2022-2023学年北京市朝阳区高二下学期期末质量检测数学试题含答案

这是一份2022-2023学年北京市朝阳区高二下学期期末质量检测数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市朝阳区高二下学期期末质量检测数学试题 一、单选题1．已知集合，集合，则（    ）A．｛0，1｝ B． C． D．【答案】C【分析】根据集合的交集的概念及运算，即可求解.【详解】由集合，，根据集合的交集的概念及运算，可得.故选：C.2．已知，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】因为，又，所以.故选：A3．不等式的解集为空集，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可得，解出的取值范围，即可得出答案.【详解】因为不等式的解集为空集，所以，解得：.则的取值范围是.故选：A.4．从集合中任取两个不同的数，则取出的两个数中恰有一个是奇数的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出任取两个不同的数的方法数，再求出两个数中恰有一个是奇数的方法数，再利用古典概型的概率公式求解.【详解】从集合中任取两个不同的数有种方法，其中取出的两个数中恰有一个是奇数的有，所以取出的两个数中恰有一个是奇数的概率为，故选：C5．已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可.【详解】因为，，又因为，所以，即，所以.故选：B6．设, 则 “”是“”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由一定可得出；但反过来，由不一定得出，如，故选A.【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.7．某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分步乘法计数原理，先从4人中选出2人作为一组，有种方法，再与另外2人一起进行排列，有种方法，相乘即可得到答案.【详解】4名学生分到3个小区，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，∴4名同学不同的分组方法只能为2，1，1，∴不同的安排方法有(种).故选：D.8．已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．函数的一个周期为B．函数的一个零点为C．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到D．的图象关于直线对称【答案】B【分析】根据正弦型函数的周期公式求函数的周期，判断A，根据函数零点的定义判断B，根据三角函数图象变换结论判断C，根据正弦型函数的对称性判断D.【详解】因为，所以，由正弦型函数的周期公式可得，函数的最小正周期为，A错误；当时，，所以函数的一个零点为，B正确；将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， C错误；由，可得，，所以函数的对称轴方程为，，D错误；故选：B.9．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富．为了保护生态环境，某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，为常数且，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留数量约为原污染物数量的（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，求得，当时，得到，结合，得到，即可求解.【详解】由题意得，当时，，解得，即则当时，可得，因为，所以，即，即再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的.故选：C.10．已知定义在R上的函数满足：①；②；③当时， 则函数在区间上的零点个数为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据题意，由条件可得函数的对称性，然后做出其函数图像，将函数的零点个数转化为函数与的交点个数，结合图像即可得到结果.【详解】由①可得函数的图像关于对称，由②可得函数的图像关于直线对称，然后由，做出函数在的图像如图所示，  再结合其对称性可得函数在区间的图像如图所示，  则函数在区间上的零点个数，即为函数与的交点个数，由图像可知，有4个交点，即4个零点.故选：B 二、填空题11．二项式的展开式中的常数项是        ．（用数字作答）【答案】【分析】写出展开式的通项公式，令x的指数为0，即可得到展开式的常数项.【详解】二项式的展开式的通项公式，令，得,则常数项为，故答案为：160.12．某中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1000，800，为迎接运动会的到来，按照各年级人数所占比例进行分层抽样，选出30名志愿者，则高二年级应选出的人数为        ．【答案】【分析】根据分层抽样的定义结合已知条件直接求解即可.【详解】由题意可得高二年级应选出的人数为人，故答案为：10 三、双空题13．当时，函数的最小值为        ，此时        ．【答案】          【分析】根据题意，化简函数，结合基本不等式，即可求解.【详解】当时，可得，函数，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的最小值为.故答案为：； . 四、填空题14．已知，则关于的不等式的解集是        ．【答案】【分析】关于的不等式等价于，结合的范围，比较根的大小，即可得结果.【详解】关于的不等式等价于，由，得，所以不等式的解集为.故答案为：..15．若函数的图象在区间上恰有两个极值点，则满足条件的实数的一个取值为        ．【答案】（答案不唯一）．【分析】先根据题意结合余弦函数的性质可求得，从而可求得结果【详解】由，得，因为函数的图象在区间上恰有两个极值点，所以，得，所以满足条件的实数的一个取值为，故答案为：（答案不唯一）．16．已知集合为非空数集，且同时满足下列条件：（ⅰ）；（ⅱ）对任意的，任意的，都有；（ⅲ）对任意的且，都有．给出下列四个结论：①；②；③对任意的，都有；④对任意的，都有．其中所有正确结论的序号是        ．【答案】①③④【分析】由集合满足的条件，验证给出的结论是否正确.