2022-2023学年北京市顺义区高二下学期期末质量监测数学试题含答案

这是一份2022-2023学年北京市顺义区高二下学期期末质量监测数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市顺义区高二下学期期末质量监测数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合交集运算可得.【详解】因为，所以.故选：C2．命题“”的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得到答案.【详解】命题“”为全称命题，则其否定为特称命题，即，故选：B.3．“”是“”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】直接利用充分条件和必要条件的判断方法，判断即可得出答案.【详解】解：因为“”能推出“”，而“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4．数列是等差数列，若，则（    ）A． B．5 C．9 D．15【答案】B【分析】利用等差数列的性质结合已知条件求解【详解】因为数列为等差数列，且，所以，因为，所以，所以，所以，故选：B5．某班一天上午有4节课，下午有2节课．现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数有（    ）A．48种 B．96种 C．144种 D．192种【答案】D【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理，即可得到结论．【详解】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种，再排其余4节，有种，根据乘法原理，共有种方法，故选：D．6．下列给出四个求导的运算：①；②；③；④．其中运算结果正确的个数是（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据题意，由导数的运算法则以及复合函数的求导运算，即可得到结果.【详解】①，故正确；②，故正确；③，故错误；④，故正确；故选：C7．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】设事件“第1次抽到代数题”，事件“第2次抽到几何题”，所以，则.故选：A8．已知为等比数列，下面结论中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C． D．【答案】D【分析】对于AB，利用等比数列的通项公式分析判断，对于CD，利用等比数列的通项公式结合基本不等式分析判断即可.【详解】设等比数列的公式为，对于A，若，则，得，所以或，所以或，所以A错误，对于B，若，则，即，所以，则其正负由的正负确定，所以B错误，对于C，，当同正时，，当且仅当时取等号，当时，所以C错误，对于D，因为，当且仅当时取等号，所以D正确，故选：D9．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）A．当时，函数取得极大值 B．当时，函数取得极小值C．当时，函数取得极大值 D．当时，函数取得极小值【答案】D【分析】由图分段讨论可得的正负，从而得到的单调性,进而找到极值点.【详解】由图可得，时，，单调递减，时，，单调递减，时，，单调递增，故当时，函数取得极小值，故选：D.10．某银行在1998年给出的大额存款的年利率为，某人存入元（大额存款），按照复利，10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ）A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8【答案】B【分析】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案.【详解】存入元（大额存款），按照复利，可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列，所以，可得.故选：B. 二、填空题11．计算：        ．（用数字作答）【答案】2【分析】根据题意，由对数的运算，即可得到结果.【详解】原式.故答案为：12．函数的定义域为          .【答案】【分析】根据分式及对数式有意义即可求解.【详解】要使有意义，只需，解得，或，所以函数的定义域为.故答案为：.13．在的展开式中，常数项为        .(用数字作答)【答案】【解析】的展开式的通项为，取计算得到答案.【详解】的展开式的通项为：，取得到常数项.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.14．若幂函数在上单调递减，在上单调递增，则使是奇函数的一组整数的值依次是        ．【答案】、3（答案不唯一）【分析】根据题意，由幂函数的性质即可得到结果.【详解】因为幂函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又因为是奇函数，所以需要满足为小于的奇数，为大于的奇数.故答案为：、3（答案不唯一）.15．已知，函数．给出下列四个结论：①当，函数无零点；②当时，函数恰有一个零点；③存在实数，使得函数有两个零点；④存在实数，使得函数有三个零点．其中所有正确结论的序号是        ．【答案】①②③【分析】利用导数即可研究函数单调性、极值与图像，分类讨论结合依次判断即可.【详解】∵，∴， ∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增， ∴函数有极小值点是1，无极大值点， 又当时， 且极小值为，∴结合的图像得：    当时，直线与的图像有两个不同交点，当时，直线与的图像有一个交点， 当时，直线与的图像没有交点， 当若则（舍），无零点；当若，无零点；若（舍）无零点；若则（舍），无零点；若则不妨设，有一个零点；对于①当时，函数在无零点，函数在无零点；∴①正确；对于②当时，函数在无零点，函数在恰有一个零点；∴②正确，对于③当时，函数在有两个零点，函数在无零点；∴③正确，对于④当时，函数在有两个零点，函数在无零点；∴函数有两个零点；当时，函数在有一个零点，函数在无零点；∴函数有一个零点；当或时，函数在无零点，函数在无零点；∴函数无零点；当时，函数在无零点，函数在无零点；∴函数无零点；当时，函数在无零点，函数在有 一个零点；∴函数有一个零点；∴④错误，故答案为：①②③.