2022-2023学年福建省龙岩市高二下学期期末教学质量检查数学试题含答案

这是一份2022-2023学年福建省龙岩市高二下学期期末教学质量检查数学试题含答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省龙岩市高二下学期期末教学质量检查数学试题 一、单选题1．已知函数，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.【详解】因为，所以，则.故选：A2．投掷一个骰子，记事件，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，，，则，所以.故选：D3．函数的图象大致为（    ）A． B．  C．   D．  【答案】D【分析】利用导数判断函数的极值和单调性即可求解.【详解】因为，所以，令，所以该函数在，当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数；故函数有两个极大值，一个极小值，所以答案为D.故选：D4．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.【详解】在平行六面体中，M为与的交点，  .故选：B5．已知直三棱柱中，，，，D是的中点，则异面直线与CD所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，取中点，连接，可得为异面直线与所成的角，再结合余弦定理，即可得到结果.【详解】  取中点，连接，在直三棱柱中，，因为分别为，的中点，所以，，即四边形为平行四边形，所以，为异面直线与所成的角，因为，，所以，，，在直三棱柱中，，所以，，在中，由余弦定理可得，.故选：B6．已知甲、乙盒子各装有形状大小完全相同的小球，其中甲盒子内有2个红球，1个白球；乙盒子内有3个红球，2个白球．若第一次先从甲盒子内随机抽取1个球放入乙盒子中，则第二次从乙盒子中抽1个球是红球的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用全概率公式计算可得.【详解】记为从甲盒子中取出一个红球，为从甲盒子中取出一个红球，为从乙盒子中取出一个红球，所以，，，，所以.故选：C7．，，，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】注意到常见的导数构造的形式：导数的结果，结合题干条件，可联想到构造：，结合，然后可求出表达式.【详解】设，则，根据题干条件，，即，故，为常数，即，于是，整理可得，令，整理可得，解得.故选：D8．若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造且，利用导数研究单调性判断大小，构造且，应用导数研究函数符号得，将代入判断大小，即可得答案.【详解】由，，令且，则，故上，此时单调递增，故，所以，令且，则，即此时单调递增，所以，则，令得：，故，则，综上．故选：B【点睛】关键点睛：本题的关键是通过构造函数和，通过导数得到其单调性，再利用其单调性比较大小. 二、多选题9．下列说法正确的是（    ）A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心C．在一个列联表中，计算得到的值，若的值越小，则可以判断两个变量有关的概率越大D．利用独立性检验推断“与是否有关”，根据数据算得，已知，，则有超过的把握认为与无关【答案】AB【分析】根据相关系数的概念判断A，根据回归直线方程的性质判断B，根据独立性检验的思想判断C、D.【详解】对于A：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于，故A正确；对于B：运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心，故B正确；对于C：在一个列联表中，计算得到的值，若的值越小，则可以判断两个变量有关的概率越小，故C错误；对于D：因为，所以有超过的把握认为与有关，故D错误；故选：AB10．若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（    ）A． B． C． D．【答案】CD【分析】由题意，对函数进行求导，利用导数得到的单调性和极值，将函数在区间内有最小值，转化成，令，列出等式求解即可．【详解】已知，函数定义域为，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值，极小值，若函数在区间内有最小值，此时，解得，当，即时，整理得，解得或，所以，综上，满足条件的取值范围为，．故选：CD．11．已知函数，则下列选项正确的是（    ）A．函数的值域为B．函数的单调减区间为，C．若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是D．若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是【答案】ABD【分析】先根据分式型函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图像，进而直接判断A和B；通过方程的根与图像的公共点之间的联系进行转化，并结合图像即可判断C和D.