初中数学北师大版九年级上册3 相似多边形同步达标检测题

第四章　图形的相似

3　相似多边形

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知识点1　相似多边形的有关概念

1.(2023广西桂平期中)下列图形中一定是相似图形的是(　　)

A.两个矩形　　　　      B.两个菱形

C.两个直角三角形　　　　D.两个等边三角形

2.在如图①所示的网格图中有一个四边形,请在图②中画出一个与它相似的四边形.

知识点2　相似多边形的性质

3.如图所示,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',求未知边的长度x和α的大小.

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4.(2023河北廊坊月考改编,14,★★☆)将边长为4的等边三角形,边长为4的正方形和长、宽分别为6、4的矩形按如图所示的方式向外扩张,各得到一个新图形,它们的对应边间距均为1,则新图形与原图形相似的有(　　)

A.0个　　　　B.1个　　

C.2个　　　　D.3个

5.(2022上海松江期末,17,★★☆)我们知道:四个角分别相等,四条边成比例的两个四边形是相似四边形.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=2,E、F分别是边AB、CD上的点,且EF∥BC,如果四边形AEFD∽四边形EBCF,那么的值是　　　　. 

6.(2021广东佛山禅城期末,16,★★☆)如图,一个矩形广场的长为90 m,宽为60 m,广场内有两横、两纵四条小路,且小路内外边缘所围成的两个矩形相似,如果两条横向小路的宽均为1.2 m,那么每条纵向小路的宽为　　　　m. 

7.(2023河南社旗期中,20,★★☆)将一张矩形纸片ABCD沿一组对边AD和BC的中点连线EF对折,对折后所得矩形恰好与原矩形相似.求原矩形纸片的长与宽之比.

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8.【抽象能力】【新独家原创】多边形的相似可以推广到圆,任意两个圆都相似.

(1)猜想:

半径为1的圆的面积S1=π,

半径为2的圆的面积S2=4π,

半径为3的圆的面积S3=9π,

……

可得,.

由此可以得出　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 

(2)问题:

如图,在大圆内画一个小圆,使得小圆的面积等于环形的面积,若大圆的半径为4,求小圆的半径.

9.【模型观念】(2022山西省实验中学月考)阅读下面的短文,并解答下列问题:

我们把相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体.如图,甲、乙是两个不同的正方体,正方体都是相似体,它们的一切对应线段之比都等于相似比(a∶b).

设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积,则,

又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积,则.

(1)下列几何体中,一定属于相似体的是 (　　)

A.两个球体　　　　B.两个锥体

C.两个圆柱体　　　　D.两个长方体

(2)请归纳出相似体的三条主要性质:

①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于　　　　　　; 

②相似体表面积的比等于　　　　　　　　　　　　　　　　　; 

③相似体体积的比等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 

(3)假定在完全正常发育的条件下,不同时期的同一人的人体是相似体,一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米,体重为16千克,到了初三时,身高为1.65米,则他的体重是　　　　　　千克(不考虑不同时期人体平均密度的变化). 

答案全解全析

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1.D　∵两个等边三角形的三角分别相等,三边成比例,∴两个等边三角形一定是相似图形,故选D.

2.解析　作图如下:(答案不唯一)

3.解析　∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',∴,∠D=∠D'=

129°,∴,∠C=360°-(63°+129°+78°)=90°,∴x=18,α=90°.

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4.C　如图1,∵AB∥A'B',AC∥A'C',BC∥B'C',

∴∠A=∠A'=60°,∠B=∠B'=60°,∴△A'B'C'为等边三角形,

易知两个等边三角形一定相似,∴△ABC∽△A'B'C';

如图2,由题意易得四边形A'B'C'D'为正方形,易知两个正方形一定相似,∴新图形与原图形相似;

如图3,∵AB=CD=4,AD=BC=6,∴A'B'=C'D'=4+2=6,A'D'=B'C'=6+2=8,则可得,∴新图形与原图形不相似.故选C.

 图1　　　 　　图2　　　 　　图3　

5.

解析　∵四边形AEFD∽四边形EBCF,∴,∵AD=1,BC=2,

∴,解得EF=(舍负),∵四边形AEFD∽四边形EBCF,∴.

6.1.8

解析　设每条纵向小路的宽为x m,∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似,∴,解得x=1.8或x=25.8(不合实际,舍去).故每条纵向小路的宽为1.8 m.

7.解析　如图:

由折叠得AE=DE=AD,

∵矩形ABCD和矩形AEFB相似,∴,

∴,∴AB2=AD2,∴AD2=2AB2,

∴=2,∴AD∶AB=∶1,

∴原矩形纸片的长与宽之比为∶1.

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8.解析　(1)两个圆的面积比等于两个圆半径比的平方.

(2)因为小圆的面积等于环形的面积,所以大圆的面积是小圆面积的2倍,即S大=2S小.

设小圆的半径为r,则,

∴,解得r=2(舍负).

所以小圆的半径为2.

9.解析　(1)A.

(2)①相似比.②相似比的平方.③相似比的立方.

(3)设他初三时的体重是x千克,由题意得

,解得x=54.

答:他初三时的体重是54千克.