山东省邹平市第一中学2023-2024学年高二上学期9月开学考试数学试卷（含答案）

山东省邹平市第一中学2023-2024学年度高二上学期9月开学考

数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在空间直角坐标系中，已知，则到的距离为（    ）

A．3 B． C． D．

2．如果实数，满足，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

3．已知抛物线x2＝16y的焦点为F，双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF1|的最小值为

A．5 B．7 C．9 D．11

4．若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为(    )

A． B． C． D．

5．已知抛物线，为的焦点，过焦点且倾斜角为的直线与交于，两点，则下面陈述不正确的为（    ）

A． B．

C． D．记原点为，则

6．如图所示,该曲线W是由4个圆:,,,的一部分所构成,则下列叙述错误的是（    ）

A．曲线W围成的封闭图形面积为

B．若圆与曲线W有4个交点,则或

C．与的公切线方程为

D．曲线上的点到直线的距离的最小值为

7．、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，过作的角平分线的垂线，垂足为，若则的长为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

8．已知双曲线的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若，则E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．在下列四个命题中，正确的是（    ）

A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0

B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为

C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大

10．已知方程，则（    ）

A．若此方程表示椭圆，则

B．若此方程表示双曲线，则或

C．若此方程表示焦点在y轴的双曲线，则

D．若此方程表示圆，则圆的半径为1

11．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（    ）

A．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条

B．设点，则的最大值为

C．点到直线的最小距离为

D．点到直线与点到轴距离之和的最小值为

12．已知正方体棱长为2，P为空间中一点，下列论述正确的是（    ）

A．若，则异面直线BP与所成角的余弦值为

B．若三棱锥的体积是定值

C．若，有且仅有一个点P，使得平面

D．若，则异面直线BP和所成角取值范围是

三、填空题

13．已知向量，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.

14．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为．

15．直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是.

16．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过左焦点的直线与双曲线的左支交于，两点，且，线段的中垂线恰好经过点，则双曲线的离心率是.

四、解答题

17．已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.

（1）证明：；

（2）求异面直线与夹角的余弦值.

18．已知直线，椭圆.

(1)证明：直线l与椭圆C恒有两个交点；

(2)已知点，若P是椭圆C上任意一点，求的取值范围.

19．已知椭圆的焦距为，短轴长为2，直线l过点且与椭圆C交于A、B两点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l的斜率为1，求弦的长；

(3)若过点的直线与椭圆C交于E、G两点，且Q是弦的中点，求直线的方程．

20．如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．

(1)求证：；

(2)求点到平面的距离；

(3)已知点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为45°，求出的值．

21．已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线C过点.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过点M的直线与双曲线C的左右支分别交于A、B两点，是否存在直线AB，使得成立，若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由.

22．在中，，点是椭圆在轴上方的顶点，的方程是，当在直线上运动时．

（1）求外接圆的圆心的轨迹的方程；

（2）过定点作互相垂直的直线、，分别交轨迹于、和、，求四边形面积的最小值．

山东省邹平市第一中学2023-2024学年度高二上学期9月开学考

数学参考答案：

1．D2．B3．C

4．D【详解】画家曲线得，画出图像如图：

当直线与半圆O相切时，直线与半圆O有一个公共点，此时，，所以，由图可知，此时，所以.

当直线如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时.

由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以.故选：D.

5．D【详解】解：由题意知，令直线，，，与抛物线联立方程，消去得，所以，，所以，则，故A正确；由，所以，当时，经检验亦成立，故B确；，故C正确；如图，作垂直于，则，当时，经检验亦成立，故D错误，故选：D.

6．D

【详解】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的相同的半圆构成,所以其面积为,故A正确;

当时,交点为B,D,F,H;当时,交点为A,C,E,G;当或时,没有交点;当时,交点个数为个,故B正确;

设与的公切线方程为,由直线和圆相切的条件可得,

解得,(舍去)，则其公切线方程为,即,故C正确;

同理可得,的公切线方程为,则两平行线距离为,故D错误.

7．C【详解】如图，延长交的延长线于点，

因为,所以,.

又，所以

由椭圆的定义得, ,

所以.故选：C

8．B【详解】双曲线的渐近线方程为,过与此渐近线垂直的直线方程为：,

联立求得,，①代入渐近线中，得到,,②，∵，∴,∴，整理得：, 结合，整理可得，即离心率.故选：B.

9．AB【详解】当时，其斜率，所以A正确；

根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以 B正确；

若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，且. ，故C不正确；

直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确；故选：AB.

10．BD

【详解】对于A：当方程表示椭圆时，，解得且，故A错误.

对于B：当方程表示双曲线时，，解得或，故B正确.

对于C：当方程表示焦点在y轴的双曲线时，，解得，故C错误.

