浙教版数学 八上 第一章《认识三角形》单元测试卷（困难）

浙教版数学八上第一单元《三角形的初步认识》单元测试卷

一．选择题（共30分）

1.下列各组数作为三条线段的长，使它们能构成三角形的一组是（    ）

A．2，3，5 B．9，10，15 C．6，7，14 D．4，4，8

答案．B

【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”逐项分析判断即可．

【详解】解：A. 因为，故不能构成三角形，该选项不符合题意；

B. 因为，能构成三角形，该选项符合题意；

C. 因为，故不能构成三角形，该选项不符合题意；

D. 因为，故不能构成三角形，该选项不符合题意．

故选：B．

2．下列命题中，真命题是（    ）

A．三角形的一个外角等于两个内角的和

B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等

C．两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等

D．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三角形的三个顶点的距离相等

答案 D

【分析】利用三角形的外角的性质、平行线的性质、全等三角形的判定及线段垂直平分线的性质逐一判断即可求解．

【详解】解：A、三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，则原命题是假命题，故A选项不符合题意；

B、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，则原命题是假命题，故B选项不符合题意；

C、两边分别相等且两边的夹角相等的两个三角形全等，则原命题是假命题，故C选项不符合题意；

D、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三角形的三个顶点的距离相等，则原命题是真命题，故D选项符合题意，

故选D．

3．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ）

A． B． C． D．

答案A

【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例．

【详解】解：当时，满足条件，但不能得出的结论，

能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是，

故选：A．

4.对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ）

A． B． C． D．

答案A

【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例．

【详解】解：当时，满足条件，但不能得出的结论，

能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是，

故选：A．

5.如图，在中，，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】 

解：，
，
与的角平分线交于，
，，
，
由题意得，
，
，
，
，
．
故选：．  

6.如图，四个图形中，线段是的高的图是（　　）

A．   B．  

C．   D．  

答案 C

【分析】利用三角形高的定义即可求解．

【详解】解：A、线段不是的高，不符合题意；

B、线段不是的高，不符合题意；

C、线段是的高，符合题意；

D、线段不是的高，不符合题意；

故选：C．

7.小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有，，三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞不考虑多个小球相撞的情况若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个型小球和一个型小球发生碰撞，会变成一个型小球现在模拟器中有型小球个，型小球个，型小球个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球以下说法：其中正确的说法是(    )
最后剩下的小球可能是型小球；
最后剩下的小球一定是型小球；
最后剩下的小球一定不是型小球．

A.  B.  C.  D.

【答案】 

【解析】解：假设个球中每两个球进行碰撞，则可以得到个球，个球中让其中个球每两个进行碰撞，则可以得到个球，加上原来的球，共个球，让这个球互相碰撞，重复进行直至剩下一个球，再和剩下的球碰撞，可以得到一个球，由此可知正确，错误．
事实上，无论怎么碰撞，球数量与球数量奇偶性总是不一样一奇一偶．
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶．
由此可知，与的数量不可能同时为，所以最后剩下的小球一定不是型小球，正确．
故选：．
 

8.如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ）

A． B． C． D．4

答案 B

【分析】证明得出，证明得出，进而即可求解．

【详解】解：如图，在上截取，连接

平分，平分，

，

，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

周长为，

，

，

，

．

故选B

9.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

答案】 

【解析】解：由题意可知，，，
，
，，
，
．
故选：．
 

A．1或3                 B．1或    

 C．1或或          D．1或或5

答案 C

【分析】分三种情况讨论，①当点P在AC上，点Q在CE上时，②当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，③当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，由全等三角形的判定和性质可求解．

【详解】解：当点P在AC上，点Q在CE上时，

∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，

∴PC＝CQ，

∴5−2t＝6−3t，

∴t＝1，

当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，

∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，

∴PC＝CQ，

∴5−2t＝3t−6，

∴t＝，

当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，

∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，

∴PC＝CQ，

∴2t−5＝18−3t，

∴t＝

综上所述：t的值为1或或或

故选：C．

二、填空题（共24分）

11.把命题“同角或等角的余角相等．”改写成“如果…，那么…”的形式     

答案 如果两个角是同一个角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等

【分析】找到命题的“题设”和“结论”即可．

【详解】解：命题“同角或等角的余角相等．”的题设为：两个角是同一个角或两个相等的角的余角

结论为：这两个角相等

故答案为：如果两个角是同一个角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等

12.如图，空调外机支架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有      ．

稳定性

【分析】本题考查形状对结构的影响，三角形结构具有较好的强度和稳定性．

【详解】三角形结构具有较好的稳定性．

故答案为：稳定性．

13．一张纸片，点、分别是、上的点，若沿直线折叠后，点落在边的下面的位置，如图所示，则，，之间的数量关系式是      ．

答案．

【分析】根据折叠的性质，得到，三角形的外角得到，平角的定义，得到，再根据三角形的内角和定理，得到，代换后即可得出结论．

【详解】解：如图：

∵折叠，

∴，

∵，，

∴，

∴；

故答案为：．

14.如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则          ．

答案 ．

【详解】和分别是的内角平分线和外角平分线，

，，

又，，

，

，

同理可得：，

，

则，

，

，

故答案为：．

15.已知，在中，分别以点，为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点，点，作直线交于点；再分别以点，为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点，点，作直线交于点若是等边三角形，则______．
 

