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甘肃省兰州市第五十五中学2023-2024学年七年级上学期开学数学试卷（含答案）
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这是一份甘肃省兰州市第五十五中学2023-2024学年七年级上学期开学数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
甘肃省兰州五十五中2023-2024学年七年级上学期开学数学试卷（解析版）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列图形中，轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣2a2＝1 B．（﹣a2b3）2＝a4b6
C．（﹣a2）3＝﹣a5 D．a2•a3＝a6
4．（4分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，与AB，CD分别交于点E，F，下列描述，其中，正确的是（ ）
①∠1和∠2互为同位角
②∠3和∠4互为内错角
③∠1＝∠4
④∠4+∠5＝180°
A．①③ B．②④ C．②③ D．③④
5．（4分）如图，直线l1∥l2，AB＝BC，CD⊥AB于点D，若∠DCA＝20°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
6．（4分）如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家．其中x表示时间，y表示小徐离他家的距离．读图可知菜地离小徐家的距离为（ ）
A．1.1千米 B．2千米 C．15千米 D．37千米
7．（4分）如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（ ）
A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN
8．（4分）下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x2﹣2y）（2x+y2） B．（a2+b2）（b2﹣a2）
C．（2x2y+1）2x2y﹣1） D．（a3+b3）（a3﹣b3）
9．（4分）一个蓄水池有15m3的水，以每分钟0.5m3的速度向池中注水，蓄水池中的水量Q（m3）与注水时间t（分）间的函数表达式为（ ）
A．Q＝0.5t B．Q＝15t C．Q＝15+0.5t D．Q＝15﹣0.5t
10．（4分）“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”．莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”．如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是边BC上的一点．下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是（ ）
A．∠ADB＝∠ADC B．BD＝CD
C．BC＝2AD D．S△ABD＝S△ACD
二.填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若5x﹣3y﹣6＝0，则105x÷103y＝
12．（4分）在一个暗盒中放有若干个红色球和3个黑色球（这些球除颜色外，无其它区别），从中随即取出1个球是红球的概率是．若在暗盒中增加1个黑球，则从中随即取出一个球是红球的概率是 ．
13．（4分）自从扫描隧道显微镜发明以后，世界上便诞生了一门新兴的学科，这就是“纳米技术”，已知1纳米＝0.000000001米，则2.25纳米用科学记数法表示为 米（结果保留两位有效数字）．
14．（4分）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝ ．
15．（4分）某地海拔高度h与温度T的关系可用T＝21﹣6h来表示（其中温度单位为℃，海拔高度单位为km），则该地区某海拔高度为2000m的山顶上的温度为 ．
16．（4分）对于任意的代数式a，b，c，d，我们规定一种新运算：＝ad﹣bc．根据这一规定，计算＝ ．
三、解答题（共5道大题，共36分）
17．（8分）计算：
（1）（﹣3ab2）3÷（）•（﹣2ab3c）；
（2）（2a3b2﹣4a4b3+6a5b4）÷（﹣2a3b2）．
18．（6分）利用乘法公式计算：
（1）102×98；
（2）20022．
19．（6分）按要求完成作图并填空：
（1）作∠ABC的平分线，交边AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）过点A画直线BC的垂线，交直线BC于点E，那么点A到直线BC的距离是线段 的长；
（3）在（2）的条件下，如果∠ABC＝135°，点B恰好是CE的中点，BC＝2cm，那么S△ABC＝ cm2．
20．（8分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．
21．（8分）阅读理解：
“若x满足（210﹣x）（x﹣200）＝﹣204，试求（210﹣x）2+（x﹣200）2的值．”
解：设210﹣x＝a，x﹣200＝b，则ab＝﹣204，且a+b＝210﹣x+x﹣200＝10．
因为（a+b）2＝a2+2ab+b2，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣204）＝508
即（210﹣x）2+（x﹣200）2的值为508．
同学们，根据材料，请你完成下面这一题的解答过程：
“若x满足（2018﹣x）2+（2016﹣x）2＝4038，试求（2018﹣x）（2016﹣x）的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列图形中，轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念，进行判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．（4分）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件
