2022-2023学年天津市第一中学四校高二上学期期末联考数学试题含答案

2022～2023学年度第一学期期末考试

高二数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．考试结束后，上交答题卡．

第Ⅰ卷（选择题，共45分）

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上．

1. 已知直线经过点，，该直线的倾斜角为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据两点表示直线斜率求出直线的斜率，再由斜率的定义即可得倾斜角.

【详解】因为直线过点，，

所以直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，则，

因为，所以，

故选：C.

2. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解.

【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标 ；

直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ，

由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ；

故选：B.

3. 在四面体中，，Q是的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解即可

【详解】因为，所以，

因为Q是的中点，所以，

因为M为PQ的中点，所以，

故选：D

4. 圆上的点到直线的最大距离是（    ）．

A. 36 B.  C. 18 D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出圆的圆心坐标及半径，利用点到直线的距离公式计算，判断直线与圆的位置关系，即可求解.

【详解】因为圆，即，

所以圆心坐标为，半径，

因为圆心到直线的距离，

所以直线与圆相离，

所以圆上的点到直线的最大距离为

.

故选：B.

5. 已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（    ）

A. 31 B.  C.  D. 63

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差数列的通项公式及等比数列的前项和公式即可求解.

【详解】∵成等差数列，

∴，

∴，即，解得 或 ，

又∵，∴，

∴，

故选：C.

6. 圆与圆的位置关系为（    ）．

A. 外切 B. 相交 C. 相离 D. 内切

【答案】A

【解析】

【分析】根据两圆的方程确定圆心坐标和半径，判断圆心距离和两圆半径的关系，即可知两圆的位置关系.

【详解】由题设，，，

∴，半径；，半径，

∴，则两圆外切.

故选：A.

7. 已知抛物线的焦点为F，双曲的离心率为，F到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据离心率公式，求渐近线方程，再根据点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】由条件可知双曲线的离心率，

所以，所以双曲线的渐近线方程为，

抛物线的焦点，焦点到渐近线的距离

，解得：，

所以抛物线的方程为.

故选：B

8. 已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（    ）．

A.  B. 1 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间向量数量积的坐标表示求出，利用同角三角函数的关系求出，结合计算即可求解.

【详解】空间内三点，，，

所以，，，，

由，所以，

所以点A到直线的距离.

故选：A

9. 已知椭圆，A、B为椭圆左右顶点，F为左焦点，点P为椭圆上一点，且轴，过点A的直线与线段交于M点，与y轴交于点，若直线交y轴于H点，H点为线段上靠近O点的三等分点，则椭圆的离心率方（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可知、，由相似三角形的性质可得、，列等式，解之即可求解.

【详解】由题意知，轴，在中，，

则，①；

在中，，

则，

所以，即②，

由①②，得，解得，

所以椭圆的离心率为.

故选：D.

第Ⅱ卷（非选择题，共105分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上．

10. 已知向量，，则向量__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据空间向量坐标运算即可求解.

【详解】向量，,

.

故答案为：.

11. 过点作圆的切线方程是__________．

【答案】

【解析】

【详解】因为点在圆上，所以切点为，切线斜率

所以由点斜式写方程得 即

故答案为

12. 当点P在圆上运动时，连接点P与定点，则线段的中点M的轨迹方程为__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据相关点法，利用中点坐标即可求解.

【详解】设,由中点坐标公式可得，由于在圆上运动，所以M的轨迹方程为，

故答案为：

13. 已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为__________．

【答案】2

【解析】

【分析】根据抛物线的定义，利用三点共线即可求解.

【详解】设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知,

所以,要使最小，只需要最小即可，

由于在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，故最小值为，

故答案为：2

14. 已知圆与双曲线的渐近线相切，且圆心到双曲线左顶点的距离为，则该双曲线的离心率是__________．

【答案】2

【解析】

【分析】由圆的标准方程确定圆心坐标和半径，根据点到直线的距离公式与直线与圆的位置关系可知圆心即双曲线的右焦点，得.由题意得，结合计算求出a，即可求解.

【详解】由，得圆心为，半径为，

设双曲线的一条渐近线方程为，

则双曲线的右焦点到渐近线的距离为，

又圆与该双曲线的渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离为半径，

所以圆心即双曲线的右焦点，即.

双曲线左顶点为，由题意得，

由，得，解得，

所以该双曲线的离心率是.

故答案为：2.

15. 已知数列的前n项和为，设，，，则=___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据与的关系，整理等式，利用累加法，可得答案.

【详解】由，即，代入，

可得，则，

时，根据累加法，

，

显然当时，，公式成立，

则.

故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. 已知圆经过两点，且圆心直线上.

