2022-2023学年辽宁省抚顺市清原县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省抚顺市清原县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年月日起实施垃扱分类回收．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列事件中，是必然事件的是(    )

A. 射击运动员射击一次，命中靶心
B. 掷一次骰子，向上一面的点数是
C. 任意买一张电影票，座位号是的倍数
D. 从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球

3.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示的是由个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取一点，那么这个点取在阴影部分的概率是(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  某厂家今年一月份的口罩产量是万个，三月份的口罩产量是万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为则所列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是的直径，，在圆上，，的度数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转后得到，则下列四个图形中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，边与轴交于点，且，反比例函数的图象经过点，若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  若函数为常数的图象与轴只有一个交点，那么满足(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

10.  如图，在中，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动到点，动点同时从点出发，以的速度沿折线方向运动到点设的面积为，运动时间为，则下列图象能反映与之间关系的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  抛物线的顶点坐标是______．

12.  若，是一元二次方程的两个根，则的值是______ ；

13.  为做好疫情防控工作，某学校门口设置了，两条体温快速检测通道，该校同学王明和李强均从通道入校的概率是______ ．

14.  如图，一个宽为的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“”和“”单位：，那么该光盘的半径是______ ．

15.  如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点的对应点的坐标是______ ．

16.  如图，在▱中，点是坐标原点，点在轴上，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，若▱的面积是，则 ______ ．

17.  如图，扇形中，，，点为上一点，将扇形沿折叠，使点的对应点落在射线上，则图中阴影部分的面积为          ．

18.  如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点若，则下列结论中：
；
；
；
若为任意实数，则，正确的是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解方程：
；
．

20.  本小题分
图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
将绕原点逆时针旋转得，其中，，分别和，，对应，作出；
作出关于点成中心对称的；
请直接写出绕原点逆时针旋转的过程中点经过的路径长．

21.  本小题分
为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次调查的样本容量是______，圆心角______度；
补全条形统计图；
已知红星中学共有名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
若在这次竞赛中有，，，四人成绩均为满分，现从中抽取人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到，两人同时参赛的概率．

22.  本小题分
如图，直线交轴于点，点是轴正半轴上一点，且，以，为边作矩形，反比例函数的图象经过点，的延长线交直线于点．
求反比例函数的解析式；
若点在轴上，且，求点的坐标．

23.  本小题分
如图，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，．
求证：是的切线；
若，，求的半径长．

24.  本小题分
某商店购进了一种消毒用品，进价为每件元，在销售过程中发现，每天的销售量件与每件售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件；当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件．
求与之间的函数关系式．
若该商店销售这种消毒用品每天获得元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
设该商店销售这种消毒用品每天获利元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

25.  本小题分
在正方形中，过点作直线，点在直线上，连接，，其中，过点作于点，交直线于点．
当直线在如图的位置时，
请直接写出与之间的数量关系______；
请直接写出线段，，之间的数量关系______；
当直线在如图的位置时，请写出线段，，之间的数量关系并证明；
已知，在直线旋转过程中当时，请直接写出的长．

 

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
点在抛物线上，过作轴，交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标；
抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故A不符合题意；
B、掷一次骰子，向上一面的点数是，是随机事件，故B不符合题意；
C、任意买一张电影票，座位号是的倍数，是随机事件，故C不符合题意；
D、从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球，是必然事件，故D符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得，
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的，
即这个点取在阴影部分的概率是，
故选：．
根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．
本题主要考查几何概率的知识，熟练根据几何图形的面积得出概率是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为，
由题意得，．
故选：．
若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为，某厂家今年一月份的口罩产量是万个，则二月份的口罩产量是万个，三月份的口罩产量是万个，根据三月份的口罩产量是万个，列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出各月的产量是解题关键．

6.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
．
故选：．
由是的直径，可求得，又由圆周角定理可得，继而求得答案．
此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

7.【答案】 

【解析】解：选项是原图形的对称图形故不正确；
选项是绕点按顺时针方向旋转后得到，故B正确；
选项不是将绕点按顺时针方向旋转后得到的，故C不正确；
选项是按逆时针方向旋转，故D不正确；
故选：．
根据旋转性质判断即可．
本题主要考查旋转的性质，熟练掌握并应用旋转的性质是解题的关键，重点注意旋转的方向和角度．