【分析】根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断．
【解答】解：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，
故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，比较简单．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣2a2＝1 B．（﹣a2b3）2＝a4b6
C．（﹣a2）3＝﹣a5 D．a2•a3＝a6
【分析】根据合并同类项的法则、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法进行计算即可．
【解答】解：A、3a2﹣2a2＝a，故本选项错误；
B、（﹣a2b3）2＝a4b6，故本选项正确；
C、（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项错误；
D、a2•a3＝a5，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
4．（4分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，与AB，CD分别交于点E，F，下列描述，其中，正确的是（ ）
①∠1和∠2互为同位角
②∠3和∠4互为内错角
③∠1＝∠4
④∠4+∠5＝180°
A．①③ B．②④ C．②③ D．③④
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义判断即可．
【解答】解：①∠1和∠2互为邻补角，故错误；
②∠3和∠4互为内错角，故正确；
③∠1＝∠4，故正确；
④∵AB不平行于CD，
∴∠4+∠5≠180°故错误，
故选：C．
【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟记定义是解题的关键．
5．（4分）如图，直线l1∥l2，AB＝BC，CD⊥AB于点D，若∠DCA＝20°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【分析】根据垂线的定义和三角形内角和定理可求∠BAC的度数，根据等腰三角形的性质可求∠BCA的度数，再根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DCA＝20°，
∴∠BAC＝70°，
∵AB＝BC，
∴∠BCA＝70°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝70°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂线的定义、三角形内角和定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
6．（4分）如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家．其中x表示时间，y表示小徐离他家的距离．读图可知菜地离小徐家的距离为（ ）
A．1.1千米 B．2千米 C．15千米 D．37千米
【分析】小徐第一个到达的地方应是菜地，也应是第一次路程不再增加的开始，所对应的时间为15分，路程为1.1千米．
【解答】解：由图象可以看出菜地离小徐家1.1千米，
故选：A．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题关键．
7．（4分）如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（ ）
A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN
【分析】根据普通三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种．逐条验证即可．
【解答】解：A、∠M＝∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；
B、AB＝CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意；
C、根据条件AM＝CN，MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故C选项符合题意；
D、AM∥CN，得出∠MAB＝∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目．
8．（4分）下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x2﹣2y）（2x+y2） B．（a2+b2）（b2﹣a2）
C．（2x2y+1）2x2y﹣1） D．（a3+b3）（a3﹣b3）
【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A：（x2﹣2y）（2x+y2）＝x2y2﹣4xy﹣2y3+2x3，不符合平方差公式；
B：（a2+b2）（b2﹣a2）＝（b2+a2）（b2﹣a2）＝（b2）2﹣（a2）2，符合平方差公式；
C：（2x2y+1）2x2y﹣1）＝（2x2y）2﹣1，符合平方差公式；
D：（a3+b3）（a3﹣b3）＝（a3）2﹣（b3）2，符合平方差公式．
故选：A．
【点评】本题主要考查平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
9．（4分）一个蓄水池有15m3的水，以每分钟0.5m3的速度向池中注水，蓄水池中的水量Q（m3）与注水时间t（分）间的函数表达式为（ ）
A．Q＝0.5t B．Q＝15t C．Q＝15+0.5t D．Q＝15﹣0.5t
【分析】根据一个蓄水池有15m3的水，以每分钟0.5m3的速度向池中注水，可以得到蓄水池中的水量Q（m3）与注水时间t（分）间的函数表达式，本题得以解决．
【解答】解：∵一个蓄水池有15m3的水，以每分钟0.5m3的速度向池中注水，
∴蓄水池中的水量Q（m3）与注水时间t（分）间的函数表达式是：Q＝15+0.5t，
故选：C．
【点评】本题考查函数关系式，解题的关键是明确题意，找出题目中的数量关系，列出相应的函数关系式．
