福建省华安县第一中学2024届高三上学期开学模拟数学试卷（附答案）

2024届华安一中开学模拟高三数学试卷

一、单选题（每题5分）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 复数的共轭复数的模是（    ）A.  B.  C.  D.

3. 已知圆截直线所得弦的长度为，则实数（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知是奇函数，且当时，.若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 若向量满足，，，则与夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若，则（    ）A.  B.  C.  D.

7. 是数列的前项和，则“数列为常数列”是“数列为等差数列”的

A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 如图，在棱长为1正方体中，M，N分别为的中点，P为正方体表面上的动点．下列叙述正确的是（    ）

A. 当点P在侧面上运动时，直线与平面所成角最大值为

B. 当点P为棱的中点时，CN∥平面

C. 当点P在棱上时，点P到平面的距离的最小值为

D. 当点时，满足平面的点P共有2个

二、多选题（每题5分，漏选得2分）

9. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ）

A. B. C.  D.

10. 已知函数，则下列结论正确的为（    ）

A. 的最小正周期为B. 的图象关于对称

C. 的最小值为D. 在区间上单调递增

11. 已知点､是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则（    ）

A. 与双曲线的实轴长相等B. 的面积为

C. 双曲线的离心率为D. 直线是双曲线的一条渐近线

12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（    ）．A 当时，B. 函数有五个零点

C. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是

D. 对，恒成立

三、填空题（每题5分）

13. 已知展开式中各项的二项式系数和是64，则展开式中的常数项为_________.

14. 若函数的值域为，且满足，则的解析式可以是_____.

15. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为____________．

16. 已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的恒成立，则整数的最小值是__________

四、解答题

17. 已知数列满足，．

（1）证明：为等差数列；（2）设，求数列的前n项和．

18. 如图，在四棱锥中，M为PD的中点，E为AM的中点，点F在线段PB上．

（1）取DM中点G，设平面EFG与直线PC交于点H，再从以下两个条件中选择一个作为已知，求；条件①：；条件②：∥平面ABCD．

（2）若平面底面ABCD，，，，，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

19. 设的内角的对边分别为，且.

（1）证明：；

（2）若，且面积为3，求的内切圆面积.

20. 2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中．

（1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？

（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望的取值范围．

21. 已知椭圆的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为F．

（1）求椭圆C的离心率和的面积；

（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线的垂线，垂足为G，判断是否存在常数t，使得直线经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

22. 已知函数．

（1）若曲线与直线相切，求实数a的值

（2）若函数有且只有1个零点，求a的取值范围．