2023年江西省赣州市兴国县高考数学考前最后一卷（理科）（含解析）

2023年江西省赣州市兴国县高考数学考前最后一卷（理科）

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将函数图象上的所有点向左平移个单位长度纵坐标不变后得到函数的图象，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在南极，东南极冰盖被称为“沉睡的巨人”，是世界上最大的大陆冰川，包含了世界上大部分的冰年在英国自然杂志发表的一篇论文指出，若巴黎协定的控温目标未能达成，东南极冰盖会因气候变化影响而加速融化，到年，可能导致海平面上升到米无独有偶，年发表于科学杂志的新研究中，法国图卢兹空间地球物理学和海洋学研究实验室领衔的国际团队揭示了比之前预测的更大的冰川质量损失，全球温度升高与冰川质量损失之间存在线性相关关系，有如下数据：

根据数据，绘制如图所示的散点图，则下列说法正确的是(    )
冰川消融百分比与温度上升量存在正相关关系；
由表中数据用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过点；
记表中数据，，，，，的方差为，若控温措施有效，则冰川消融百分比将变为，且，那么，，，，，的方差将变为．

A.  B.  C.  D.

6.  已知实数，满足约束条件，若的最大值是，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知定义在上的奇函数，满足是偶函数，且当时，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知正项等比数列的前项和为，且满足，设，将数列中的整数项组成新的数列，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱，是的中点，是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面，则平面截直四棱柱所得截面图形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则的周长的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  已知过抛物线：的焦点的直线与该抛物线交于，两点点在第一象限，以为直径的圆与抛物线的准线相切于点若，则点到轴的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知向量，，且在方向上的投影是，则 ______ ．

14.  当时，函数取得极小值，则 ______ ．

15.  已知双曲线：，过双曲线的右焦点作直线交双曲线的渐近线于，两点，其中点在第一象限，点在第四象限，且满足，，则双曲线的离心率为______ ．

16.  如图，正三角形中，，分别为边，的中点，其中，把沿着翻折至的位置，得到四棱锥，则当四棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的球心到平面的距离为______ ．

 

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
设数列的前项和为，且，，，．
证明：数列为等比数列；
设，求数列的前项和．

18.  本小题分
如图，三棱柱的所有棱长都为，，C.
求证：平面平面；
若是棱的中点，求二面角的余弦值．

19.  本小题分
随着年中国诗词大会在央视持续热播，它将经典古诗词与新时代精神相结合，使古诗词绽放出新时代的光彩由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情，掀起了学习古诗词的热潮某省某校为了了解高二年级全部名学生学习古诗词的情况，举行了“古诗词”测试，现随机抽取名学生，对其测试成绩满分：分进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图，估计这名学生测试成绩的平均数单位：分；同一组中的数据用该组区间的中点值为代表
若该校高二学生“古诗词”的测试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定“古诗词”的测试成绩不低于分的为“优秀”，据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数；取整数
现该校为迎接该省的年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行了一场校内“诗词大会”该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：三个环节均参与，在前两个环节中获胜得分，第三个环节中获胜得分，输了不得分，若学生甲在三个环节中获胜的概率依次为，，，假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的记学生甲在这次“诗词大会”中的累计得分为随机变量，求的分布列和数学期望．
参考数据：若，则，，

20.  本小题分
已知椭圆：经过点，且与椭圆有共同的焦点．
求椭圆的标准方程；
设直线与椭圆交于，两点，与轴交于点，为坐标原点若，求点的坐标．

21.  本小题分
已知函数，．
若，讨论函数的单调性；
证明：当时，函数的图象在函数的图象的下方．

22.  本小题分
在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
设直线与曲线相交于，两点，弦的中点为，求的值．

23.  本小题分
已知函数．
画出的图象；
若函数的最小值为，，，满足，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，
或，
则．
故选：．
求出集合，，利用交集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】 

【解析】解：复数满足，
，
，
．
故选：．
利用复数的运算求解．
本题主要考查了复数的运算，属于基础题．

3.【答案】 

【解析】解：令，则展开式中各项系数之和为，解得，
所以的展开式的通项公式为，
令，则，
所以展开式中的系数为．
故选：．
先令，由各项系数和，求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求解即可．
本题考查二项式定理，熟练掌握二项式展开式的通项公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

4.【答案】 

【解析】解：，
函数图象上的所有点向左平移个单位长度纵坐标不变后得到函数，
，
，
故的最小值为．
故选：．
根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，以及平移变换的知识，即可求解．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．

