2022-2023学年安徽省合肥六校联盟高二下学期期末联考数学试题含答案

2022-2023学年安徽省合肥六校联盟高二下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．数列{}中，“”是“{}是公比为2的等比数列”的（    ）.

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】结合等比数列的定义，判断“”和“{}是公比为2的等比数列”之间逻辑推理关系，即得答案.

【详解】对数列{}，，若，则可得，

此时{}不是公比为2的等比数列；

若{}是公比为2的等比数列，则，即，

故”是“{}是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件，

故选：B

2．某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（    ）

A．19m/s B．16m/s C．11m/s D．8m/s

【答案】B

【分析】根据导数的物理意义可求出结果.

【详解】因为，所以，

所以质点在时的瞬时速度为m/s.

故选：B

3．若直线与垂直，则m的值为（    ）

A． B． C．5 D．

【答案】D

【分析】根据两直线垂直，斜率之积等于-1求解.

【详解】直线：的斜率，

当时，直线：的斜率为，由于两直线垂直，

，解得；

若，，直线的斜率不存在，要保证必有，显然不成立；

；

故选：D.

4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”，如：.在不超过12的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出不超过12的质数，利用列举法结合古典概率求解作答.

【详解】不超过12的质数有，任取两个不同数有，共10个，

其中和为偶数的结果有，共6个，

所以随机选取两个不同的数，和为偶数的概率为.

故选：B

5．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析函数的奇偶性，并利用导数分析函数在上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】函数的定义域为，，

所以，函数为奇函数，排除BD选项.

当时，，则，，

所以，函数在上为增函数，排除C选项.

故选：A.

6．已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【分析】首先得出切线长的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.

【详解】圆：中，圆心，半径

设，则，

则,

当时，，

故选：C

7．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（    ）

A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.3

【答案】A

【分析】设表示该汽车是货车，表示该汽车是客车，即得，，设表示货车中途停车修理，表示客车中途停车修理，则，，利用条件概率计算公式能求出今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率．

【详解】设表示该汽车是货车，表示该汽车是客车，则，，

设表示货车中途停车修理，表示客车中途停车修理，则，，

表示一辆汽车中途停车修理，则，

今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为：

．

故选：A

8．设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定不等式构造函数，利用导数探讨单调性，求解不等式作答.

【详解】定义在上的函数的导函数为，，

令函数，求导得，即函数在上单调递减，

由，得，不等式等价于，解得，

所以不等式的解集是.

故选：D

【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.

二、多选题

9．下列说法中正确的有（    ）

A．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；

B．设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位；

C．设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于0，和之间的线性相关程度越弱；

D．在一个列联表中，由计算得的值，在的前提下，的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大.

【答案】ACD

【分析】对于选项A，由条件利用方差的定义，即可判断是否正确；对于选项B，通过回归方程的性质，即可判断是否正确；对于选项C，根据具有相关关系的两个变量的相关系数值与相关性，即可判断是否正确；对于选项D，由独立性检验中的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，即可判断是否正确.

【详解】根据方差公式，可知将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变．故A正确；

变量增加一个单位时，平均减小5个单位，故B不正确；

设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于，和之间的线性相关程度越弱，故C正确；

在一个列联表中，由计算得的值，若，则有95%的把握判断两个变量间有相关关系，因此在的前提下，的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，故D正确．

故选：ACD．

【点睛】本题主要考查了回归直线方程以及相关关系相关系数的应用，独立检验思想的应用，是基本知识的考查，熟记教材结论是关键，属于基础题.

10．已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，则下列判断正确的是（    ）

A．a1＝3 B．若d＝1，则an＝n2+2n C．a2可能为6 D．a1，a2，a3可能成等差数列

【答案】ACD

【解析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解

【详解】因为，，所以a1＝3，an＝[1+(n-1)d](n+2n).若d＝1，则an＝n(n+2n)；若d＝0，则a2＝6.因为a2＝6+6d，a3＝11+22d，所以若a1，a2，a3成等差数列，则a1+a3＝a2，即14+22d＝12+12d，解得.

故选ACD

11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（       ）

A．直线平面

B．三棱锥的体积为定值

C．异面直线与所成角的取值范围是

D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

【答案】ABD

【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；

在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；

在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；

在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.

【详解】在选项A中，∵，，，

且平面，

∴平面，平面，

∴，

同理，，

∵，且平面，

∴直线平面，故A正确；

在选项B中，

∵，平面，平面，

∴平面，

∵点在线段上运动，

∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，

∴三棱锥的体积为定值，故B正确；

在选项C中，

∵，

∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.

易知为等边三角形，

当为的中点时，；

当与点或重合时，直线与直线的夹角为.

故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；

在选项D中，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，

设正方体的棱长为1，

则，，，，

所以，.

由A选项正确：可知是平面的一个法向量，

∴直线与平面所成角的正弦值为：，

∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.

故选：ABD

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，函数的单调增区间为

B．当时，函数的极小值为1

C．若在定义域内不单调，则

D．若对有成立，则

【答案】ABC

【分析】对于A、B，求导后，判断导数的正负后即可判断；对于C，分和两种情况讨论即可判断；对于D，把化为，令，从而问题转化为函数在上为增函数，求导后得到，结合二次函数即可判断.

【详解】

对于A、B，当时，，

所以当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以函数的单调增区间为，在有极小值，故A、B都正确；

对于C，因为，，

当 时，恒成立，函数在定义域内单调递增，

当时，符号不确定，函数在定义域内不单调，故C正确；

对于D，因为对有 成立，

即成立，

令，

由题意知在上恒成立，即函数在上为增函数，

则恒成立，故，

因为，所以，故D错误.