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线l与圆相交于P、Q两点，若，求直线l的方程.

【答案】（1）   

（2） 或

【解析】

【分析】（1）根据条件运用两点距离公式求出圆心C的坐标和半径；

（2）先设l的直线方程，运用垂径定理求出C点到l的距离，再利用点到直线距离公式求解.

【小问1详解】

设 ，则C到A，B两点的距离相等，即 ，

解得 ，即 ，半径 ，

圆C的标准方程为： ；

【小问2详解】

圆C的大致图像如下：

，所以M点在圆内，由垂径定理知C点到l的距离为 ，

当直线l的斜率存在时直线方程为 ，即 ，由点到直线距离公式知： ，

解得 ；

当斜率不存在时， ，点C到 的距离也是 ，

所以直线l方程为 或 ；

综上，圆C的标准方程为：，直线l的方程为 或.

17. 若等差数列的前n项和为，数列是等比数列，并且 ，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前n项和；

（3）若，求数列的前n项和

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据条件列方程组求出 ；

（2）运用错位相减法求解；

（3）运用裂项相消法求解；

【小问1详解】

设 的公差为d， 的公比为q，

依题意有： ，

，解得 （舍）， ，

；

【小问2详解】

令 ， ，

…①，

…②，

①-②得：

，

；

【小问3详解】

，

.

18. 在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面，，，，E为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

（3）在线段上是否存在点P，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）；   

（3）不存在点P使直线PE与平面MBC所成角为.理由见解析.

【解析】

【分析】（1）设CM与BN交于F，连接EF，由题意可知四边形BCNM是平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证；

（2）根据题意可得，利用线面垂直的性质定理得到，建立如图空间直角坐标系D-xyz，利用空间向量法求解面面所成角即可；

（3）设，则，由（2）知平面MBC的法向量，利用空间向量法求解线面角，即可判断.

【小问1详解】

因为四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，

所以且，且，

则且，所以四边形BCNM是平行四边形，

设CM与BN交于F，则F是BN的中点．连接EF，又E是AB的中点，

所以，又平面MEC，平面MEC，

所以平面MEC．

【小问2详解】

连接DE，由四边形ABCD是菱形，，

所以为正三角形，又E是AB的中点，得，即，

因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，建立如图空间直角坐标系D-xyz，

则，，，，，

得，，，

设平面、平面MBC的一个法向量分别为、，

则，

令，得，令，得，

∴，，

得，

又平面与平面MBC的夹角为锐角，

∴平面与平面MBC所成角的余弦值为；

【小问3详解】

设，则，且，

由（2）知平面MBC的法向量为，

设直线PE与平面MBC的所成角为，则，

所以，

解得，不符合题意，

∴在线段AM上不存在点P，使直线PE与平面MBC的所成角为．

19. 已知椭圆的左焦点F与抛物线的焦点相同，且椭圆C的离心率为．

（1）求椭圆C方程；

（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M（点M在第二象限，此直线l与y轴的正半轴交于点N，直线与直线交于点P且，求直线l的斜率．

【答案】（1）；   

（2）.
 

【解析】

【分析】（1）根据抛物线方程确定其焦点坐标，可得椭圆中的c值，结合离心率和公式计算即可求解；

（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且，将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出，列出韦达定理，求出点、的坐标，进而求出点的坐标，由已知可得出，可求得，结合可求得的值.

【小问1详解】

抛物线的焦点为，

与椭圆的左焦点F相同，所以，即，

又椭圆的离心率为，即，所以，

则，

故椭圆的标准方程为：.

【小问2详解】

由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且，

联立，消去并整理，得，

，可得，

有，得，

则，则点，

因为点在第二象限，则，则，直线的方程为，

在直线的方程中，令可得，即点，易知点，

，则直线的方程为，

联立，得，即点，

因为，即，即，

可得，则，将代入，

得，则，

，解得.

20. 已知为数列的前n项和，且，数列前n项和为，且，．

（1）求和的通项公式；

（2）设，设数列的前n项和为，求；

（3）若数列满足：，证明：．

【答案】（1）；   

（2）；    （3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据与的关系即可得到，根据得到，结合等比数列的定义即可得到；

（2）根据得到，结合等差数列前n项求和公式计算即可；

（3）由（1）可得，利用作差法证明不等式，可得，结合等比数列前n项求和公式计算即可证明.

【小问1详解】

由，

当时，，

当时，，

检验时，，所以；

因为，（），

所以，即（），

而，故满足上式，

所以数列是以，公比等于的等比数列，即；

【小问2详解】

因为，

所以，

所以

；

【小问3详解】

由（1）知，则，

设，则，

所以，所以，

所以

，

即.