陕西省榆林市第十中学2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题

榆林十中第2022-2023学年度第二学期期中考试

高二年级理科数学试题

考试时间：120分钟；命题：高二数学组

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，每小题5分）

1．若复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．用反证法证明命题“设为实数，若是无理数，则至少有一个是无理数”时，假设正确的是（    ）

A．假设不都是无理数 B．假设至少有一个是有理数

C．假设都是有理数 D．假设至少有一个不是无理数

3．在直角坐标系中，点．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可以为（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

5．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为（    ）

 三角锥垛正视  三角锥垛俯视

（参考公式：）

A．1450 B．1490 C．1540 D．1580

6．设随机变量，若，则（    ）

A． B． C． D．

7．用数学归纳法证明：，当时，左端应在的基础上加上（    ）

A．  B．

C． D．

8．函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

9．2023年贺岁档共有七部电影，根据猫眼专业版数据显示，截止到2023年1月29日13时，2023年度大盘票房（含预售）突破了90亿元大关．其中历史题材的轻喜剧《满江红》位列第一，总票房已经达到了30亿+，科幻题材的《流浪地球2》也拥有近25亿元的票房，现有编号为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲、乙两个人，每人至少分得一张，那么不同分法种数为（    ）

A．10 B．14 C．16 D．12

10．曲线与直线及轴所围成的图形的面积为（    ）

A． B． C．1 D．

11．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2．将这个小正方体抛掷2次，则向上的两个数字之积是0的概率为（    ）

A． B． C． D．

12．若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（    ）

A．4 B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13．某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是______．

14．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用表示这6人中“三好学生”的人数，则当取______时，对应的概率为．

15．马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如表

请小牛同学计算的数学期望，尽管“!”处无法完全看清，且两个“?”处字迹模糊，但能肯定这两个“?”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案______．

16．已知函数．

①在上单调递减，在上单调递增；

②在上仅有一个零点；

③若关于的方程有两个实数解，则；

④在上有最大值，无最小值．

上述说法正确的是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（本小题满分10分）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为512．

（1）求的值：

（2）求展开式中的常数项．

18．（本小题满分12分．已知函数在处有极值36．

（1）求实数的值；

（2）当时，求的单调递增区间．

19．（本小题满分12分）新个体经济是中国经济社会数字化转型条件下出现的新生事物，指微商电商，网络直播、职业创作者等，下表是2021年1至4月份某市新增“微商电商”的统计数据：

（1）请利用所给数据求新增微商电商个数与月份之间的线性回归方程，并预测该市2021年5月新增“微商电商”的个数（结果用四舍五入法保留整数）；

（2）一般认为当时，线性回归方程的拟合效果非常好；当时，线性回归方程的拟合效果良好．试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好?说明你的理由．

，，，，，．

20．（本小题满分12分）一盒子中有8个大小完全相同的小球，其中3个红球，4个白球，1个黑球．

（1）若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率；

（2）若从盒中有放回的取球3次，求取出的3个球中白球个数的分布列和数学期望．

21．（本小题满分12分）在科学、文化、艺术、经济等领域，出现过大量举世瞩目的“左撒子”天才，如：相对论提出者爱因斯坦，万有引力定律的发现者牛顿，镭的发现者居里夫人，诺贝尔奖获得者杨振宁，著有《变形记》的小说家弗兰兹卡夫卡，乒乓球女将王楠等．正因为如此多的“左撇子”在不同领域取得了卓越的成就，所以越来越多的人认为“左粒子”会更聪明，这是真的吗?某学校数学社成员为了了解真相，决定展开调查．他们从学生中随机选取100位同学，统计他们惯用左手还是惯用右手，并通过测验获取了他们的智力商数，将智力商数不低于120视为高智商人群，统计情况如下表．

（1）能否有的把握认为智力商数与是否惯用左手有关?

（2）从智力商数不低于120分的这20名学生中，按惯用左手和惯用右手采用分层抽样，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人代表学校参加区里的素养大赛，求这2人中至少有一人是惯用左手的概率．

参考公式：，其中．

22．（本小题满分12分）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．

参考答案

1．A

【分析】利用复数的除法化简复数，再由共轭复数的定义求其共轭复数，利用复数的几何意义判断复数的对应点的坐标及所在象限位置．

【详解】由已知可得，

所以复数的共轭复数，

所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，该点在第一象限．

故选：A．

2．C

【分析】反证法中“至少有一个是无理数”的假设为“假设都不是无理数”，对照选项即可得到答案．

【详解】依题意，反证法中“至少有一个是无理数”的假设为“假设都不是无理数”，即“假设都是有理数”．

故选：C．

3．B

【分析】根据及点位于第三象限计算可得．

【详解】点位于第三象限，又，

所以，所以，即点的极坐标可以为．

故选：B

4．A

【分析】利用导数的几何意义求切线方程．

【详解】，

所以曲线在点处的切线方程为，

即．

故选：A

5．C

【分析】根据已知条件及合情推理中的归纳推理，利用参考公式及等差数列前项和公式即可求解．

【详解】因为“三角形数”可以写为

所以第层“三角形数”为，

所以层时，垛球的总个数为：

，

所以若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为．

故选：C．

6．D

【分析】根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于的方程，解出的值，再根据，由二项分布的方差公式求得到结果．