对于D：当方程表示圆时，，解得，此时方程为，故D正确.故选：BD

11．BCD【详解】对于A选项，设过点的直线为，若直线方程为，此时直线与抛物线只有一个公共点，若直线的方程为，此时直线与抛物线只有一个公共点，

若直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，联立可得，

若直线与抛物线相切，则，解得，此时，直线的方程为，综上所述，过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有三条，A错；

对于B选项，如下图所示：

易知点，，

当且仅当点为射线与抛物线的交点时，等号成立，

故的最大值为，B对；

对于C选项，设点，其中，

则点到直线的距离为，

当且仅当时，等号成立，故点到直线的最小距离为，C对；

对于D选项，如下图所示：

抛物线的准线为，过点作，垂足为点，设交轴于点，

过点作直线的垂线，垂足为点，连接，

则，当与直线垂直时，取最小值，

且最小值为点到直线的距离，因此，，

故点到直线与点到轴距离之和的最小值为，D对.故选：BCD.

12．BD【详解】A：由，即为中点，连接，若分别是中点，

连接，则，

又且，即为平行四边形，所以，

所以异面直线BP与所成角，即为或其补角，而，，，故，故A错误；

B：由知：在（含端点）上移动，如下图示，

△面积恒定，到面的距离恒定，故的体积是定值，故B正确；

C：若分别是中点，由知：在（含端点）上移动，

由面，面，则面面，

由，面面，面，

所以面，面，则，同理可证：，

由，、面，故面，而面面，要使面，则必在面内，显然面，故C错误；

D：由知：在（含端点）上移动，

如图以为原点，分别为轴建系，

则，，，则，设，则，所以，令，

当，即时，，此时直线和所成角是；

当，即时，则，

当，即时，取最大值为，直线和所成角的最小值为，故D正确.

故选：BD

13．【详解】因为，所以，，

因为向量与的夹角为锐角，所以，解得，

而当时，，解得，所以实数的取值范围为.

14．或【详解】依题意设l的方程为．令，得；

令，得．因此解得或．

故所求方程为或．故答案为：或

15．【详解】解：由圆的方程得：圆心，半径，所以，圆心到直线的距离，因为直线与圆相交于两点，若，

所以，变形得：，即，解得：，

所以，的取值范围是．

16．/

【详解】设，则，，因为线段的中垂线恰好经过点，

所以，所以，所以，，，

因为，所以，因为，

所以，所以，

所以，

化简得，所以，所以离心率，故答案为：

17．【详解】设，，由题可知：两两之间的夹角均为，且，

（1）由所以即证.

（2）由，又所以，

又则

又异面直线夹角范围为所以异面直线夹角的余弦值为.

18．【详解】（1）整理可得，

由解得，所以直线l过定点.又，所以点在椭圆内部，

所以直线l与椭圆C恒有两个交点.

（2）设点P坐标为，则

所以

令，其对称轴为，且开口向上所以，当时，当时，

所以，所以，即所以的取值范围为

19．【详解】（1）依题意，椭圆C的半焦距，而，则，

所以椭圆C的方程为：.

（2）设，依题意，直线l的方程为：，由消去y并整理得：，解得，因此，，

所以弦的长是.

（3）显然，点在椭圆C内，设，因E、G在椭圆C上，

则，两式相减得：，

而Q是弦的中点，即且，则有，

于是得直线的斜率为，直线的方程：，即，

所以直线的方程是.

20．【详解】（1）∵，是AB的中点，∴，∵平面平面，平面平面，平面ABE，∴平面ABCD，平面ABCD，∴.

（2）由（1）知平面ABCD，平面ABCD，

∴，菱形ABCD中，，所以是正三角形，∴．

∴两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系M-xyz．

则，，，，，，，，设是平面ACE的一个法向量，

则，令，得，设点B到平面EAC的距离为d，则

，∴点B到平面EAC的距离为

（3）因为轴垂直平面,所以设平面的法向量为，，

设，，则，

∵直线AP与平面ABE所成的角为45°，，

由，解得，∴．

21．【详解】（1）依题意，，解得：，所以双曲线C的标准方程是.

（2）假定存在直线AB，使得成立，显然不垂直于y轴，否则，

设直线：，由消去x并整理得：，

因直线与双曲线C的左右支分别交于A、B两点，设，

于是得，则有，即或，

因此，，解得，

所以存在直线AB，使得成立，此时，直线AB的方程为：或.

22．【详解】（1）由椭圆，得点，∵直线的方程是，，在直线上运动，可设，，则的垂直平分线方程为，①

的垂直平分线方程为．②∵点是外接圆的圆心，

∴点的坐标满足方程①和②．由①和②联立消去，得．

故圆心的轨迹的方程为．

（2）由题意可知，直线和的斜率存在且不为零，

设的方程为，的方程为．

由，得．

∵直线与轨迹交于两点，

∴．

设，，则，．

∴＝．

同理，可得．

∴四边形面积．

当且仅当，即时，等号成立．

故四边形面积的最小值为72．