【点睛】关键点点睛：解决根及零点关键点是数形结合及分类讨论，分类讨论不重不漏. 三、解答题16．已知．(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)122 【分析】（1）利用赋值法令求解即可；（2）利用赋值法分别令 和 即可求解.【详解】（1）令，可得（2）令，可得    ①令，可得    ②①式减②式可得，17．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的最大值与最小值．【答案】(1)(2)最大值为4，最小值为． 【分析】（1）根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程；（2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.【详解】（1）函数，，又，，曲线在点处的切线方程为即；（2），令，解得或，当变化时，的变化情况如表所示：2+0-0+单调递增单调递减单调递增又时，时，，当时，在上的最大值为，当时，在上的最小值为．18．两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：10，11，12，13，14，15，16组：12，13，14，15，16，17，20假设所有病人的康复时间互相独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不多于14天的概率；(2)若康复时间大于14天，则认为康复效果不佳．设表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数，求的分布列及数学期望；(3)组病人康复时间的方差为组病人康复时间的方差为，试判断与的大小．（结论不要求证明）【答案】(1)(2)分布列见解析，(3) 【分析】（1）根据古典概型公式计算即可；（2）根据步骤求出离散型随机变量的分布列及数学期望；（3）结合数据应用波动情况判断方差的大小.【详解】（1）设甲的康复时间不多于14天为事件C，组中的数据共有7个，基本事件共有7种，且相互独立又组中的数据不多于14天的有5个，即事件C中包含的基本事件有5个甲的康复时间不多于14天的概率（2）甲康复效果不佳的概率，乙康复效果不佳的概率表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数的可能取值是0，1，2表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为0表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为1表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为2的分布列为012的数学期望为.（3）.根据组：10，11，12，13，14，15，16，组：12，13，14，15，16，17，20组数据波动性较大，所以.19．已知为等差数列，为其前项和．若，设．(1)求证：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，则由可求出公差，从而可求得，则可得，然后计算即可得结论；（2）由（1）可得，然后利用分组求和法可求得.【详解】（1）证明：设等差数列的公差为，则通项公式为， 又，则即数列是等比数列，公比为2，首项．（2）由（1）知数列是等比数列，公比为2，首项数列的前项和20．已知函数．(1)若对任意时，成立，求实数的最大值；(2)若，求证：；(3)若存在，使得成立，求证：．【答案】(1)1(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求导得到极值，即可得到结果；（2）根据题意，构造，然后求导得到，即可证明；（3）方法一：由条件可得，令，然后结合（2）中的结论即可证明；方法二：结合条件可得，然后令，然后由函数的单调性即可证明.【详解】（1），，令解得，在单减，在上单增，在取得极小值，也是最小值，时，成立．只需即可，实数的最大值为1．（2）证明：设，，在上单调递减，，，即．（3）法一：证明：存在时，便得成立，，，令，由可知，由（2）知在上单调递减，即，，即，，由知，即，.法二：，，在上单调递减，在上单调递增．存在时，使得成立，，且，，令，，在上单调递增，又，，即即，在上单调递增，即.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值，以及利用导数证明不等式问题，难度较难，解答本题的关键在于构造出合适的函数，然后利用导数去研究.21．已知整数数列满足：①；②．(1)若，求；(2)求证：数列中总包含无穷多等于1的项；(3)若为中第一个等于1的项，求证：．【答案】(1)或(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，逐项计算，即可求解；（2）记为中第一个小于等于0的项，则或，得出矛盾，记为的最小值，则为奇数并且，根据的最小性，得到可知，即可得证；（3）由，可得，得到，求得，再找出和的关系，结合和为偶数和奇数，分类讨论，求得，即可得证.【详解】（1）解：因为整数数列满足，若，可得或；若，可得，此时不满足，，此时，当时，不满足，所以，故或.（2）证明：首先．否则，记为中第一个小于等于0的项，则或，从而，与的最小性矛盾，记为的最小值，则为奇数并且，根据的最小性，可知，根据可知，注意到第一个1后面的项为2，1，2，1，2…周期性出现，从而数列中总包含无穷多等于1的项.（3）此小问解析征解【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.3、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.