2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第八章直线和圆、圆锥曲线必刷小题16圆锥曲线课件

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故可得a＝10，b＝8，c＝6，则椭圆的长轴长2a＝20.
2.(2022·郑州模拟)已知椭圆C： 以C的上、下顶点和一个焦点为顶点的三角形的面积为48，则椭圆的长轴长为A.5 B.10 C.15 D.20
因为点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，
3.(2022·长春模拟)已知M为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则p等于A.3 B.4 C.5 D.6
4.(2023·河北衡水中学检测)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为 面积为12π，则椭圆C的方程为
解得a2＝16，b2＝9，
5.(2022·滁州模拟)已知椭圆 ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且在x轴的下方，若线段PF2的中点在以原点O为圆心，OF2为半径的圆上，则直线PF2的倾斜角为
设线段PF2的中点为M，连接PF1，MF1，如图所示，则F1F2为圆O的一条直径，则F1M⊥PF2，因为M为PF2的中点，则|PF1|＝|F1F2|＝2c＝2，则|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
6.(2023·石家庄模拟)已知，点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点M(3,4)，则|PM|＋|PN|的最小值是
由抛物线C：y2＝4x知，焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，由抛物线定义知|PN|＋|PM|＝|PQ|－1＋|PM|＝|PF|＋|PM|－1，当F，P，M三点共线时，|PM|＋|PN|取得最小值，
7.(2022·龙岩质检)在平面直角坐标系Oxy中，双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，且△OMF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为
如图所示，连接MF1.因为△OMF2为等边三角形，所以|OM|＝|MF2|＝|OF2|＝|OF1|＝c，所以∠F2MF1＝90°，在Rt△F2MF1中，∠F1F2M＝60°，
由双曲线的定义可得|MF1|－|MF2|＝2a，
8.(2023·济宁模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若 ，则线段BC的中点到准线的距离为A.3 B.4 C.5 D.6
由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，准线的方程为x＝－1，
由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图所示，作BE垂直准线于点E，准线交x轴于点N，则|BF|＝|BE|，
可得x1＋x2＝6，所以BC的中点的横坐标为3，则线段BC的中点到准线的距离为3＋1＝4.
所以直线AB的方程为y＝x－1，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
∴双曲线实轴长为2a＝8，
∴A，D正确，B，C错误.
由于P可能在C不同分支上，则有||PF1|－|PF2||＝8，
根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，
过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′(图略)，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.
所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，
设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时，等号成立，又|QF1|＋|QF2|＝4，
以AB为直径的圆过右焦点F，∴以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，设|AF|＝m，|BF|＝n，则|m－n|＝2a，
解得m＝2a，n＝4a或m＝4a，n＝2a，
∴渐近线方程为y＝±2x，C正确；不妨设k>0，且点B在第一象限，
三、填空题13.(2022·烟台模拟)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程_______________________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为
14.(2023·衡水中学模拟)若双曲线 ＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为_____.
15.(2023·海东模拟)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与 相关的代数问题可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)
16.(2022·临沂模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，Q(2,3)为C内的一点，M为C上的任意一点，且|MQ|＋|MF|的最小值为4，则p＝_____；若直线l过点Q，与抛物线C交于A，B两点，且Q为线段AB的中点，则△AOB的面积为______.
如图，过点M作MM1垂直准线于点M1，由抛物线定义可知|MF|＝|MM1|.所以|MQ|＋|MF|＝|MQ|＋|MM1|.过点Q作QQ1垂直准线于点Q1，交抛物线于点P，所以|MQ|＋|MM1|≥|PQ|＋|PQ1|，所以当M在P处时，|MQ|＋|MM1|＝|PQ|＋|PQ1|＝|QQ1|最小，
所以抛物线标准方程为x2＝4y.
即(x1＋x2)(x1－x2)＝4(y1－y2).因为Q(2,3)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝4，
所以直线AB的方程为y－3＝1×(x－2)，即y＝x＋1.
所以x1＋x2＝4，x1x2＝－4.