2022-2023学年河南省郑州市实验高级中学等十校联盟高二下学期5月联考数学试题含答案

2022－2023学年下期高二年级联盟月考试题

数学学科

郑州市实验高级中学

考试时间：120分钟 分值：150分

注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分。考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）。在试题卷上作答无效。

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．已知函数在处可导，若，则（    ）

A．1 B． C．2 D．8

2．已知等差数列的前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

3．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．2023年3月，某校A，B，C，D，E，F六名同学参加了中学生地球科学奥林匹克竞赛，均在比赛中取得优异成绩，现这6名同学和他们的主教练共7人站成一排合影留念，则主教练和A站在两端，B、C相邻，B、D不相邻的排法种数为（    ）

A．36 B．48 C．56 D．72

5．在易怒与患心脏病这两个变量的计算中，有以下结论：①当由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关时，那么在100个易怒的人中有90人患心脏病；②由的观测值得到有90%的把握认为易怒与患心脏病有关系，是指有10%的可能性使得推断出现错误；③由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关，是指在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为某人是否患心脏病与是否易怒有关，其中正确结论的个数是（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

6．设随机变量，，若，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

8．已知数列满足，，恒成立，则m的最小值为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，有错选得0分，部分选对得2分）

9．甲、乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩，乙地学生的成绩．下图分别是其正态分布的密度曲线，则（    ）

（附：若随机变量，则，，）

A．甲地数学的平均成绩比乙地的低 B．甲地数学成绩的离散程度比乙地的小

C． D．若，则

10．某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%．记“任取一个零件为第i台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件B，则（    ）

A． B． C． D．

11．如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ）

A．  B．

C．  D．存在正整数，使得为质数

12．下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题（每小题5分，共20分）

13．若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围为______．

14．已知数列的前n项和为，，，则______．

15．在我校运动会期间，为了各项赛事的顺利进行，学生会组织了5个志愿服务小组，前往3个比赛场地进行志愿服务．若每个场地至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个场地进行服务，并且甲小组不去比赛场地A，则不同的分配方法种数为______．

16．设函数在区间上有两个极值点，则a的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤）

17．（本小题10分）

已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为－1．

（1）求n和a的值；

（2）求的展开式中的常数项．

18．（本小题12分）

已知函数，其图象在点处的切线方程为．

（1）求a，b的值与函数的单调区间；

（2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围．

19．（本小题12分）

已知为等差数列，为等比数列，的前n项和，，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）记，求数列的前n项和．

20．（本题12分）

为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成．

（1）求小明至少正确完成其中3道题的概率；

（2）设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；

（3）现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由．

21．（本小题12分）

某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每批产品的非原料总成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：

根据以上数据，绘制如图所示的散点图．

观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合．

（1）根据散点图判断，与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为非原料总成本y关于生产该产品的数量x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y关于x的回归方程；

（3）已知每件产品的原料成本为10元，若该产品的总成本不得高于123470元，请估计最多能生产多少千件产品．

参考数据：

其中，．

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

22．（本小题12分）

已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若恒成立，求实数a的取值范围．

2022－2023学年下期高二年级联盟月考试题

数学学科（参考答案）

一：单选题1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．D 7．A 8．C

二：多选题9．AD 10．BCD 11．BC 12．BCD

三：填空题13． 14． 15．100 16．

四：解答题

17．【详解】（1）

∵由条件可得，

∴解得．

（2）．

∵展开式的通项为：

．

∴①当即时，；

②当即时，；

∴所求的常数项为．

18．详解】（1），

∴，

∵函数的图象在点处的切线方程为．

∴，，

解得，．

∴，

令，解得或；令，解得．

∴函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．

（2）由（1）可得：，．

令，则，，

所以当x变化时，，的变化情况如下：

由表格可知：当时，函数取得极大值，，又．

∴函数在上的最大值为8．

由，不等式恒成立，．

∴，

解得或．

∴c的取值范围是．

19．解：（1）设的公差为d，的公比为q，由已知可得，，

所以，则．

因为，由题意可得，解得，

所以．

（2）由（1）知，

则．①

．②

将①－②得：．

即

．

所以．

20解：（1）记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则

．

（2）X的可能取值为2，3，4

，

，

，

X的分布列为；

数学期望．

（3）由（1）知，小明进入决赛的概率为；

记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则；

因为，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛．

21．【详解】（1）根据散点图判断，适宜作为非原料总成本y关于生产该产品的数量x的回归方程类型．

（2）由，两边同时取常用对数得．

设，∴，

∵，，，

∴．

把代入，得，

∴，∴，

∴，

即y关于x的回归方程为．

（3）设生产了x千件该产品．则生产总成本为．

又在其定义域内单调递增，且，

故最多能生产12千件产品．

22．【详解】（1）解：的定义域为，，

当时，恒成立，所以在上单调递减；

当时，令解得，所以在上单调递增；

令解得，所以在上单调递减，

综上所述：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

（2）已知在恒成立，

化简得

法一：令，定义域为，

则，

①当时，恒成立，则单调递增，的值域为R，不符合题意；

②当时，，也不符合题意；

③当时，令，则恒成立，

所以在上单调递增．

当时，，又，

根据零点存在定理以及函数的单调性可知，有，即有唯一解，

有，此时；

当时，，又，

根据零点存在定理以及函数的单调性可知，有，即有唯一解，

有，此时．

综上所述，对，都有唯一解，有，此时．

又当时，，即，所以在上单调递减；

当时，，即，所以在上单调递增．

所以，

故只需．

令上式即转化为，设，则．

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减．

所以，当时，有最大值，

所以，

所以．

又，所以，所以．

由，解得．

综上所述．

法二：恒成立，

令，故在上单调递增，

所以，问题转化为在恒成立，

设，

当时，恒成立，在上单调递增，又，

所以时，，不符合题意；

当时，在上单调递减，上单调递增，

所以，当时，都有均不符合题意，

当时，，此时在恒成立，

综上所述：