中考数学复习第四章三角形第15课时等腰三角形、等边三角形、直角三角形课件

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1. （广东真题）关于x的方程2（x-1）-a＝0的根是3，则a的值为（ ）A. 4B. -4C. 5D. -5
3. （广东真题）下列说法正确的是（ ）A. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B. 等腰三角形是轴对称图形，也是中心对称图形C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 有两边平行的四边形是梯形
①理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°. 探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形.
②理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. ③探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
④探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上. ⑤理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
人教：八上第十三章 轴对称（13.3等腰三角形）； 八下第十七章 勾股定理北师：八上第一章 勾股定理； 八下第一章 三角形的证明
1. 等腰三角形有___________相等的三角形是等腰三角形
例1. 如图4-15-3，AB=AC，AD=BD=DE=CE=AE，则图中共有______个等腰三角形，有______个等边三角形.
2. 等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两条腰________，两个底角_______，简称等边对等角. （2）等腰三角形顶角的_________、底边上的_______及底边上的高线互相重合，简称“三线合一”. （3）等腰三角形是轴对称图形，有_____条对称轴
例2. 如图4-15-4，在△ABC中，AB=AC，AD 是边 BC上的高，BC=8 cm，则 BD=_______cm.
3. 等腰三角形的判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形.（2）有两个______相等的三角形是等腰三角形，简称等角对等边
例3. 如图4-15-5，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，添加一个条件使△ABC 是等腰三角形：______________________（写一个即可）.
BD=CD（答案不唯一）
4. 等边三角形的性质（1）等边三角形的三条边___________，每个角都等于________. （2）等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴
例4. 如图4-15-6，△ABC 是等边三角形，边长为 2，AD⊥BC，则 ∠B=___________，∠BAD=___________，BD=_______，△ABC 的周长为________.
5. 等边三角形的判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形. （2）三个角都相等的三角形是等边三角形. （3）有一个角等于60°的____ _______是等边三角形. （4）有两个角等于_______的三角形是等边三角形
例5. 在△ABC中，如果AB=AC，_____________________（只添加一个条件），则△ABC 为等边三角形.
BC=AB（答案不唯一）
6. 直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角___________. （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________. （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于______________.
（4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于_________. （5）勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的__________
例6. 如图4-15-7，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD 平分 ∠ABC，P 是 BD 的中点. 若 AC=8，则 CP 的长为___________.
7. 直角三角形的判定（1）有一个角是_______的三角形是直角三角形. （2）有两个角________的三角形是直角三角形. （3）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. （4）如果三角形一边上的_________等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
例7. 如图4-15-8，已知点 P 是射线 ON 上一动点（即 P 可在射线 ON 上运动），∠AON=30°，当 ∠A=______________时，△AOP是直角三角形.
8. 角平分线（1）性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离___________. （2）判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离___________的点在这个角的平分线上
例8. 如图4-15-9，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD 是 ∠BAC 的平分线，DC=2，则点 D 到边 AB 的距离是________.
9. 线段的垂直平分线（1）线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线. （2）性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离___________. （3）判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的_______________上
例9. 如图4-15-10，在△ABC 中，边 AB 的中垂线分别交 BC，AB 于点 D，E，AE=3 cm，△ADC 的周长为 9 cm，则△ABC 的周长是______cm.
1. （2021·广东，勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3. 点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为___________.
2. （2020·广东，直角三角形斜边上的中线；点与圆的位置关系）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉. 把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图4-15-11.∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2. 在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为___________.
1. （2020·广东）如图4-15-13，在△ABC中，点D，E分别是边AB,AC上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．
∴BF=CF.··4分（利用全等三角形的对应边相等的性质得1分）∴∠FBC=∠FCB.·····5分（利用等边对等角得1分）∴∠FBC+∠ABE=∠FCB+∠ACD，即∠ABC=∠ACB.············6分（此步得1分）∴AB=AC.··········7分（利用等角对等边得1分）∴△ABC是等腰三角形．·8分（利用等腰三角形的判定得1分）
温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第18小题，分值一般为8分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！
【典型错例】等腰三角形性质的综合运用漏解
2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求该等腰三角形顶角的度数.
【变式考点】等腰三角形的性质与判定的灵活运用
3. （教材改编）如图4-15-15，D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E,F，且BE＝CF. 求证：（1）∠DBE＝∠DCF；（2）△ABC为等腰三角形.
【创新考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
4. （教材改编）在三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.如图4-15-16，在△ABC中，AB＝AC，且∠A＝36°. （1）尺规作图，作边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）请问△BDC是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由.
一、选择题1. （2022·宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）A. 8 cmB. 13 cmC. 8 cm或13 cmD. 11 cm或13 cm
2. （2022·贺州）如图4-15-17，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（ ）A. 34°B. 44°C. 124°D. 134°
3. （2022·绍兴）如图4-15-18，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
二、填空题6. （2022·岳阳）如图4-15-21，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若BC＝6，则CD＝_________.
7. （2022·滨州）如图4-15-22，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为___________.
8. （2022·黑龙江）如图4-15-23，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝_______.
三、解答题9. （2022·温州）如图4-15-24，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E. （1）求证：∠EBD＝∠EDB；（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由.
（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠EBD. ∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB. ∴∠EBD＝∠EDB. （2）解：CD＝ED.理由如下.∵AB＝AC，∴∠ABC=∠C. ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC. ∴∠ADE＝∠AED. ∴AD＝AE. ∴AC-AD=AB-AE，即CD＝BE. 由（1）知∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE. ∴CD＝ED.
10. （2022·杭州）如图4-15-25，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE. 已知∠A＝50°，∠ACE＝30°. （1）求证：CE＝CM；（2）若AB＝4，求线段FC的长.
（运算能力；几何直观；推理能力；创新意识）如图4-15-26，AB＝AC，D为BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，BH⊥AC.求证：DE+DF＝BH.