2022-2023学年福建省莆田华侨中学高二下学期市检期末数学模拟考试试题含答案

2022-2023学年福建省莆田华侨中学高二下学期市检期末数学模拟考试试题

一、单选题

1．设一个回归方程为，则变量增加一个单位时（    ）．

A．平均增加12个单位 B．平均增加3个单位

C．平均减少1.2个单位 D．平均减少3个单位

【答案】A

【解析】由回归直线斜率可得结果.

【详解】由回归直线斜率知：变量增加一个单位时，，

平均增加个单位.

故选：A.

2．已知向量，，且与互相平行，则的值为（    ）

A．-2 B． C． D．

【答案】A

【分析】应用空间向量坐标的线性运算求、的坐标，根据空间向量平行有，即可求的值.

【详解】由题设，，，

∵与互相平行，

∴且，则，可得.

故选：A

3．设随机变量～且，则的值等于

A．1 B．2 C． D．4

【答案】C

【分析】利用二项分布方差计算公式计算出,进而计算出的值.

【详解】由于满足为二项分布，故.由于，故，

故选C.

4．如图所示，函数的图象在点处的切线方程是则（    ）

A． B．1 C．2 D．0

【答案】B

【分析】由导数的几何意义得出，再求.

【详解】由题中图象知，

由导数的几何意义知，

．

故选：B

5．现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20名市民，得到如下列联表：

附：.

根据表中的数据，下列说法中正确的是（    ）

A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

B．有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

D．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

【答案】D

【解析】计算出，比较所给数据，可得结论．

【详解】由题意，根据列联表中的数据，得，

又，

所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”.

故选：D.

6．《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】本题首先可以根据题意确定个数中的阳数和阴数，然后求出任取个数中有个阳数以及任取个数中有个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果.

【详解】由题意可知，个数中，、、、、是阳数，、、、、是阴数，

若任取个数中有个阳数，则，

若任取个数中有个阳数，则，

故这个数中至少有个阳数的概率，

故选：C.

【点睛】本题考查超几何分布的概率计算，从有限的个物品（包括个指定物品）中抽取个物品，若抽取的个物品中有个指定物品，则概率，考查计算能力，是中档题.

7．已知斜三棱柱所有棱长均为，点满足，则（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】以向量为基底向量，则根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方运算即可.

【详解】

斜三棱柱所有棱长均为

.

故选:.

8．若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知条件推导出，，令，利用导数求出函数的最小值，由此能求出实数的取值范围．

【详解】解：对恒成立，

，，

令，

则，

当时，，当时，，

∴函数在上递减，在上递增，

所以

．

实数的取值范围是，．

故选：C．

二、多选题

9．已知ξ～B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，则下列说法正确的有（    ）

A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4

C．P(ξ≥1)＝0.46 D．P(ξ＝0)＝0.66

【答案】BD

【解析】根据二项分布期望方差的性质即可计算判断.

【详解】由，

由ξ～B(n，p)时，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)可知

，所以，故B正确．

又，，故D正确．

故选：BD.

10．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（    ）

A．变量之间呈现负相关关系 B．

C．可以预测，当时，约为 D．由表格数据知，该回归直线必过点

【答案】ACD

【解析】根据回归直线斜率知A正确；利用回归直线必过样本中心点可构造方程求得，可知B错误，D正确；将代入回归直线知C正确.

【详解】对于A，由得：，故呈负相关关系，A正确；

对于B，，，

，解得：，B错误；

对于C，当时，，C正确；

对于D，由知：，回归直线必过点，即必过点，D正确.

故选：ACD.

11．在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（    ）

A．平面

B．若是上的中点，则

C．直线与平面所成角的正弦值为

D．直线与直线所成角最小时，线段长为

【答案】ACD

【分析】由题意写出空间中的点的坐标，利用与平面法向量的数量积等于零可判断A；根据可判断B；求出平面的一个法向量，利用空间向量数量积求线面角可判断C；利用异面直线所成角的空间向量求法可判断D.

【详解】由题意可得，，，，

，，，设，

，，

直三棱柱中，，

可得为平面的一个法向量，

为平面的一个法向量，

对于A，，，

即，又平面，所以平面，故A正确；

对于B，若是上的中点，则，

所以，所以与不垂直，故B不正确；

对于C，由为平面的一个法向量，，

设直线与平面所成角为，

则，故C正确；

对于D，设，

则，

当时，即时，取最大值，

即直线与直线所成角最小，此时，

，故D正确.

故选：ACD

12．已知函数，其导函数为，下列命题中真命题的为（    ）

A．的单调减区间是

B．的极小值是

C．函数有两个零点

D．当时，对任意的且，恒有

【答案】BD

【分析】利用导数研究函数的单调性、极值，根据单调性和极值研究的零点，利用导数证明不等式恒成立.

【详解】，

所以在区间上递增，

在区间上递减，故A错误，

的极小值为，B正确.

的极大值为，

所以有个零点，C错误.

由上述分析可知在区间上为增函数，且，即在上为增函数.

所以当时，，

当时，，

所以D选项正确.

故选：BD

三、填空题

13．已知向量，若，则实数          .

【答案】

【分析】利用空间向量的坐标运算法则进行计算即可.

【详解】因为向量，

所以向量，因为，

所以0，即，解得.

故答案为：

14．某班级的学生中，寒假是否有参加滑雪运动打算的情况如下表所示：

从这个班级中随机抽取一名学生，若已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为     ．

【答案】

【分析】利用条件概率求解.