10．（4分）“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”．莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”．如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是边BC上的一点．下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是（ ）
A．∠ADB＝∠ADC B．BD＝CD
C．BC＝2AD D．S△ABD＝S△ACD
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解．
【解答】解：∵∠ADB＝∠ADC，∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD是△ABC的高线，
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，
∴AD是△ABC的角平分线，故A选项不符合题意；
∵△ABC是等腰三角形，BD＝CD，
∴AD是△ABC的角平分线，故B选项不符合题意；
若BC＝2AD，不能说明AD是△ABC的角平分线，故C选项符合题意；
∵S△ABD＝S△ACD，
∴BD＝CD，
∴AD是△ABC的角平分线，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
二.填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若5x﹣3y﹣6＝0，则105x÷103y＝ 1000000
【分析】首先根据5x﹣3y﹣6＝0，可得：5x﹣3y＝6；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出105x÷103y的值是多少即可．
【解答】解：∵5x﹣3y﹣6＝0，
∴5x﹣3y＝6，
∴105x÷103y＝105x﹣3y＝106＝1000000．
故答案为：1000000．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
12．（4分）在一个暗盒中放有若干个红色球和3个黑色球（这些球除颜色外，无其它区别），从中随即取出1个球是红球的概率是．若在暗盒中增加1个黑球，则从中随即取出一个球是红球的概率是 ．
【分析】根据取出1个球是红球的概率是，可得取出1个球是黑球的概率，再由黑色球可求球的总数，从而得出红色球的个数；再根据概率公式即可得到从中随机取出一个球是红球的概率．
【解答】解：盒中共有球的个数为：
3÷（1﹣）
＝3÷
＝5（个），
则红球的个数为：5﹣3＝2（个），
所以增加1个黑球后，从中随机取出一个球是红球的概率是：2÷（5+1）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（4分）自从扫描隧道显微镜发明以后，世界上便诞生了一门新兴的学科，这就是“纳米技术”，已知1纳米＝0.000000001米，则2.25纳米用科学记数法表示为 2.3×10﹣9 米（结果保留两位有效数字）．
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数，n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂，此题n＜0，n＝﹣9．
【解答】解：∵1纳米＝0.000000001米，
∴2.25纳米＝2.25×0.000000001米
＝0.00000000225米
＝2.25×10﹣9米
≈2.3×10﹣9米，
答：用科学记数法表示为2.3×10﹣9米．
【点评】用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a，a是只有一位整数的数；（2）确定n；当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
14．（4分）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝ 105° ．
【分析】根据平行线的性质及对顶角相等求解即可．
【解答】解：∵直线c直线a，b相交，且a∥b，∠1＝75°，
∴∠3＝∠1＝75°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣75°＝105°．
故答案为：105°
【点评】此题考查平行线的性质，解题关键为：两直线平行，同旁内角互补，对顶角相等．
15．（4分）某地海拔高度h与温度T的关系可用T＝21﹣6h来表示（其中温度单位为℃，海拔高度单位为km），则该地区某海拔高度为2000m的山顶上的温度为 9°C ．
【分析】把h＝2000米＝2千米代入T＝21﹣6h即得．
【解答】解：2000米＝2千米，
T＝21﹣6h＝21﹣6×2＝9（℃）．
故答案为：9°C．
【点评】本题考查函数值的知识，根据题目的信息代入运算即可．
16．（4分）对于任意的代数式a，b，c，d，我们规定一种新运算：＝ad﹣bc．根据这一规定，计算＝ x2﹣y2﹣6xy ．
【分析】按照规定的运算方法把化为（x﹣y）（x+y）﹣2x•3y，利用平方差公式计算整理即可．
【解答】解：根据题意得：
＝（x﹣y）（x+y）﹣2x•3y，
＝x2﹣y2﹣6xy．
故答案为：x2﹣y2﹣6xy．
【点评】本题考查了整式的混合运算，立意较新颖，读懂规定运算的运算方法并列出算式是解题的关键．
三、解答题（共5道大题，共36分）
17．（8分）计算：
（1）（﹣3ab2）3÷（）•（﹣2ab3c）；
（2）（2a3b2﹣4a4b3+6a5b4）÷（﹣2a3b2）．
【分析】（1）利用积的乘方，幂的乘方的法则及单项式的乘法法则计算即可；
（2）利用多项式除单项式的运算法则计算．
【解答】（1）原式＝
＝﹣54b3•（﹣2ab3c）
＝108ab6c；
（2）原式＝2a3b2÷（﹣2a3b2）﹣4a4b3÷（﹣2a3b2）+6a5b4÷（﹣2a3b2）
＝﹣1+2ab﹣3a2b2．
【点评】本题考查了整式混合运算，掌握积的乘方，幂的乘方的法则及单项式的乘法法则是解题的关键．
18．（6分）利用乘法公式计算：
（1）102×98；
（2）20022．
【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可；
（2）利用完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（100+2）×（100﹣2）