【详解】由题意可知，，则，结论①正确；，有，，，结论②错误；对任意的，则，有，结论③正确；，则，可得，，即，所以，即，得，由，有，∴当，可得，，故结论④正确.故答案为： ①③④ 五、解答题17．设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数唯一确定．(1)求和的值；(2)设函数，求在区间上的最大值．条件①：；条件②：的最小值为；条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】(1)，(2)2 【分析】（1）选①③：由及的图象的相邻两条对称轴之间的距离为求得的值.选②③：由的最小值为及的图象的相邻两条对称轴之间的距离为求得的值.（2），当时求出的范围从而求得的最大值．【详解】（1）选①③．因为，由，得．因为的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以．所以．因为，所以．选②③．因为，由的最小值为，得．因为的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以．所以．因为，所以．注：选①②不成立，理由如下．因为，由，得．由的最小值为，得．无法确定的值，故函数不是唯一确定．故选①②不成立.（2）由（1）可知．．因为，所以．所以当，即时，在区间上取得最大值．18．某保险公司2022年的医疗险理赔服务报告给出各年龄段的投保情况与理赔情况，统计结果如下：  注：第1组中的数据13%表示0-5岁年龄段投保人数占全体投保人数的百分比为13%；24%表示0-5岁年龄段理赔人数占全体理赔人数的百分比为24%．其它组类似．(1)根据上述数据，估计理赔年龄的中位数和第90百分位数分别在第几组，直接写出结论；(2)用频率估计概率，从2022年在该公司投保医疗险的所有人中随机抽取3人，其中超过40岁的人数记为，求的分布列及数学期望；(3)根据上述数据，有人认为“该公司2022年的理赔的平均年龄一定小于投保的平均年龄”，判断这种说法是否正确，并说明理由．【答案】(1)理赔年龄的中位数在第4组，理赔年龄的第90百分位数在第5组(2)分布列见解析；期望为(3)不正确，理由见解析 【分析】（1）根据中位数和第90百分位数所占比例判断所在组；（2）列出随机变量的分布列，然后求解数学期望；（3）直方图表示的是年龄区间，不能具体判断真是平均数，举反例说明；【详解】（1）理赔年龄的中位数在第4组，理赔年龄的第90百分位数在第5组．（2）用频率估计概率，从投保医疗险的人中随机抽取1人超过40岁的概率为．的所有可能取值为．．．．．所以随机变量的分布列为：所以随机变量的数学期望：．（3）不正确．反例，比如理赔的年龄比较靠近每一组区间的右端点，投保的年龄比较接近每一组区间的左端点，这样估计的结果就是理赔的平均年龄较大．用区间的右端点估计理赔的平均年龄为：用区间的左端点估计投保的平均年龄为：因为32.13>26.62，所以说法不正确．19．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若是的一个极值点，求的单调递增区间；(3)是否存在，使得在区间上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在； 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）由是的一个极值点，可得，求出的值，然后检验后由导数大于零可求出函数的增区间；（3）对函数求导后分和两种情况讨论导数的正负，求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值，然后使其最大值等于可求出的值.【详解】（1）当时，，所以．因为，所以．所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）函数的定义域为，则，因为是的一个极值点，所以．解得．所以，．当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以当时，是的极大值点．此时的单调递增区间为．（3）①当时，因为，，所以在区间上单调递增．此时．若，则，不合题意．②当，即时，令，解得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．此时．若，则，符合题意．综上，当时，在区间上的最大值为．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值问题，第（3）问解题有关键是分和讨论导数的正负，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值，考查计算能力，属于较难题.20．已知函数，．(1)当时，证明；(2)若直线是曲线的切线，设，求证：对任意的，都有．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）构造函数，利用导数结合函数最值来证明；（2）根据切线方程求出参数，从而求得，然后代入，将不等式转化为，最后将看成整体，构造函数结合导数以及函数最值来证明不等式；【详解】（1）当时，设，则．令，解得．当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增．所以．所以成立．（2）由已知得．设切点为，则解得所以，．要证，即证，即证，即证．令，原不等式等价于，即．设，则．所以在区间上单调递增．所以．所以成立．所以对任意，都有．21．若有穷整数数列满足（），且各项均不相同，则称为数列．对数列，设，，则称数列为数列的导出数列．(1)分别写出数列与的导出数列；(2)是否存在数列使得其导出数列的各项之和为0？若存在，求出所有符合要求的数列；若不存在，说明理由；(3)设数列与的导出数列分别为与，求证：的充分必要条件是．【答案】(1)的导出数列为，的导出数列为(2)不存在；理由见解析(3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，直接写出答案即可；（2）根据题意，设，然后分别求得，即可得到结果；（3）根据题意，分别证明充分性与必要性，然后结合反证法即可得到结果.【详解】（1）的导出数列为，的导出数列为．（2）不存在，理由如下：设，则，，，，，．因为，所以是奇数，是偶数，是奇数，是偶数，是奇数．因为共三个奇数，所以是奇数．所以不可能为0．（3）必要性：若，则，．充分性：下面用反证法证明．假设存在，使得．若，令．若，令．因为，所以．设中有项比小，则有项比大，所以．设中有项比小，则有项比大，所以．因为且，所以，所以，矛盾．所以．