【详解】记抽到的人是男生为事件A，有参加滑雪运动打算为事件B，

由题意得：，

所以，

故答案为：.

15．如图，在直三棱柱中，，，点E是棱上一点，且，则异面直线与AE所成角的余弦值为        .

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值；

【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设异面直线与所成角为，则

故答案为：

16．已知函数f(x)＝x2－2ln x，若关于x的不等式f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是        .

【答案】(－∞，e2－2]

【分析】有解问题通过参变分离，求函数最值即可.

【详解】由f(x)－m≥0得f(x)≥m，

函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

，

当x∈[1，e]时，，

此时，函数f(x)单调递增，所以f(1)≤f(x)≤f(e).

即1≤f(x)≤e2－2，

要使f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则有m≤e2－2.

故答案为：(－∞，e2－2]

四、解答题

17．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.l，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看4只，若无残次品，则买下该箱，否则退回，试求：

(1)顾客买下该箱的概率（结果精确到0.01）；

(2)在顾客买下的一箱中，无残次品的概率（结果精确到0.01）．

【答案】(1)0.94

(2)0.85

【分析】（1）先求出一箱玻璃中有i件残次品的概率（，1，2），再求查看的有i件残次品的概率，进而利用条件概率的公式求解即可；

（2）由（1）可得顾客买下该箱玻璃的条件下没有残次品的概率，利用条概率的公式求解.

【详解】（1）解：设事件A＝“顾客买下该箱”，事件B＝“箱中恰有i件残次品”，，1，2．

．

（2）由（1）知：

18．已知函数且.

（1）求的值；

（2）求函数的单调区间．

【答案】(1)；(2)的单调增区间为，单调减区间为.

【分析】（1）先求出函数的导数，得到，即可解答；

（2）现求出函数的导数，解关于导函数的方程，从而得到函数的单调区间．

【详解】（1），

，

解得：；

（2）由（1）得：，

，

令，解得：或，

令，解得：，

∴函数的单调增区间为，

单调减区间为.

【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性，考查计算求解能力，属于基础题.

19．“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：

已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是.

（1）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关？

（2）若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为，求的分布列、数学期望.参考数据：

【答案】（1）没有把握认为爱好运动与性别有关； （2）.

【分析】（1）由题可算出爱好运动的人，即可完成列表，再利用公式求得即可得出结果；

（2）典型的超几何分布，利用公式求得概率，列出分布列，求得期望.

【详解】（1）

由已知数据可求得：

，

所以没有把握认为爱好运动与性别有关．

（2）的取值可能为0，1，2，

，，

.

所以的分布列为：

的数学期望为

.

【点睛】本题考查了离散随机变量和超几何分布，读懂题意是解题关键，属于基础题.

20．如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为2，，，且.

（1）求证：平面ABCD；

（2）当异面直线PB与CD所成的角为60°时，在线段CP上是否存在点M，使得直线OM与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，请求出线段CM的长，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）根据三线合一得出，，故而得到平面；

（2）建立空间直角坐标系，依题意可得为异面直线与所成角，设，利用余弦定理求出，设，根据线面角的正弦值得到方程，解得即可得解；

【详解】解（1）证明：因为为菱形，

所以为的中点，

因为，

所以，又因为，，面

所以平面

（2）平面，以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

，为异面直线与所成角，，

在菱形中，设，

，，，

设，则，，

在中，由余弦定理得：，

，解得，

，，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，

设，则

设直线OM与平面PCD所成角为，

，

解得，所以，即

21．习近平总书记在党的十九大报告中指出，要在“幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有所扶”上不断取得新进展，保证全体人民在共建共享发展中有更多获得感．现S市政府针对全市10所由市财政投资建设的敬老院进行了满意度测评，得到数据如下表：

（1）求投资额关于满意度的相关系数；

（2）我们约定：投资额关于满意度的相关系数的绝对值在0.75以上（含0.75）是线性相关性较强，否则，线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即满意度最低的敬老院市财政不再继续投资，改为区财政投资）.求在剔除“末位淘汰”的敬老院后投资额关于满意度的线性回归方程（系数精确到0.1）

参考数据：，，，，.

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.线性相关系数.

【答案】(1)0.72；(2)

【分析】（1）由题意，根据相关系数的公式，可得的值，即可求解；

（2）由（1）可知，得投资额关于满意度没有达到较强线性相关，利用公式求得的值，即可得出回归直线的方程.

【详解】（1）由题意，根据相关系数的公式，可得.

（2）由（1）可知，因为，所以投资额关于满意度没有达到较强线性相关，

所以要“末位淘汰”掉K敬老院.

重新计算得，，

，

，

所以，

.

所以所求线性回归方程为.

【点睛】本题主要考查了回归分析的应用，同时考查了回归系数的计算，以及回归直线方程的求解，其中解答中利用公式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

22．已知函数，，其中．

（1）若是函数的极值点，求实数的值．

（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围．

【答案】（1） ；（2）．

【分析】（1）求导后代入极值点计算

（2）理解题意，转化为最值问题求解

【详解】（1）

，由题意

又，故，验证满足题意

（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立

则

易得在上单调递增，

，由对勾函数得在上单调递减，在上单调递增

分类讨论求

①当时，，

，（舍去）

②当时，

，得

③当时，

，得，故时恒满足题意

综上，的取值范围为