广东省惠州市惠台学校2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题(无答案)

惠台学校2023-2024学年度第一学期九年级数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．在平面直角坐标系内，把点沿轴方向向右平移一个单位，则得到的对应点的坐标是（    ）

A．     B．     C．     D．

2．下列不等式中不一定成立的是（    ）

A．若，则     B．若，则

C．若，则       D．若，则

3．若分式中的的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（    ）

A．不变     B．是原来的3倍     C．是原来的6倍     D．是原来的9倍

4．已知一次函数，那么下列结论正确的是（    ）

A．的值随的值增大而增大     B．图象经过第一、二、三象限

C．图象必经过点            D．当时，

5．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为（    ）

A．     B．     C．     D．

6．为计算某样本数据的方差，列出如下算式，据此判断下列说法错误的是（    ）

A．样本容量是4        B．样本的平均数是4

C．样本的众数是3      D．样本的中位数是3

7．若能用完全平方公式因式分解，则的值为（    ）

A．     B．     C．或11     D．13或

8．关于的不等式组恰好有3个整数解，则满足（    ）

A．     B．     C．     D．

9．如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，当直线与有交点时，的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

10．如图，在中，是的中点，作，垂足在线段上，连接，则下列结论中一定成立的是（    ）

①；②；③；④．

A．①②③     B．①②④     C．①③     D．①②③④

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11．因式分解：________．

12．如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于的不等式的解是________．

13．如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积是________．

14．若关于的方程无解，则________．

15．如图，在矩形中，分别是边上的动点，是线段的中点，，为垂足，连接．若，则的最小值是________．

三、解答题（本大题共3小题，第16题共10分，第17、18题各7分，共24分）

16．（1）解方程：．

（2）计算．

17．先化简，再求值：，其中．

18．如图，已知中，，

（1）用直尺和圆规在边上找一点，便得点到点、点的距离相等．（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）若，求证：．

四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

19．某超市计划购进甲、乙两种商品进行销售．经了解，甲种商品的进价比乙种商品的进价高50%，超市用1500元购进甲种商品比用2000元购进乙种商品的重量少50千克，已知超市对甲，乙两种商品的售价分别为45元/千克和30元/千克．

（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少？

（2）若超市购进这两种商品共450千克，其中甲种商品的重量不高于乙种商品重量的2倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

20．如图，直线与轴、轴分别相交于点．与直线相交于点．

（1）求点坐标；

（2）如果在轴上存在一点，使是以为底边的等腰三角形，求点坐标；

（3）在直线上是否存在点，使的面积等于6？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

21．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做非凡三角形．例如：某三角形三边长分别是和3，因为，所以这个三角形是非凡三角形．

（1）若非凡三角形，且，则________．

（2）如图，在平行四边形中，于点，且是非凡三角形，求的值．

五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

22．【方法回顾】连接三角形任意两边中点的线段叫三角形的中位线，探索三角形中位线的性质，方法如下：如图1，分别是中点，延长到，使，连接；

     图1                               图2                        图3

（1）证明，再证四边形是平行四边形，从而得到线段与的位置关系和数量关系分别为________、________．

（2）【初步运用】如图2，正方形中，为边中点，分别在边上，且，求长．

（3）【拓展延伸】如图3，四边形中，为中点，分别为边上的点，若，求长．

23．已知，如图①，在中，，点为上的一动点，连接，过点作于点，以为腰作等腰直角，连接．

          图①                   图②                      备用图

（1）求证：四边形为正方形；

（2）如图②，当三点共线时，求的值；

（3）求的最小值．