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    2024届高考数学一轮复习(新教材人教A版强基版)第二章函数2.11函数的零点与方程的解课件

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    2024届高考数学一轮复习(新教材人教A版强基版)第二章函数2.11函数的零点与方程的解课件

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    这是一份2024届高考数学一轮复习(新教材人教A版强基版)第二章函数2.11函数的零点与方程的解课件,共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识,探究核心题型,课时精练,fx=0,fafb0,fc=0,一分为二,∴至少需要操作4次,1+∞等内容,欢迎下载使用。


    1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理,并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.
    1.函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y=f(x),我们把使 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有 ⇔函数y=f(x)的图象与 有公共点.
    (3)函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有 ,那么,函数y=f(x)在区间 内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的解.2.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
    1.若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数,则f(x)至多有一个零点.2.连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
    判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(  )(2)连续函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0.(  )(3)函数y=f(x)为R上的单调函数,则f(x)有且仅有一个零点.(  )(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点.(  )
    1.观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是
    由图象可知,B,D选项中函数无零点,A,C选项中函数有零点,C选项中函数零点两侧函数值符号相同,A选项中函数零点两侧函数值符号相反,故A选项中函数零点可以用二分法求近似值,C选项不能用二分法求零点.
    2.函数y= -ln x的零点所在区间是A.(3,4) B.(2,3)C.(1,2) D.(0,1)
    当x=3时,y=1-ln 3<0,两函数值异号,
    3.函数f(x)=ex+3x的零点个数是A.0   B.1   C.2   D.3
    由f′(x)=ex+3>0,所以f(x)在R上单调递增,又f(-1)= -3<0,f(0)=1>0,因此函数f(x)有且只有一个零点.
    例1 (1)函数f(x)=ln x+2x-6的零点所在的区间是A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)
    函数零点所在区间的判定
    由题意得,f(x)=ln x+2x-6,在定义域内单调递增,f(2)=ln 2+4-6=ln 2-2<0,f(3)=ln 3+6-6=ln 3>0,则f(2)f(3)<0,∴零点在区间(2,3)上.
    延伸探究 用二分法求函数f(x)=ln x+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值,至少经过________次二分后精确度达到0.1A.2   B.3   C.4   D.5
    ∵开区间(2,3)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,
    (2)(2023·蚌埠模拟)已知x1+ =0,x2+lg2x2=0, -lg2x3=0,则A.x1设函数f(x)=x+2x,易知f(x)在R上单调递增,
    由函数零点存在定理可知,-1因为h(1)>h(x3),由函数单调性可知,x3>1,即-1确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
    跟踪训练1 (1)(多选)函数f(x)=ex-x-2在下列哪个区间内必有零点A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)
    f(0)=-1<0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,因为f(-2)·f(-1)<0,f(1)·f(2)<0,所以f(x)在(-2,-1)和(1,2)内存在零点.
    (2)若a函数y=f(x)是开口向上的二次函数,最多有两个零点,由于a0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0.所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点.
    例2 (1)若函数f(x)=|x|,则函数y=f(x)-  |x|的零点个数是A.5   B.4   C.3   D.2
    在同一平面直角坐标系中作出f(x)=|x|,g(x)= |x|的图象如图所示,则y=f(x)- |x|的零点个数,即f(x)与g(x)图象的交点个数,由图可知选D.
    (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(4+x)=f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2,则f(x)在区间(0,8)上零点的个数为A.2   B.3   C.4   D.5
    因为f(4+x)=f(x),所以函数的周期为4,当x∈[0,2]时,令f(x)=2x-2=0,得x=1,即f(1)=0,因为函数是偶函数且周期为4,所以有f(1)=f(-1)=f(3)=f(7)=f(-3)=f(5)=0,所以f(x)在区间(0,8)上零点的个数为4.
    求解函数零点个数的基本方法(1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个解,则f(x)有多少个零点;(2)定理法:利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
    跟踪训练2 (1)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)=则关于x的函数y=2f 2(x)-3f(x)+1的零点的个数为A.3   B.7   C.5   D.6
    根据题意,令2f 2(x)-3f(x)+1=0,
    作出f(x)的简图如图所示,
    故关于x的函数y=2f 2(x)-3f(x)+1的零点的个数为7.
    令36-x2≥0,解得-6≤x≤6,∴f(x)的定义域为[-6,6].令f(x)=0得36-x2=0或cs x=0,由36-x2=0得x=±6,
    故f(x)共有6个零点.
    设与y=4-x2相切的直线为l,