5.【答案】 

【解析】解：由散点图可知，冰川消融百分比与温度上升量存在正相关关系，故正确；
由表中数据得，
．
由表中数据用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过点，故正确；
，，，，，的方差为，且，
则，，，，，的方差将变为，故错误．
正确的是．
故选：．
由散点图判断；由线性回归方程恒过样本点的中心判断；由方差公式的性质判断．
本题考查线性回归方程及方差公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．

6.【答案】 

【解析】解：因为的最大值是，
所以，，
联立，得，
联立，得，
画出，，
将代入，得不成立，所以表示不含的区域，
将代入，得成立，所以表示含的区域，
所以约束条件所确定的区域只能在轴的右侧，如图所示，故舍去，

所以过点时取最大值，
所以点在上，
所以，解得．
故选：．
由对数的单调性可得，求出直线与可行域的交点，从而可确定当过点时取最大值，把代入求解即可．
本题考查了简单的线性规划，难点是得出点在上，作出图象是关键，属于中档题．

7.【答案】 

【解析】解：已知定义在上的奇函数，所以，
且，又是偶函数，所以，即，
所以，由可得：，
所以，则，则函数的周期为，
当时，，则，所以，
所以．
故选：．
由奇函数，满足是偶函数，可得函数的周期为，分别求解，，，，从而可得的值．
本题考查抽象函数的运算，属于中档题．

8.【答案】 

【解析】解：已知正项等比数列的前项和为，且满足，
当时，，
则，
当时，，
即，
又，
则，
即等比数列的首项为，公比为，
则，
则，
又数列中的整数项组成新的数列，
则，
则．
故选：．
由等比数列的性质，结合等比数列前项和的求法求解即可．
本题考查了等比数列通项公式及等比数列前项和的求法，重点考查了运算能力，属中档题．

9.【答案】 

【解析】解：取的中点，在上取一点，使得，
连接，，，如图，

则，，，，
，平面，，平面，平面平面，
即过点平行于平面的平面截四棱柱的图形是三角形，
其中，，，，
，
，．
故选：．
根据四棱柱的几何性质以及面面平行的判定定理求解．
本题考查四棱柱的几何性质、面面平行的判定定理等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．

10.【答案】 

【解析】解：令，，
则，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，即，
所以，则；
因为，
所以，
所以，
所以，
故．
故选：．
令，，对其求导，结合导数分析函数的单调性，利用单调性即可比较，，的大小．
本题主要考查了导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，属于中档题．

11.【答案】 

【解析】解：，
由正弦定理得，
，
由于，
，
，
，，解得，
，则，，
函数的开口向上，对称轴为，
．
故选：．
将，表示为角的形式，结合三角恒等变换以及三角函数的值域等知识确定正确答案．
本题主要考查解三角形，考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．

12.【答案】 

【解析】解：已知过抛物线：的焦点，
则，
即，
即抛物线的方程为，
又，
则，
即，
又，
即，
即，
即直线倾斜角为，
则直线的方程为，
联立，
消可得，
则，，
即，
则点到轴的距离为，
则点到轴的距离为
．
故选：．
由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系求解即可．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．

13.【答案】 

【解析】解：向量，，则，
向量在向量方向上的投影为．
整理得，，舍．
故答案为：．
根据已知条件，先求出，再结合投影公式，即可求解．
本题主要考查投影公式，属于基础题．

14.【答案】 

【解析】解：，

结合题意得：
，
解得：，
经检验符合题意，
故．
故答案为：．
求出函数的导数，根据，，求出，的值即可．
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是基础题．

15.【答案】 

【解析】解：已知双曲线：，则双曲线的焦点为，渐近线方程为，
依题意可知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立可得，
同理可求得，
由于，所以，
，
解得，
此时，
由于，
所以，
又，
所以可化为，
两边除以得，
即，
又，
即．
故答案为：．
设出直线的方程并与双曲线的渐近线方程联立，求得，两点的坐标，根据与面积的关系，求得点的坐标，根据列方程，化简求得双曲线的离心率．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题．