8.【答案】 

【解析】解：设，如图，过点作轴的垂线与轴交于点，

则，，，
，，
又，
≌，
，
，
，
，
在的图象上，
，
故选：．
过点作轴的垂线与轴交于点，证明≌，推出，由此即可求得答案．
本题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是作辅助线构造≌．

9.【答案】 

【解析】解：函数为二次函数，，
，
，
函数为一次函数，
，
的值为或；
故选：．
由题意分两种情况：函数为二次函数，函数的图象与轴恰有一个交点，可得，从而解出值；函数为一次函数，此时，从而求解．
此题考查根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是根据题意弄清两点的运动路线，据此分类讨论并得出函数解析式．
作，分点在、上运动这两种情况，由直角三角形的性质表示出的长，利用三角形面积公式得出函数解析式即可判断．
【解答】
解：过点作于点，
如图，当点在上运动时，即，

由题意知、，
，
，
则；
如图，当点在上运动时，即，此时点与点重合，

由题意知、，
，
，
则；
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
根据抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是根据抛物线的顶点式可以写出顶点坐标．

12.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
．
利用一元二次方程根与系数关系求解即可．两根之和等于．
本题解答的方法较多，也可以把方程解出来，再计算两根的和．

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，画出列表如下：

由上表可知，总的可能情况是种，均从通道的情况只有一种，
即均从通道过的概率为：，
故答案为：．
采用列表法列举即可求解．
本题考查了采用列举法求解概率的知识，根据题意准确画出列表或者树状图是解答本题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：设圆心为，弦为，切点为如图所示：
则，．
连接，交于点．连接．
尺的对边平行，光盘与外边缘相切，，
，
，
设半径为，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即该光盘的半径是．
故答案为：．
先根据垂径定理构造出直角三角形，再根据勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了垂径定理、切线的性质以及勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，
的对应点为，
，即旋转角为，
点绕点逆时针旋转得到的点的坐标为，

故答案为：．
根据旋转的性质解答即可．
本题主要考查了旋转的性质，练掌握对应点与旋转中心的连线是旋转角和旋转角相等是解答本题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是平行四边形，
，
轴，
，，
，
，
平行四边形的面积是，
，
在第四象限，
，
故答案为：．
连接，根据反比例函数系数的几何意义得到，进而即可求得的值．
本题考查了反比例系数的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是是解答此题的关键．

17.【答案】 

【解析】【分析】
根据题意和图形，可以计算出的长，然后根据勾股定理可以求得的值，然后根据图形可知，阴影部分的面积扇形的面积的面积的二倍，代入数据计算即可．
本题考查翻折变换、扇形面积的计算，解答本题的关键是求出的值，利用数形结合的思想解答．
【解答】
解：连接，

，，
，
，
设，则，，
则，
解得，
阴影部分的面积是：，
故答案为：．

18.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，错误．
设抛物线对称轴与轴交点为，则，

，
，即点坐标为，
时，，
，正确．
抛物线对称轴为直线，
，
，
，
，
，正确．
时取最小值，
，即，正确．
故答案为：．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点可得，，的符号及与的关系，从而判断，由及对称轴可得点坐标，从而判断，由时取最小值可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．

19.【答案】解：，
，
，
，
，；
．
，
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用配方法求解比较简单；
利用因式分解法求解比较简单．
本题考查了解一元二次方程中的因式分解法和配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

20.【答案】解：如图所示，
；
如图所示；
，
点经过的路径长为，
． 

【解析】根据绕原点逆时针旋转，得到，，的对应点，，，即可求解；
中心对称，指的是绕中心点旋转后与原图形重合，由此即可求解；
绕原点逆时针旋转，根据旋转的性质可知点点到点经过的路径是扇形，即可求解．
本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握中心对称，旋转的性质是解题的关键．