故选：ABC

三、填空题

13．某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有      种．

【答案】240

【分析】先把5名学生分成人数为的四组, 再把四组学生分给宋元数学四大家讲述,根据等量分组及排列计算即可得到.

【详解】先把5名学生分成人数为的四组,共有种分法,再把四组学生分给宋元数学四大家讲述则有种分法,

所以分配方案有种.

故答案为: 240.

14．展开式中含有项的系数为             ．

【答案】

【分析】求出的的系数，即得解.

【详解】解：设的通项为

令，所以

令，所以

所以项的系数为.

故答案为：

15．某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：根据表中数据，得出y关于x的回归直线方程为．据此计算出在样本处的残差为，则表中m的值      ．

【答案】/

【分析】根据已知条件，结合残差的定义，以及线性回归方程的性质，即可求解．

【详解】解：样本处的残差为且关于的回归直线方程为，

，解得，

故回归直线方程为，

，，

，解得．

故答案为：．

16．设抛物线的焦点为，点，过点的直线交于两点，直线垂直轴，，则        ．

【答案】

【分析】根据抛物线定义求出，再设直线的方程为，得到韦达定理式，求出点横坐标，再利用抛物线定义即可求出的长.

【详解】由题意得,因为直线垂直于轴,,准线方程为，

所以点的横坐标为,设，

根据抛物线的定义知，解得，

则，则，可设直线的方程为，

联立抛物线方程有可得，

，则，

则，解得，则，

故答案为：.

四、解答题

17．已知等比数列是递增数列，，．数列满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）设数列的公比为，由条件结合等比数列通项公式列方程求，由此可得数列的通项公式；

（2）利用错位相减法求数列的前项和．

【详解】（1）设数列的公比为，

因为，，

所以，，

解得或，

又数列是递增数列，所以，

所以数列的通项公式为，

所以数列的通项公式为；

（2）由（1），

，两式相减得：

所以，

所以.

18．已知四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为直角梯形，，，，.

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题意，利用勾股定理逆定理证明，由已知，证明平面，从而证明平面平面；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）四棱锥中，，，

则，，，

，

，

又，且，平面，

平面，又平面，

平面平面，即平面平面；

（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，则，

令，则，所以，

设直线与平面所成角为，则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

19．博鳌亚洲论坛年会员大会于月日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的名服务志愿者培训后，组织了一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前名的参赛者进行奖励．

(1)试确定受奖励的分数线；

(2)从受奖励的以下和的人中采取分层抽样的方法从中选人在主会场服务，组织者又从这人中任选人为贵宾服务，记其中成绩在分以上（含分）的人数为，求的分布列与数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，数学期望

【分析】（1）根据频率分布直方图首先确定奖励分数线所在区间，从而构造方程求得结果；

（2）根据分层抽样原则确定人中，分数在分以下和分以上（含分）的人数，从而得到所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可计算得到期望值.

【详解】（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在分的人数为；

竞赛成绩在的人数为，受奖励分数线在之间；

设受奖励分数线为，则，解得：，

受奖励分数线为．

（2）由（1）知：受奖励的人中，分数在分的人数为，则分数在分以下的人数为；

从受奖励的人中分层抽样选人在主会场服务，其中分数在分以下的有人，分数在的有人，

人中成绩在分以上（含分）的人数的可能取值为，

；；

；；

；

的分布列为：

数学期望为.

20．某企业为了了解年广告费x（单位：万元）对年销售额y（单位：万元）的影响，统计了近7年的年广告费和年销售额的数据，得到下面的表格：

由表中数据，可判定变量x，y的线性相关关系较强.

(1)建立y关于x的线性回归方程；

(2)已知该企业的年利润z与x，y的关系为，根据（1）的结果，年广告费x约为何值时（小数点后保留一位），年利润的预报值最大？

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；参考数据：，.

【答案】(1)

(2)9.2

【分析】（1）根据最小二乘法公式计算即可；

（2）结合（1）的结果，利用换元法求二次函数最值及取得最值时的自变量值即可.

【详解】（1）由表格数据，得，，.

由公式，得，，故y关于x的线性回归方程为.

（2）由（1）可得，.

设，则，

所以，

故当时，z取得最大值，此时，

即年广告费约为9.2万元时，年利润的预报值最大.

21．如图，已知椭圆的右焦点为，上顶点为，右顶点为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点P是椭圆C上异于的一点，且直线PA、PB分别与y轴和x轴交于点，求证：为定值．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据焦点和顶点坐标即可得，代入可得椭圆C的标准方程；

（2）设，利用三点共线斜率相等即可求得点得的坐标，进而可表示出的表达式，结合化简可得.

【详解】（1）由右焦点，上顶点可得，，

所以；

即椭圆C的标准方程为；

（2）易知，由点P是异于的一点，设，则；

设，

由三点共线得，即，可得

所以；

由三点共线得，即，得，

所以．

故．

因为点P在椭圆C上，所以，

代入即得为定值．

22．已知函数.

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)设是函数的两个极值点，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)先求导函数，再根据点斜式，即可求解.

(2) 先求导函数，根据韦达定理得两极值点的关系，带入到中化简，构造，求出最值，即可求证.

【详解】（1）当时，，，

所以，.

所以函数在点处的切线方程为，即.

（2）令，

即有两个不等正实根，

则解得.所以，.

故

，其中.

令，，，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故.

所以成立.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题。注意分类讨论与数形

结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.