2022-2023学年重庆市长寿区高二下学期期末数学试题（B卷）含答案

2022-2023学年重庆市长寿区高二下学期期末数学试题（B卷）

一、单选题

1．复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的乘法法，准确计算，即可求解.

【详解】由复数的运算法则，可得.

故选：D.

2．某射击运动员连续射击10次，命中环数如下表：

则这组数据的中位数和众数分别为（　　）

A．4，4 B．3.5，4 C．8.5，9 D．9，9

【答案】C

【分析】根据中位数和众数的定义求解.

【详解】由已知该运动员射中7环2次，8环3次，9环4次，10环1次，

射中9环的次数最多，所以命中环数的众数为，

将所有数据按从小到大排列可得，

所以命中环数的中位数为，

故选：C.

3．下列函数是偶函数的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性确定正确答案.

【详解】A选项，是奇函数，A选项错误.

B选项，是偶函数，B选项正确.

C选项，是非奇非偶函数，C选项错误.

D选项，是非奇非偶函数，D选项错误.

故选：B

4．某校为了了解同学们参加社会实践活动的意向，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取200人进行调查，已知该校高一年级学生有1300人，高二年级学生有1200人，高三年级学生有1500人，则抽取的学生中，高三年级有（    ）

A．50人 B．60人 C．65人 D．75人

【答案】D

【分析】根据分层抽样的定义求解即可.

【详解】由题可知，三个年级共有人，

抽样比例为，

则抽取的学生中，高三年级有人.

故选：D.

5．的内角的对边分别为，若，则（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】利用正弦定理以及大边对大角即可求解．

【详解】因为，

则由正弦定理可得：，

又，且，

所以或．

故选：．

6．对于任意实数，则“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据题意，由函数在上单调递增即可判断.

【详解】因为函数在上单调递增，当时，可得，故充分性满足；

当时，由在上单调递增，可得，故必要性满足；

所以“”是“”的充要条件.

故选：C

7．袋子中有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个，依次从中不放回的取球，若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是  （    ）

A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8

【答案】B

【分析】根据条件概型的知识求得正确答案.

【详解】依题意，在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是.

故选：B

8．在的展开式中，的系数为（    ）．

A． B．5 C． D．10

【答案】C

【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.

【详解】展开式的通项公式为：，

令可得：，则的系数为：.

故选：C.

【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

9．已知D是的边BC上的点，且，则向量（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的加减法以及数乘的运算，可得答案.

【详解】由题意作图如下：

由，则，

.

故选：C.

10．已知圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，则该圆台的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据上下底面半径及母线长求出圆台的高，再由圆台体积公式求解.

【详解】因为圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，

所以圆台的高，

所以，

故选：D

二、填空题

11．设集合，则           ．

【答案】

【分析】根据交集含义即可得到答案.

【详解】根据交集含义得，

故答案为：.

三、双空题

12．为了解性别因素是否对某班学生爱运动有影响，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如表的2×2列联表：

则m＝       ，n＝      ．

【答案】     18     24

【分析】完善列联表，即可得解；

【详解】依题意可得列联表如下：

故；

故答案为：；；

四、填空题

13．若函数（且），则函数恒过定点     ．

【答案】

【分析】根据对数函数的知识求得定点坐标.

【详解】由于，

所以函数恒过定点.

故选：

14．已知正实数满足，则的最小值等于        ．

【答案】

【分析】根据题意，由基本不等式即可得到结果.

【详解】因为，且，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值等于.

故答案为：

15．已知是定义域为的奇函数，当时，，则       ．

【答案】

【分析】由奇函数的性质可得，由此可求，再由，结合所给解析式求.

【详解】因为是定义域为的奇函数，

所以，

所以， ，

又当时，，

所以，，

所以,

故答案为：.

五、解答题

16．已知向量.

(1)若，求实数的值；

(2)若，求实数的值

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据向量平行的坐标表示列方程，解方程求即可；

（2）根据向量加法运算及模的坐标表示列出方程，解方程求即可.

【详解】（1）因为，

所以，

所以；

（2）由已知，

则，

解得：或.

17．已知函数.

(1)若函数在区间上是单调递增函数，求实数k的取值范围；

(2)若对一切实数都成立，求实数k的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用对称轴和区间的关系，列不等式，解不等式即可；

（2）利用判别式即可解决.

【详解】（1）因为函数在区间上是单调递增函数，且的对称轴为，

所以，解得.

（2）若对一切实数都成立，则，解得.

18．某校高中数学兴趣小组有名同学，其中名男生名女生，现从中选人去参加一项活动．

(1)求选出的人中，恰有名男生的概率；

(2)用表示选出的人中男生的个数，求的分布列．

【答案】(1)

(2)分布列见解析

【分析】（1）根据古典概型的概率公式结合组合知识和分步乘法原理，即可求解.

（2）先求出随机变量的取值，求出其对应的概率，最后列出表格写出分布列即可.

【详解】（1）选出的2人中恰有1名男生的概率是.

（2）的值可取，则

，， .

所以的分布列如下：

19．若函数

(1)求函数的最小正周期；

(2)若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，当时，求的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换得到，从而求出函数的最小正周期；

（2）先求出的解析式，从而利用整体法求解函数的值域.

【详解】（1），

则函数的周期为；

（2）函数的图象向右平移得：，

因为，所以，故，

当时，，当时，，

，故函数的值域为...

20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点．

(1)求证：EF∥平面PBC；

(2)求证：平面PBD⊥平面PAC．

(3)若，求二面角的平面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3).

【分析】（1）利用已知条件和中位线的性质得线线平行，利用线面平行判定定理即可证明线面平行；

（2）利用已知得出线面垂直，利用面面垂直判定定理即可证明面面垂直；

（3）建立空间直角坐标系，由两法向量所成角的余弦值即可得到二面角的余弦值.

【详解】（1）取PC的中点为G，连接FG，BG，

则因为F，G分别是PD，PC的中点，所以，且，

又因为点E是AB的中点，，，所以且，

所以且，即四边形BEFG是平行四边形，

所以平面PBC，平面PBC，

所以EF平面PBC.

（2）取AC与BD的交点为点O，连接PO，

因为PB=PD，点O是BD的中点，所以，

又因为四边形ABCD是菱形，所以，

由，，，平面，平面，

得平面.

又因为平面，所以平面PBD⊥平面PAC.

（3）因为 ，为的中点，所以

又由（2）知，

又，平面，平面，

所以平面，

以点O为原点，OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

因为，所以在等边中，，

在直角中，，所以，

设平面PAB的法向量为，

则，，，

由，得，

取，得.

设平面PBC的法向量为，

则，，，

由，得，

取，得，

所以，

由图可知二面角为钝二面角，

所以二面角的平面角的余弦值为.