为为偶函数，所以，所以的图象关于直线对称，所以，

因为为奇函数，所以，所以，

所以，所以，，

所以为奇函数，周期为4，所以①错误，②正确，

对于③，因为为奇函数，在上单调递增，所以在上递增，

因为的图象关于直线对称，所以在上递减，

因为的周期为4，所以在上单调递减，所以③正确，

对于④，因为的定义域为R，且为奇函数，所以，

因为在上递增，在上递减，的周期为4，所以在上递增，，所以在上的最大值为，

因为，所以不是的一个最大值，所以④错误，

对于⑤，因为，所以当时，得，当时，得，所以，

因为的周期为4，所以，所以⑤正确，

故答案为：②③⑤

【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性、单调性、对称性和周期性的综合问题，解题的关键是由已知条件得到为奇函数，周期为4，再根据对称性研究一个周期上函数的性质，考查计算能力，属于较难题.

三、解答题

17．在数列中，，，设.

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用等比数列的定义证明；

（2）由（1）得到，再利用分组求和求解.

【详解】（1）证明：因为，，

所以数列是等比数列；

（2）由，

 ，

，

所以

，

 ，

.

18．如图所示，在三棱锥C—ABD中，AB⊥BD，，BC⊥CD，，E是AD的中点，.

(1)证明：平面CBD⊥平面ABD；

(2)求直线BC与平面ACD所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取BD的中点O，连接OC，OE，令，则，，，OC⊥BD，然后由勾股定理逆定理可得OC⊥OE，再由线面垂直的判定可得OC⊥平面ABD，最后由面面垂直的判定定理可证得结论；

（2）分别以OE、OD、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

【详解】（1）证明：取BD的中点O，连接OC，OE，

令，因为AB⊥BD，，所以，

因为 E是AD的中点 ，所以 ，

因为BC⊥CD，，所以，OC⊥BD，

因为，所以OC⊥OE，

因为平面ABD，，

所以OC⊥平面ABD，

因为平面CBD，所以平面CBD⊥平面ABD

（2）分别以OE、OD、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则

，

所以，

设平面ACD的法向量为，则，

，令，则，

设直线BC与平面ACD所成角为，则

，

所直线BC与平面ACD所成角的正弦值为.

19．某市阅读研究小组为了解该市中学生阅读时间与语文成绩的关系，在参加全市中学生语文综合能力竞赛的各校学生中随机抽取了500人进行调查，将调查结果整理成如下列联表.已知样本中语文成绩不低于75分的人数占样本总数的30% .

(1)完成列联表，并判断有多大的把握认为语文成绩与阅读时间有关？

(2)先从成绩不低于75分的样本中按不同阅读时间的人数比例，用分层抽样的方法抽取9人进一步做问卷调查，然后再从这9人中再随机抽取3人进行访谈，记这3人中周平均阅读时间不少于10小时的人数为X，求X的分布列与数学期望.

附：，

【答案】(1)表格见解析，有99.9%的把握认为语文成绩与阅读时间有关

(2)分布列见解析，2

【分析】（1）根据题意先求出样本中语文成绩不低于75分的人数，然后结合表中的数据可完成列联表，再利用公式可求出，然后根据临界值表进行判断，

（2）由题意可知，求出相应的概率，从而可求出X的分布列与数学期望.

【详解】（1）由题意得样本中语文成绩不低于75分的人数为人，

则列联表如下：

所以，

所以有99.9%的把握认为语文成绩与阅读时间有关

（2）在成绩不低于75分的样本中，抽取周阅读时间少于10小时的3人，抽取周阅读时间少于10小时的6人，故，

，，

，

所以X的分布列为

所以．

20．已知椭圆C：的离心率是，点在C上．

(1)求C的方程；

(2)直线l:交C于P，Q两点（不同于点A），直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，线段MN的中点为，证明：直线l过定点，并求出定点坐标．

【答案】(1)

(2)证明见解析，定点.

【分析】（1）根据离心率和过点即可求出即可求出椭圆方程；

（2）先设直线根据根与系数的关系结合中点坐标，可求关系即可得出定点.

【详解】（1）由题意得：，，

椭圆C的方程为

（2）由题意得：

设，

由得：，

，

直线AP：

当时，，即M的坐标为

同理可得：N的坐标为

，即：

直线l过定点.

21．已知函数．

(1)讨论在上的单调性；

(2)当时，恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)在上的单调递增

(2)

【分析】（1）求导得，分，分别确定导数的符号，从而得函数单调性；

（2）方法一：转化不等式，构造函数令，，求导，对函数进行单调性讨论，即可求得函数最值，从而得a的取值范围；方法二：令，，，将不等式转化为函数凸凹性应用，求导结合图象分析即可求得a的取值范围.

【详解】（1）

当时，，，

当时，，，

即：在上恒成立

所以在上的单调递增.

（2）方法一：

由得：

当时，恒成立，符合题意

令，

由（1）得：在上的单调递增，

①当时，

所以在上的单调递增

所以，符合题意

②当时，，

∴存在，使得

当时，；

所以在上的单调递减，

当时，，这不符合题意

综上，a的取值范围是.

方法二：

令，，

则，符合题意

，

由（1）得：在上恒成立，在上单调递增

所以，

所以在上单调递增，其图象是下凸的，如图：

所以，曲线在点处的切线方程为：

要使得在上恒成立

只需

所以，a的取值范围是.

【点睛】方法点睛：已知函数不等式恒成立求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）构造差函数：设差函数，求导转化为函数最值问题，从而确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)已知点，直线l和曲线C交于A，B两点，求的值．

【答案】(1)，

(2)3

【分析】（1）根据直角坐标与极坐标和参数方程的互换公式求解即可；

（2）根据直线参数方程的几何意义求解即可.

【详解】（1）直线l的参数方程为，两式相加可得，即直线l的普通方程为；

曲线C的极坐标方程为，则，即，故曲线C的直角坐标方程为；

（2）设两点对应的参数分别为，

将l的参数方程代入得：，

.

23．已知．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）分类讨论去绝对值即可求解；

（2）根据绝对值三角不等式即可利用最值求解.

【详解】（1）当时，，

，

当时，不等式为解得，

当时，不等式为解得，

当时，不等式为解得，

综上可得：，

不等式的解集为.

（2）恒成立，

，

当且仅当时等号成立，

，

或，

，

m的取值范围是.