【详解】当时，，在单调递减，且渐近线为和，当时，，，则在单调递增，在单调递减，且，时，当时，，作出图像如下图所示，对于A，函数的值域为，故A正确；对于B，函数的单调减区间为，，故B正确；对于C，若关于x的方程有3个不相等的实数根，则或共有3个不相等的实数根，又因为解得或，所以与有1个公共点，所以或，故C错误.对于D，若关于x的方程有6个不相等的实数根，即或有6个不相等的实数根，又因为解得或，所以与有4个公共点，作出图像如下图所示，显然实数a的取值范围是，故D正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.12．在棱长为2的正方体中，点N满足，其中，，异面直线BN与所成角为，点M满足，则下列选项正确的是（    ）A．B．C．当线段MN取最小值时，D．当时，与AM垂直的平面截正方体所得的截面面积最大值为【答案】BCD【分析】对A：根据平面向量结合异面直线夹角分析运算；对B：根据空间向量分析可得点M在线段上（包括端点），进而结合线面垂直分析证明；对于C：根据圆的性质结合对称性以及向量的线性运算求解；对D：根据题意结合体对角线的性质分析求解.【详解】因为点N满足，其中，，则点N在正方形内（包括边界），又因为∥，则异面直线BN与所成角即为，可得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，所以A错误；因为且，所以点M在线段上（包括端点），因为平面，平面，则，又因为为正方形，则，，平面，所以平面，且平面，所以，所以B正确；因为，当且仅当三点共线时，等号成立，又因为当时，取到最小值，此时是的中点时，结合对称性可知：当是的中点时，也为圆弧的中点时，则，所以，即，所以，故C正确；当时，则，即与重合，与垂直的平面，即与体对角线垂直的平面，因为平面，且平面，所以，同理可证：，且，平面，所以平面，而与平面平行且面积最大的截面应当过正方体的中心，此时截面为边长是的正六边形，所以截面面积的最大值为，故D正确．故选：BCD.【点睛】关键点睛：根据向量的相关知识分析可得点的位置，并结合空间中的位置关系运算求解. 三、填空题13．已知空间向量，，若，则        ．【答案】【分析】由于可得，利用空间向量数量积得运算公式构建方程求解即可.【详解】空间向量，，且即故答案为：.14．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：．某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为        ．【答案】【分析】设事件为“甲同学周日去A馆”，事件为“甲同学周六去A馆”，即求，根据贝叶斯概率公式求解即可.【详解】设事件为“甲同学周日去A馆”，事件为“甲同学周六去A馆”，即求，根据题意得，，，则.故答案为：.15．在棱长为2的正方体中，P是侧面上的动点，且满足，则的最小值为        ．【答案】【分析】以为空间直角坐标系的原点建系，设，根据可得的轨迹，进而可得的最小值.【详解】以为空间直角坐标系的原点，为轴，为轴，为轴建立如图空间直角坐标系，设.则，故，，由可得，解得，故的轨迹是线段，则的最小值为到线段的距离.    故答案为：16．函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为        ．【答案】【分析】法一：参变分离可得在上恒成立，设，，利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围；法二：依题意可得，结合，即可得到，再分、两种情况讨论，即可得解.【详解】法一：依题意：在上恒成立，设，，则， 令，，则在上单调递增，又，，所以使，当时，在单调递减，当时，在单调递增，所以，由得，，设，，则，，所以在上单调递增，所以，即，，故，所以，解得，即实数的取值范围为；法二：，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，当且仅当时取“”，令，，即，，当，即时，，此时不等式恒成立；当，即时，设，在上单调递增，，，，使，即，所以与恒成立矛盾，故舍去，综上可得．故答案为：【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 四、解答题17．已知函数.(1)若，求函数在点处的切线方程；(2)若函数在处取得极值，求的单调区间.【答案】(1)(2)的单调递增区间为，，的单调递减区间为 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由可求得实数的值，然后利用导数判断函数的单调性可得答案.【详解】（1）因为所以，所以，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为：；（2）由函数在处取得极值可知：，即，解得：，此时，，，当，时，，当时，，所以符合题意.综上，的单调递增区间为，，的单调递减区间为.18．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．  (1)求证：平面PAD；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意，取中点，连接，可证四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可得到证明；（2）根据题意，以点为原点建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【详解】（1）  如图所示，取中点，连接． 因为分别为的中点，所以，且．