21.【答案】   

【解析】解：本次调查的样本容量是：，
则圆心角，
故答案为：，；
成绩优秀的人数为：人，
补全条形统计图如下：

人，
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有种，
恰好抽到，两人同时参赛的概率为．
由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；
求出成绩优秀的人数，即可解决问题；
由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

22.【答案】解：当时，，
解得：，
，即，
，
，
矩形，
，
点在反比例函数的图象上，
，
．
当时，，
解得．
则点，
在中，，
或．
 

【解析】先求出点的坐标，再根据矩形的面积求出点的坐标，最后求出反比例函数的解析式；
根据点的坐标求出点的坐标，再求出的长度，最后再根据勾股定理求出的长度，从而求出点的坐标．
本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，以及勾股定理的运用，熟练掌握一次函数和反比例函数的图形和性质以及勾股定理是解答本题的关键．

23.【答案】证明：如图，作，垂足为点，连接，

，是的中点，
，
，
，
又，
，
即是的平分线，
点在上，与相切于点，
，且是的半径，
，是的半径，
是的切线；
解：如图，在中，，，，
，
，是的切线，
，

设的半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
，
．
的半径长为． 

【解析】作，垂足为点，连接，证明是的平分线，进而根据，，可得是的切线；
勾股定理得出，设的半径为，则，进而根据切线的性质，在中，勾股定理即可求解．
本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．

24.【答案】解：设每天的销售量件与每件售价元函数关系式为：，
由题意可知：，
解得：，
与之间的函数关系式为：；
，
解得：，舍去，
若该商店销售这种消毒用品每天获得元的利润，则每件消毒用品的售价为元；
，
，
，
，
，且为整数，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，最大值为．
答：每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据给定的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式；
根据每件的销售利润每天的销售量，解一元二次方程即可；
利用销售该消毒用品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系．

25.【答案】   

【解析】解：；理由：
四边形为正方形，
，．
，
．
，
．
故答案为：．
理由：
过点作于点，如图，

，，
，，
，
．
，
．
，
故答案为：．
证明：线段，，之间的数量关系为：理由：
过点作交于点，

则．
，
．
四边形为正方形，
，
，
，．
，
．
．
在和中，
，
≌．
，．
是等腰直角三角形．
．
，
．
或理由：
当直线在的上方时，
过点作，交的延长线于点，过点作于点，如图，

，，
，
．
，
．
．
．
．
，，
．
，，
∽．
．
．
，
为等边三角形．
，
．
，，
．
，
为等腰直角三角形．
．
；
当直线在的下方时，
过点作，交的延长线于点，过点作于点，如图，

，，
，
．
，
．
．
．
．
，，
．
，，
∽．
．
．
，
又，，
．
，，
．
，
为等腰直角三角形．
．
．
利用等腰三角形的三线合一的性质即可得出结论；
过点作于点，则为等腰直角三角形，利用等腰三角形的性质和线段和差的关系即可得出结论；
过点作交于点，则是等腰直角三角形，利用等腰三角形的性质和线段和差的关系即可得出结论；
分两种情况讨论解答：当直线在的上方时，当直线在的下方时；过点作，交的延长线于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系和勾股定理可求得，，，的长，利用相似三角形的性质可求得线段的长，通过说明为等腰直角三角形可求的长，则利用和即可表示出的长．
本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，图形的旋转，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，通过添加适当的辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．

26.【答案】解：将点，代入到中得：
，解得：，
抛物线的解析式为；

设点，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
，
轴，轴，
，
当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，解得或或或，
点的横坐标为或或或；

存在点，点的坐标为或 

【解析】见答案，
见答案，
当在下方时，如图，过作于，过作轴，交轴于，过作于，

，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
设，
，，
，解得，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式得，
解得或，
；
当在上方时，如图，过作于，过作轴，交轴于，过作于，

同理得
综上，存在，点的坐标为或
根据待定系数法，将点，点代入抛物线解析式，解关于，的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式；
设出点的坐标，确定出，由，列出方程求解即可；
过作于，过作轴，交轴于，过作于，证明≌，求出点的坐标，由待定系数法求出直线的解析式，联立直线和抛物线解析式即可得出点的坐标．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法确定出解析式是解本题的关键．