2022-2023学年安徽省六安第一中学高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年安徽省六安第一中学高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式以及分式不等式的求解化简集合,即可由集合的交运算求解.

【详解】，而或，故，

故选：D．

2．若x，y，z为非零实数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解.

【详解】解：因为，，所以,故充分;

当，，时，满足，

但不满足.故不必要，

故选：A.

3．已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ）

A． B．2 C．1 D．

【答案】B

【分析】令便可得到函数图象恒过点，将点代入幂函数中，解得的解析式，然后计算的值.

【详解】函数中，令，解得，此时，

所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，

所以，解得，所以，

.

故选：B.

4．已知函数，，则图象为如图的函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性可排除B、D，利用函数在原点处没有意义排除C，即可得解.

【详解】对于B，，该函数定义域为R，

但是，

所以该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C当时，，函数在处无意义，故函数不过原点，与函数图象不符，排除C.

对于D，，该函数定义域为R，

但是，

所以该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除D；

故选：A.

5．用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则（    ）

A．12 B． C． D．7

【答案】B

【分析】由已知，可根据，先计算出，然后把样本中心点带入线性回归方程为中计算出，从而得到线性回归方程，然后将方程化为指数形式，通过待定系数法分别对应出、的值，即可完成求解.

【详解】由已知，，所以，

，，所以

，

由题意，满足线性回归方程为，所以，所以，

此时线性回归方程为，即，

可将此式子化为指数形式，即为，

因为模型为模型，所以，，

所以.

故选：B.

6．已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是

A．0 B． C．1 D．

【答案】A

【详解】[方法一]：在中，令，则，

再令，得，

∴.又令，得，又∵，∴.

再令，得，∵，∴.

∴，故选A.

[方法二]：由得，，

所以

.因为在中，

令，得，而是偶函数，

所以，∴.于是，

再在中，令，得，

∴，故选A.

[方法三]：

，

，

，

，

0，

，

，

，

0.

故选：A.

7．2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：）

A．36 B．37 C．38 D．39

【答案】A

【分析】由已知求得衰减系数，然后根据已知模型列不等式求解．

【详解】由已知，得，所以，

则有，即，即，

即，因此G至少为36.

故选：A.

8．已知分别为定义在上的函数和的导函数，且，，若是奇函数，则下列结论不正确的是（    ）

A．函数的图象关于点对称

B．函数的图象关于直线对称

C．

D．

【答案】C

【分析】由条件可得，由此证明关于对称，再结合图象变换判断A，再证明函数为偶函数由此判断B，由条件证明为偶函数，由此证明为周期函数，结合周期性求，举反例判断C.

【详解】因为，，

所以，

所以，

所以函数为奇函数，

所以函数的图象关于点对称，

所以关于对称，

又，

所以函数的图象关于点对称，A正确；

因为函数的图象关于点对称，

所以的图象关于原点对称，

所以，

所以，

所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，

所以函数的图象关于直线对称，B正确；

因为是奇函数，所以，

所以，即

又，

所以，

所以函数为周期函数，周期为4，

所以，

又，所以，

所以，故，D正确；

设，则，，

满足所给条件，但，所以C错误.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于充分利用函数的奇偶性的定义，结合条件判断相关函数的奇偶性，再结合奇函数和偶函数的性质判断相关结论.

二、多选题

9．已知正实数、满足，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】利用基本不等式可判断ABD选项，利用特殊值法可判断C选项.

【详解】因为正实数、满足，

对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对；

对于B选项，因为，则，

当且仅当时，等号成立，B错；

对于C选项，当，时，，C错；

对于D选项，，

当且仅当时，等号成立，D对.

故选：AD.

10．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据条件概率公式、全概率公式、和事件公式可以判断答案.

【详解】B选项：，对；

C选项：,C对；

A选项：由全概率公式得：

,

,A错；

D选项：D对；

故选：BCD

11．已知，，，若（），则n的可能值为（    ）

A．6 B．8 C．11 D．13

【答案】BC

【分析】根据二项式展开式的通项公式以及二项式系数最大值的知识求得正确答案.

【详解】依题意，，

所以，

依题意，，其中，

化简得，继续化简得，

即，

依题意，，所以，解得.

故选：BC

12．已知，方程，在区间的根分别为，以下结论正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】题意说明分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，利用这三个函数图象都关于直线对称得，， 直接变形判断AB，利用不等式知识判断C，由零点存在定理确定，构造函数，确定其单调性，由单调性判断D．

【详解】已知两方程化为，，所以分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，

易知和的图象关于直线对称，

而函数的图象可以看作是由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，因此的图象也关于直线对称，所以点与关于直线对称，

，，

，A正确；

又，所以，，从而，B正确；

，当且仅当即时取等号，由于，而，因此，等号不成立，即，

C错误，

，

设，则，

，，所以，

所以，

时，是减函数，所以由得，

所以，D正确．

故选：ABD．

【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点与方程根的关系，解题关键是确定分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，利用这三个函数图象都关于直线对称得出的关系．

三、填空题

13．函数的单调递减区间为           .

【答案】

【分析】通过求导，解导函数小于零的不等式解集即可.

【详解】由题意得：，令.

即函数的单调递减区间为.