又由已知，可得且，所以四边形为平行四边形，所以 又因为平面，平面．所以平面．（2）  如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则．由为棱的中点，得．向量，．设为平面的法向量，则．不妨令，得，即为平面的一个法向量． 又向量，设直线与平面所成角为，所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为．19．第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为了让中学生了解亚运会，某市举办了一次亚运会知识竞赛，分预赛和复赛两个环节，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布表（见表）．分组（百分制）频数频率100.1200.2300.3250.25150.15合计1001(1)由频率分布表可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩X服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．利用该正态分布，求；(2)预赛成绩不低于80分的学生将参加复赛，现用样本估计总体，将频率视为概率．从该市参加预赛的学生中随机抽取2人，记进人复赛的人数为Y，求Y的概率分布列和数学期望．附：若，则，，；．【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据正态分布曲线的对称性即可求解；（2）根据二项分布即可求解.【详解】（1）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：， 又由，，．（2）由题意，抽取2人进入复赛的人数， ．的概率分布列为012的数学期望为．20．如图，在直三棱柱中，，E为的中点，平面平面．  (1)求证：；(2)若的面积为，试判断在线段上是否存在点D，使得二面角的大小为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在， 【分析】（1）由,E是的中点可得结合平面平面可证平面，继而可证（2）先设再由的大小为利用空间向量得方法构建的方程来求解, 可得.【详解】（1）,E是的中点， 又平面平面，平面平面，且平面．平面． 又平面，．（2）在直三棱柱中，平面．又平面，．又，平面且，平面．又平面平面．平面，、从而可得两两垂直．所以如图以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．   的面积为，且矩形中可得解得．则， ．设，．又，设平面的法向量，则，不妨取，则，∴， 由（1）平面，∴平面的一个法向量， ．解得,又可知又由图可知当为的中点时，二面角为钝二面角符合题意，综上，在上存在一点D，此时，使得二面角的大小为．21．三年疫情对我们的学习生活以及各个行业都产生了影响，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，公司旗下的某个楼盘统一推出了为期7天的优惠活动．负责人用表格记录了推出活动以后每天售楼部到访客户的人次，表格中x表示活动推出的天数，y表示每天来访的人次，根据表格绘制了以下散点图．x（天）1234567y（人次）122242681322023924.248705070134.821406.961.78表中，．(1)（i）请根据散点图判断，以下两个函数模型与（a，b，c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（ii）根据（i）的判断结果以及表中的数据，求y关于x的回归方程．(2)此楼盘共有N套房，其中200套特价房，活动期间共卖出300套房，其中50套特价房，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值，X表示卖出的300套房中特价房的数目）．附：对于样本（，2，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）(2)或 【分析】（1）根据散点图即可判断，然后通过两边取对数，把非线性回归转化为线性回归，用最小二乘法求解回归直线方程，再求出其回归方程即可；（2）根据超几何分布即可求解.【详解】（1）（ⅰ）根据散点图可得随的增大，增长速度越来越快，不满足线性回归，故判断适合作为人次关于活动推出天数的回归方程类型． （ⅱ）由（ⅰ）知，，两边同时取对数得，令．则由题意知，又，所以，所以，所以， ，，则关于的回归方程为．（2）依题意服从超几何分布，当时，，当时，，记， 则，由解得， 所以当时，当时，当时，故当或时最大，所以的估计值为．22．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)已知，且是的两个零点，，证明：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）求导后分与两种情况讨论即可；（2）根据是的两个零点可得，再将所证不等式转化为，进而令，再构造函数求导分析单调性证明即可.【详解】（1）， ①若，则，即在单调递减，②若，令，有，令，有，即在单调递减，在单调递增， 综上：，在单调递减，若，在单调递减，在单调递增．（2），令得：，因为，，因为是的两个零点，所以，，所以，， 要证明，只需证，即证明变形为，令，则证明，设，，在单调递增，所以，即，设，，在单调递减，所以，，即，，综上：．