16.【答案】 

【解析】解：由题意可知，当平面平面时，四棱锥的体积最大，如图，

取的中点，连接，则，
平面平面，平面，平面，
的外接圆的圆心位于且靠近点的三等分点处，
设的中点为，连接，，则，
设为四边形的外接圆的圆心，
过作平面的垂线，过作平面的垂线，
则两垂线的交点，即为四棱锥的外接球的球心，
连接，则四边形为矩形，，
连接，在中，，
设四棱锥的外接球的半径为，则，
连接，，
≌，，≌，，
连接，则，外接圆的圆心在上，令其半径为，
，，
在中，，
，，
解得，
设四棱锥外接球的球心到平面的距离为，
，，解得，
当四棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的球心到平面的距离为．
故答案为：．
由题意确定当平面平面时，四棱锥的体积最大，作出图形，依次确定的外接圆的圆心，四边形的外接圆的圆心，再确定四棱锥的外接球的球心，解外接球的半径，再求解外接圆半径，设四棱锥外接球的球心到平面的距离为，根据，能求出结果．
本题考查四棱锥的结构特征、二面角及其余弦值的求法、四棱锥的外接球等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

17.【答案】解：证明：由，
可得，
即，
因为，所以，
所以，
又，，可得，
所以是首项为，公比为的等比数列；
，
，
则前项和，
，
上面两式相减可得，
所以． 

【解析】由因式分解和等差数列的定义可得证明；
由等差数列的通项公式和求和公式，化简求得，再由数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等比数列的定义、通项公式和等比数列的求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．

18.【答案】解：证明：取中点，连接，，，

三棱柱的所有棱长都为，
则，
又为中点，所以，且，
又，而，是平面内的相交二直线，
所以平面，
因为平面，所以．
因为为中点，所以，三角形为等边三角形，所以．
由，可得，所以，
又，，平面，所以平面．
因为平面，平面平面；
由可知，，，
如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系．

则，，
由于平面，平面，即可作为平面的一个法向量．
设平面的法向量为，又，
所以，令，则，
所以，，
由图可知二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为． 

【解析】取中点，连接，，，利用线面垂直判定定理证明平面，可得，再由勾股定理逆定理可得，从而证明平面，根据面面垂直判定定理即可证明结论；
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算分别求平面与平面的法向量，即可求二面角的余弦值．
本题考查面面垂直的判定和二面角的求法，注意运用向量法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

19.【答案】解：易知这名学生测试成绩的平均数分；
由知，
所以测试成绩近似服从正态分布，
易知，
所以，
可得，
则该校高二年级学生中成绩为优秀的人数约为人；
易知的所有取值为，，，，，，
此时，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：

则． 

【解析】由题意，结合频率分布直方图所给信息以及平均数公式进行求解即可；
结合中所得信息，得到测试成绩近似服从正态分布，根据正态分布的对称性进行求解即可；
选得到的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力．

20.【答案】解：对于椭圆，，
则对于椭圆，也有，
由于椭圆过点，
故，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
依题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，则，
由，消去并化简得，
设，，
则，
，
由于，
所以，
整理得，
，
，，
整理得，则，
此时，对于，．

所以． 

【解析】根据已知条件求得，，从而求得椭圆的标准方程．
设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，由求得的坐标．
本题考查了求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系及韦达定理、数形结合思想，属于中档题．

21.【答案】解：，定义域为，
，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，若，即，则恒成立，所以在上单调递增；
若，即，令，则，，
所以当时，，即在和上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
综上所述，
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
证明：设，定义域为，
所以，
因为函数和均在定义域内单调递增，
所以在上单调递增，
故存在，使得，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
此时，即，，
而，所以等号取不到，即，
因为，，
所以，即，
故当时，函数的图象在函数的图象的下方． 

【解析】写出函数的定义域，并求导，分和两种情况，结合二次函数的图象与性质，判断的正负性，即可得的单调性；
设，求导后，根据基本初等函数的单调性，判断单调递增，进而知的单调性与最值，再证明，即可．
本题考查导数的综合应用，理解函数的单调性与导数的正负性之间的联系，将函数的恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．

22.【答案】解：直线经过点，倾斜角为故直线的参数方程为，为参数；
曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为．
把直线的参数方程，代入圆的方程，整理得，
故，，和为和对应的参数，
故，，
所以． 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

23.【答案】解：依题意，，
由此画出的图象，如图所示：

证明：由可知，当时，的取得最小值为，
所以，，
故，
由于，
，
，
所以，
即，
当且仅当时等号成立，
所以
，
即． 

【解析】将表示为分段函数的形式，进而画出的图象；
先求得，根据基本不等式即可证得．
本题考查将含绝对值的函数化为分段函数后研究其性质和基本不等式的应用，属于中档题．