故答案为：

14．某班从5名男同学和4名女同学中选取4人参加学校的“辩论大赛”，要求男、女生都有，则不同的选法共有             种．

【答案】120

【分析】利用间接法：在所有组合中排除全为男生和全为女生的情况，利用组合数计算求解．

【详解】从9名同学中选取4人，有种不同的选法，

其中全为男生，全为女生的情况分别有种，种，

所以男、女生都有的不同的选法共有（种）．

故答案为：120.

15．若，x，，则的最小值为        ．

【答案】/

【分析】由表示出，代入，可得到关于的函数，求导研究单调性极值，进而求出最值．

【详解】因为，所以，于是，

则，

令，则，

由，得，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故为唯一的极值点且为极小值点，

故，

故答案为：

16．已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为     .

【答案】

【分析】对函数分成两段进行求解，当时，二次函数的对称轴，分成和两种情况讨论；当时，采用参变分离，构造函数求最值.

【详解】（1）当时，，过定点，对称轴为，

当时，，解得：，所以；

当时，在单调递减，且，所以；

所以在恒成立，可得.

（2）当时，恒成立，即恒成立，

令，则，

当时，，所以在单调递增，

当时，，所以在单调递减，

所以.

综合（1）（2）可得：.

【点睛】本题研究二次函数在的最小值时，利用函数恒过定点，使讨论的过程更简洁，即只要研究对称轴和两种情况.

四、解答题

17．已知集合，，.

(1)若是“”的充分条件，求实数a的取值范围.

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式得到集合，根据是的充分条件列不等式求解即可；

（2）根据交集的定义得到，然后根据集合的包含关系列不等式求解即可.

【详解】（1）因为，所以.因为是的充分条件，

所以，解得，.

（2）因为，，所以，解得.故a的取值范围为.

18．已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求函数的解析式，判断在上的单调性并证明；

(2)解不等式．

【答案】(1)，，增函数；证明见解析

(2)

【分析】（1）根据奇函数的定义求得函数解析式，再由单调性的定义证明单调性；

（2）利用奇偶性变形不等式，然后由单调性化简后求解．

【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，解得：，

∴，而，解得，

∴，．

函数在上为增函数；证明如下：

任意，且，

则，

因为，所以，又因为，，所以，

所以，即，所以函数在上为增函数．

（2）由题意，不等式可化为，

即解不等式，所以，

所以，解得所以该不等式的解集为．

19．某中学对50名学生的“学习兴趣”和“主动预习”情况进行长期调查，得到统计数据如下表所示：

(1)现从“学习兴趣一般”的25个学生中，任取2人，若表示其中“会主动预习”的学生的人数，求的分布列与数学期望；

(2)依据小概率值的独立性检验，分析“学习兴趣”是否与“主动预习”有关.

参考数据、附表及公式：，.

【答案】(1)分布列见解析，

(2)“学习兴趣”与“主动预习”有关

【分析】（1）根据超几何分布的概率公式可求出分布列，根据期望公式可得期望；

（2）根据公式求出，结合临界值表可得结果.

【详解】（1），

，，，

随机变量X的分布列为：

所以，X的数学期望是.

（2）提出零假设：假设“学习兴趣”与“主动预习”无关．

，

因此在犯错率小于的条件下，认为“学习兴趣”与“主动预习”有关.

20．已知函数与的图象关于直线对称．

(1)若函数是偶函数，求实数m的值；

(2)若关于的方程有实数解，求实数k的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据反函数的性质可得，进而根据偶函数的定义，结合对数的运算性质即可求解，

（2）根据对数的运算性质可将问题转化为在R上有解；分情况讨论即可求解.

【详解】（1）∵与的图象关于直线对称，∴，

∴；

∵的定义域为R，且为偶函数，

∴，

∴，∴，解得：．

（2），，

由得：；由得：；

∴，即在R上有解；

当时，，解得：，满足题意；

当且时，，解得：或；

综上所述：实数k的取值范围为．

21．已知函数，其中．

(1)讨论的单调性；

(2)若，，求实数a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导，利用导数结合分类讨论即可求解，

（2）构造函数，，求导即可利用单调性求解最值求解.

【详解】（1）函数定义域为R，，

令，则，

当，即时，，所以在定义域R上单调递增；

当，即时恒成立，所以在定义域上单调递增，

令，则，即，

当，即，此时恒成立，所以在R上单调递增，

当，即时，恒成立，所以在定义域上单调递减，

令，则，即，解得，

所以当时，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

综上可得：当时在R上单调递增；当时在R上单调递增；当时在上单调递减，在上单调递增．

（2）当时，即，即，

令，，则，所以在上单调递减，则，所以，则，令，，则，

因为，所以当时，，当时，，

即在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即．

【点睛】方法点睛：

1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

22．最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为，现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验次.记为试验结束时所进行的试验次数．

(1)写出的分布列；

(2)证明：．

【答案】(1)分布列见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据独立重复试验概率公式计算即可求得分布列；

（2）令，由数学期望公式可得；利用错位相减法可求得，代入整理得到，由此可证得结论.

【详解】（1）当时，，；

当时，；

的分布列为：

（2）；

令，则，

，

，

，

；

又，，.

【点睛】关键点点睛：本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望的求解；本题证明问题的关键是能够将问题转化为数列求和问题，采用错位相减法求得后，代入整理即可得到结论.