    因为y′=-2x,所以切线的斜率为k=-2x0,
    因为g(x)=kx-3k过定点(3,0),且在切线l上,
    因为函数f(x)与g(x)的图象有三个交点,
    命题点2 根据函数零点的范围求参数
    根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.
    跟踪训练3 (1)函数f(x)=2x- -a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是A.0令h′(x)>0,得0e,所以函数h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.
    因为函数g(x)=f(x)-a有3个零点,所以方程f(x)=a有3个解.作出函数y=f(x)和y=a的图象如图所示,
    1.(2022·焦作模拟)设函数f(x)=2x+ 的零点为x0,则x0所在的区间是A.(-4,-2) B.(-2,-1)C.(1,2) D.(2,4)
    2.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为A.(0,0.5),f(0.125) B.(0,0.5),f(0.375)C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),f(0.25)
    因为f(0)f(0.5)<0,由函数零点存在定理知,零点x0∈(0,0.5),
    当x≤0时,令f(x)=x2-2x-3=0,得x=-1(x=3舍去),当x>0时,令f(x)=0,得lg2x=3x-4,作出y=lg2x与y=3x-4的图象,如图所示,由图可知,y=lg2x与y=3x-4有两个交点,所以当x>0时,f(x)=0有两个零点,综上,f(x)有3个零点.
    所以函数f(x)在(1,3]上单调递增,
    5.已知函数f(x)=x2-2|x|-m的零点有两个,则实数m的取值范围为A.(-1,0) B.{-1}∪(0,+∞)C.[-1,0)∪(0,+∞) D.(0,1)
    在同一平面直角坐标系内作出函数y=x2-2|x|的图象和直线y=m,可知当m>0或m=-1时,直线y=m与函数y=x2-2|x|的图象有两个交点,即函数f(x)=x2-2|x|-m有两个零点.
    6.已知函数f(x)=x- (x>0),g(x)=x+ex,h(x)=x+ln x(x>0)的零点分别为x1,x2,x3,则A.x1可知x27.(多选)函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k的交点个数可能是A.1   B.2   C.4   D.6
    由题意知,f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π],
    在坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示.
    由其图象知,直线y=k与y=f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.
    8.(多选)(2023·南京模拟)在数学中,布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间,是构成一般不动点定理的基石,它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(),简单地讲,就是对于满足一定条件的连续函数f(x),存在一个点x0,使得f(x0)=x0,那么我们称该函数为“不动点”函数,下列函数是“不动点”函数的是A.f(x)=2x+x B.f(x)=x2-x-3C.f(x)= +1 D.f(x)=|lg2x|-1
    选项A,若f(x0)=x0,则 =0,该方程无解,故该函数不是“不动点”函数;
    解得x0=3或x0=-1,故该函数是“不动点”函数;
    选项C,若f(x0)=x0,则 +1=x0,
    选项D,若f(x0)=x0,则|lg2x0|-1=x0,即|lg2x0|=x0+1,作出y=|lg2x|与y=x+1的函数图象,如图,由图可知,方程|lg2x|=x+1有实数根x0,即存在x0,使|lg2x0|-1=x0,故该函数是“不动点”函数.
    9.已知指数函数为f(x)=4x,则函数y=f(x)-2x+1的零点为_____.
    由f(x)-2x+1=4x-2x+1=0,得2x(2x-2)=0,x=1.
    10.(2023·苏州质检)函数f(x)满足以下条件:①f(x)的定义域为R,其图象是一条连续不断的曲线;②∀x∈R,f(x)=f(-x);③当x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2时, >0;④f(x)恰有两个零点,请写出函数f(x)的一个解析式________________________.
    f(x)=x2-1 (答案不唯一)
    因为∀x∈R,f(x)=f(-x),所以f(x)是偶函数,
    所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(x)恰有两个零点,所以f(x)图象与x轴只有2个交点,所以函数f(x)的一个解析式可以为f(x)=x2-1(答案不唯一).
    方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,即f(x)=-x+a有且只有一个实根,
    即函数y=f(x)的图象与直线y=-x+a有且只有一个交点.如图,在同一直角坐标系中分别作出y=f(x)与y=-x+a的图象,其中a表示直线y=-x+a在y轴上的截距.
    由图可知,当a≤1时,直线y=-x+a与y=f(x)有两个交点,当a>1时,直线y=-x+a与y=f(x)只有一个交点.故实数a的取值范围是(1,+∞).
    y=f(x)-a有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,即方程f(x)=a有四个不同的解,即y=f(x)的图象与直线y=a有四个交点.
    在同一平面直角坐标系中分别作出y=f(x)与y=a的图象,如图所示,由二次函数的对称性可得,x3+x4=4.
    13.已知函数f(x)=|ex-1|+1,若函数g(x)=[f(x)]2+(a-2)f(x)-2a有三个零点,则实数a的取值范围是A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)
    令t=f(x),则函数g(t)=t2+(a-2)t-2a,由t2+(a-2)t-2a=0得,t=2或t=-a.
    作出函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,当t=2时,方程f(x)=|ex-1|+1=2有且仅有一个根,则方程f(x)=|ex-1|+1=-a必有两个不同的实数根,此时由图可知,1<-a<2,即-2所以f(x)的对称中心是(0,0),
    由图象知,两个函数图象有8个交点,即函数f(x)有8个零点,由对称性可知,零点之和为0.
    由题设知f(x)关于y轴对称,即f(x)为偶函数,又f(x-3)=f(x+1),则f(x)=f(x+4),即f(x)是周期为4的函数,若x∈[-2,0],则-x∈[0,2],
    又y=k(x+4),k>0过定点(-4,0),
    所以y=f(x)与y=k(x+4),k>0的部分图象如图所示,
    16.已知M={α|f(α)=0},N={β|g(β)=0},若存在α∈M,β∈N,使得|α-β|由题意可知f(2)=0,且f(x)在R上单调递减,所以函数f(x)只有一个零点2,由|2-β|<1,得1<β<3,所以函数g(x)=x2-aex在区间(1,3)上存在零点.

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