＝1002﹣4
＝10000﹣4
＝9996；
（2）原式＝（2000+2）2
＝20002+2×2000×2+22
＝4000000+8000+4
＝4008004．
【点评】本题考查利用完全平方公式及平方差公式进行简便运算即可，熟练掌握这两个公式是解题的关键．
19．（6分）按要求完成作图并填空：
（1）作∠ABC的平分线，交边AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）过点A画直线BC的垂线，交直线BC于点E，那么点A到直线BC的距离是线段 AE 的长；
（3）在（2）的条件下，如果∠ABC＝135°，点B恰好是CE的中点，BC＝2cm，那么S△ABC＝ 2 cm2．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E．
（3）证明AE＝EB＝BC＝2，可得结论．
【解答】解：（1）如图，射线BD即为所求作．
（2）如图，线段AE即为所求作，点A到直线BC的距离是线段AE的长，
故答案为：AE．
（3）∵∠ABC＝135°，
∴∠ABE＝45°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，∠EAB＝∠ABE＝45°，
∴AE＝BE，
∵BE＝BC＝2cm，
∴AE＝2（cm），
∴S△ABC＝×BC×AE＝2（cm2）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，点到直线的距离，角平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（8分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．
【分析】（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等；
（2）根据三角形全等得出EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可．
【解答】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，
∴∠EBC＝25°．
【点评】本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
21．（8分）阅读理解：
“若x满足（210﹣x）（x﹣200）＝﹣204，试求（210﹣x）2+（x﹣200）2的值．”
解：设210﹣x＝a，x﹣200＝b，则ab＝﹣204，且a+b＝210﹣x+x﹣200＝10．
因为（a+b）2＝a2+2ab+b2，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣204）＝508
即（210﹣x）2+（x﹣200）2的值为508．
同学们，根据材料，请你完成下面这一题的解答过程：
“若x满足（2018﹣x）2+（2016﹣x）2＝4038，试求（2018﹣x）（2016﹣x）的值．
【分析】结合阅读材料中的方法将原式变形，求出值即可．
【解答】解：设2018﹣x＝a，x﹣2016＝b，则ab＝（2018﹣x）（x﹣2016），a+b＝2018﹣x+x﹣2016＝2，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2×（2018﹣x）（x﹣2016）＝4038，
则（2018﹣x）（2016﹣x）＝2017．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
甘肃省兰州五十五中2023-2024学年七年级上学期开学数学试卷（解析版）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列图形中，轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣2a2＝1 B．（﹣a2b3）2＝a4b6
C．（﹣a2）3＝﹣a5 D．a2•a3＝a6
4．（4分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，与AB，CD分别交于点E，F，下列描述，其中，正确的是（ ）
①∠1和∠2互为同位角
②∠3和∠4互为内错角
③∠1＝∠4
④∠4+∠5＝180°
A．①③ B．②④ C．②③ D．③④
5．（4分）如图，直线l1∥l2，AB＝BC，CD⊥AB于点D，若∠DCA＝20°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
6．（4分）如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家．其中x表示时间，y表示小徐离他家的距离．读图可知菜地离小徐家的距离为（ ）
A．1.1千米 B．2千米 C．15千米 D．37千米
7．（4分）如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（ ）
A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN
8．（4分）下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x2﹣2y）（2x+y2） B．（a2+b2）（b2﹣a2）
C．（2x2y+1）2x2y﹣1） D．（a3+b3）（a3﹣b3）
9．（4分）一个蓄水池有15m3的水，以每分钟0.5m3的速度向池中注水，蓄水池中的水量Q（m3）与注水时间t（分）间的函数表达式为（ ）
A．Q＝0.5t B．Q＝15t C．Q＝15+0.5t D．Q＝15﹣0.5t
10．（4分）“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”．莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”．如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是边BC上的一点．下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是（ ）
A．∠ADB＝∠ADC B．BD＝CD
C．BC＝2AD D．S△ABD＝S△ACD