【详解】随机变量，解得，∴，则．

故选：D．

7．C

【分析】分别确定和时等式左端的式子，由此可得结果．

【详解】解：当时，等式左端为，

当时，等式左端为，

两式比较可知，增加的项为．

故选：C．

8．B

【分析】依题意可得在区间上恒成立，解出即可．

【详解】，函数在区间上单调递减，

∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立，

而在区间上单调递减，的取值范围是，

故选：B．

9．B

【分析】根据题目要求分“甲3张乙1张”，“甲2张乙2张”，“甲1张乙3张”三类，分别计算出每类的种数再由分类加法计数原理即可求解．

【详解】符合题目要求的分类方法共：“甲3张乙1张”，“甲2张乙2张”，“甲1张乙3张”，三类

①“甲3张乙1张”的基本事件为：甲123乙4；甲124乙3，甲134乙2，甲234乙1，共4种；

②“甲2张乙2张”的基本事件为：甲12乙34；甲13乙24，甲14乙23，甲23乙14，甲24乙13，甲34乙12，共6种；

③“甲1张乙3张”的基本事件为：乙123甲4；乙124甲3，乙134甲2，乙234甲1，共4种；

所以不同分法总数为：种．

故选：B．

10．B

【分析】利用定积分求得正确答案．

【详解】由解得，

所以曲线与直线及轴所围成的图形的面积为：．

故选：B

11．D

【详解】满足题意时，两次向上的数字至少有一个为零，两次数字均不为零的概率为：，

则满足题意的概率值：．

本题选择D选项．

12．D

【分析】根据给定的不等式，变形并分离参数，构造函数，利用导数探讨单调性求出最大值作答．

【详解】，不等式，

令，求导得，

当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，

，

即，依题意，，

所以实数的最大值为．

故选：D

13．120

【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性得，乘以总人数即可得出答案．

【详解】由，得正态分布曲线的对称轴为，

因为，所以，

则数学成绩为优秀的人数是，

故答案为：120．

14．2或3

【分析】根据超几何分布以及组合数的性质即可求出结果．

【详解】由题意可知，服从超几何分布，

日，所以，

所以或3；

故答案为：2或3．

15．2

【详解】试题分析：令?的数字是，则!的数值是，所以

考点：数学期望

点评：数学期望就是平均值，要得到随机变量的数学期望，则需先写出分布列．

16．②④

【分析】求出函数的导数，根据导数研究函数的单调性和极值，即可根据选项逐一求解．

【详解】函数的导数，令得，，由得，由得，故在上单调递增，在上单调递减，故①错误，

由①知当时，函数取得极大值，

当时，恒成立，当时，恒成立，

即在上仅有一个零点，故②正确，

由②知若关于的方程有两个实数解，则，故③错误，

由①②知在上有最大值，无最小值，故④正确，

故答案为：②④

17．（1）

（2）672

【分析】（1）根据二项式系数和求得．

（2）结合二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项．

【详解】（1）因为的展开式中所有项的二项式系数之和为512，

所以，解得．

（2）由通项公式，

令，可得，

所以展开式中的常数项为．

18．（1）或

（2）

【分析】（1）求导，利用及，列出方程组，求出，检验后得到答案；

（2）在（1）的基础上，由导函数大于0，解不等式，求出单调递增区间．

【详解】（1）由题意知．

或，

经检验都符合题意．

（2）当时，由（1）得，

∴，

由，即，

解得或，

∴函数的单调递增区间为．

19．（1）；

（2）非常好，理由见解析．

【分析】（1）根据已知条件，先结算出、的平均值，根据求出，根据求出的值，即可求得回归直线方程，将代入到该方程中，即可预测该市2021年5月新增“微商电商”的个数．

（2）由已知条件，根据求出即可判断．

（1）由表中数据可得，

，

，

则，

故所求回归直线方程为，

令，则．

∴该市2021年5月新增“微商电商”的个数约为158；

（2）

故线性回归方程的拟合效果非常好．

20．（1）；

（2）分布列见解析，数学期望为．

【分析】（1）设事件“第一次取到红球”，事件“第二次取到红球”，求出，再根据条件概率的概率公式计算可得；

（2）依题意服从二项分布，的可能取值为0、1、2、3，求出所对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可．

【详解】（1）设事件“第一次取到红球”，事件“第二次取到红球”，由于是不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，所以第一次取球有8种方法，第二次取球是7种方法，一共的基本事件数是56，

由于第一次取到红球有3种方法，第二次取球是7种方法，∴，

一次取到红球有3种方法，第二次取到红球有2种方法，∴，

∴；

（2）由题可知白球个数，且有，，

故的分布列为：

所以的数学期望为：．

21．（1）有的把握认为智力商数与惯用左手有关

（2）

【分析】（1）根据列联表作卡方计算；

（2）按照分层抽样的规则抽取5人，再按照古典概型计算．

【详解】（1）根据列联表代入计算可得：

，

有的把握认为智力商数与惯用左手有关；

（2）由题意可知，抽取比例为，所以抽取的5名学生中惯用右手的有人，记为，

惯用左手的有人，设为甲，

从这5人中随机抽取2人的所有基本事件有，，，，，，，，，，共10个，

其中至少有一人惯用左手的基本事件有，，，，共4个．

故至少有一人惯用左手的概率；

综上，有的把握认为智力商数与惯用左手有关；至少有一人惯用左手的概率为．

22．（1）答案见解析

（2）

【分析】（1）求导，分情况讨论函数单调性；

（2）分离参数，构造函数，根据导数求最值，进而确定参数范围．

【详解】（1），

当时，恒成立，函数在上单调递增；

当时，令，解得，

令，得；令，得；

所以函数在上单调递减，在上单调递增；

综上所述，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增；

（2）当时，恒成立，即在上恒成立，

令，

∴在上恒成立，

即函数在上单调递减，

所以，

所以．