【答案】 

【解答】
 

解：如图，由作法得垂直平分，垂直平分，
，，
，，
为等边三角形，
，
而，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
故答案为．

16.如图，点为的角平分线上一点，过任作一直线分别与的两边交于、，为的中点，过作的垂线交于点，，则______ ．

【答案】 

解：如图：过作于，于，则，

，

，

，，，

，

为中点，，

，

在和中，

，

≌，

，

．

故答案为．

二．解答题（共66分）

17.（6分）如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，，，．

(1)求证：；

(2)若，，求的度数．

答案 （1）证明：∵，

∴，即，

在和中，

，

∴；

（2）解：由得．

∵，，

∴，

18.（8分）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为个单位，小正方形的顶点叫格点．

(1)将向左平移格，再向上平移格，请在图中画出平移后的；

(2)利用网格在图中画出的高线；

(3)在平移过程中线段所扫过的面积为______ ；

(4)在图中能使的格点的个数有______ 个点异于．

答案．(1)见解析

(2)见解析

(3)

(4)

（1）解：如图，即为所求，

（2）解：延长，作垂直于，交的延长线于点，的高线如图，

（3）解：如图所示，

线段所扫过的面积：

．

故答案为：．

（4）解：过点作直线的平行线，此直线与格点的交点即为点，如图，共有个点．

故答案为：．

19.（8分）如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F．

（1）求证：．

（2）若，请直接写出的度数．

（3）过点A作于点H，求证：．

【思路点拨】

（1）根据SAS可证得；

（2）由，可得，故，即可得出的度数；

（3）连接AF，过点A作于点J．由可得：，，即可得出．可证得，得：，由，可得出，即可证得结论．

【解题过程】

（1）证明：∵．

∴．

在和中，

，

∴．

（2）∵，

∴，

∴．

∴，

∵，

∴．

故答案为：50°．

（3）证明：如图，连接AF，过点A作于点J．

∵，

∴，，

∵，．

∴，

∴．

在和中，

，

∴，

∴．

在和中，

∴，

∴，

∴．

20.（10分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”如，三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交射线于点．

的度数为____________，____________填“是”或“不是”智慧三角形；
若，求证：为“智慧三角形”；
当为“智慧三角形”时，求的度数．

【答案】解：，是．
证明：，，
．
为“智慧三角形”．
为“智慧三角形”，
当点在线段上时，
，
，，．
Ⅰ当时，，
；
Ⅱ当时，，
此种情况不存在；
Ⅲ当时，，
．
．
Ⅳ当时，
．
．
．
Ⅴ当时，，
；
Ⅵ当时，，
．
此种情况不存在．
当点在线段的延长线上时，
，
．
．
Ⅰ当时，，
．
；
Ⅱ当时，，
．
．
．
综上所述，当为“智慧三角形”时，的度数为或或或或或． 

21.（10分）已知中，，，点M为直线上任意一点，过点C作交于点D，在上取一点N使，连接

（1）如图，M、N在线段上，求证：；

（2）若M、N分别在、的延长线上时，试画出图形，并说明（1）中的结论是否成立？

【思路点拨】

（1）作，交的延长线于G，交于O．由已知易证，则可得，再证明，则问题解决；

（2）作，交的延长线于G，交于O．由已知易证，则可得，再证明，则问题解决．

【解题过程】

（1）证明：如图，作，交的延长线于G，交于O．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）解：（1）中的结论成立．

理由：如图，作，交的延长线于G，交于O．

∵，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

22.（12分）已知四边形中，，点E在边上，连接、，．

(1)如图1，若平分，求证：；

(2)如图2，若E为中点，求证：平分；

(3)如图3，在(2)条件下，以E为顶点作，的两边与、分别交于图F、H，，，，直接写出的长．

答案（1）解：证明：如图1，过点E作于G，

则，

∵，，

∴，

∴，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）证明：如图2，过点E作于M，

则，

∵，，

∴，

∴，

∵E为中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴平分；

（3）解：由（1）知，

由（2）知，平分，

∴，

即，

∴，

如图3，设与的交点记点N，

由（2）知，，

∵，

∴，

∴，，

∵，

∴，

同理可得，

∴，

由（2）知，，

∵，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

23.（12分）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:在中，，，求边上的中线的取值范围．

（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）:①延长到Q使得；

②再连接，把、、集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是___________．

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．

（2）请写出图1中与的位置关系并证明；

（3）思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．

【思路点拨】

（1）由题意可得及三角形三边关系，即可求解；

（2）通过证明，得出，即可得出结论；

（3）同（2）得，则，，进而判断出，进而判断出，得出，，即可得出结论．

【解题过程】

（1）解：由题意可得：

∵，

∴，

故答案为；

（2），理由如下：

延长到Q使，连接

∵是的中线

∴

在和中

∴

∴

∴

（3），，理由如下

在下图中，延长到Q使得，连接

由（2）知，

∴，

∵

∴

在中，

∴

∴

∵

∴

∴

在和中

∴

∴，

延长交于点

∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∵

∴

综上：，．