二.填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若5x﹣3y﹣6＝0，则105x÷103y＝
12．（4分）在一个暗盒中放有若干个红色球和3个黑色球（这些球除颜色外，无其它区别），从中随即取出1个球是红球的概率是．若在暗盒中增加1个黑球，则从中随即取出一个球是红球的概率是 ．
13．（4分）自从扫描隧道显微镜发明以后，世界上便诞生了一门新兴的学科，这就是“纳米技术”，已知1纳米＝0.000000001米，则2.25纳米用科学记数法表示为 米（结果保留两位有效数字）．
14．（4分）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝ ．
15．（4分）某地海拔高度h与温度T的关系可用T＝21﹣6h来表示（其中温度单位为℃，海拔高度单位为km），则该地区某海拔高度为2000m的山顶上的温度为 ．
16．（4分）对于任意的代数式a，b，c，d，我们规定一种新运算：＝ad﹣bc．根据这一规定，计算＝ ．
三、解答题（共5道大题，共36分）
17．（8分）计算：
（1）（﹣3ab2）3÷（）•（﹣2ab3c）；
（2）（2a3b2﹣4a4b3+6a5b4）÷（﹣2a3b2）．
18．（6分）利用乘法公式计算：
（1）102×98；
（2）20022．
19．（6分）按要求完成作图并填空：
（1）作∠ABC的平分线，交边AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）过点A画直线BC的垂线，交直线BC于点E，那么点A到直线BC的距离是线段 的长；
（3）在（2）的条件下，如果∠ABC＝135°，点B恰好是CE的中点，BC＝2cm，那么S△ABC＝ cm2．
20．（8分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．
21．（8分）阅读理解：
“若x满足（210﹣x）（x﹣200）＝﹣204，试求（210﹣x）2+（x﹣200）2的值．”
解：设210﹣x＝a，x﹣200＝b，则ab＝﹣204，且a+b＝210﹣x+x﹣200＝10．
因为（a+b）2＝a2+2ab+b2，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣204）＝508
即（210﹣x）2+（x﹣200）2的值为508．
同学们，根据材料，请你完成下面这一题的解答过程：
“若x满足（2018﹣x）2+（2016﹣x）2＝4038，试求（2018﹣x）（2016﹣x）的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列图形中，轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念，进行判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．（4分）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件
【分析】根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断．
【解答】解：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，
故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，比较简单．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣2a2＝1 B．（﹣a2b3）2＝a4b6
C．（﹣a2）3＝﹣a5 D．a2•a3＝a6
【分析】根据合并同类项的法则、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法进行计算即可．
【解答】解：A、3a2﹣2a2＝a，故本选项错误；
B、（﹣a2b3）2＝a4b6，故本选项正确；
C、（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项错误；
D、a2•a3＝a5，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
4．（4分）如图，直线AB，CD被直线EF所截，与AB，CD分别交于点E，F，下列描述，其中，正确的是（ ）
①∠1和∠2互为同位角
②∠3和∠4互为内错角
③∠1＝∠4
④∠4+∠5＝180°
A．①③ B．②④ C．②③ D．③④
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义判断即可．
【解答】解：①∠1和∠2互为邻补角，故错误；
②∠3和∠4互为内错角，故正确；
③∠1＝∠4，故正确；
④∵AB不平行于CD，
∴∠4+∠5≠180°故错误，
故选：C．
【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟记定义是解题的关键．
5．（4分）如图，直线l1∥l2，AB＝BC，CD⊥AB于点D，若∠DCA＝20°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【分析】根据垂线的定义和三角形内角和定理可求∠BAC的度数，根据等腰三角形的性质可求∠BCA的度数，再根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DCA＝20°，
∴∠BAC＝70°，
∵AB＝BC，
∴∠BCA＝70°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝70°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂线的定义、三角形内角和定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
6．（4分）如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家．其中x表示时间，y表示小徐离他家的距离．读图可知菜地离小徐家的距离为（ ）
A．1.1千米 B．2千米 C．15千米 D．37千米
【分析】小徐第一个到达的地方应是菜地，也应是第一次路程不再增加的开始，所对应的时间为15分，路程为1.1千米．
【解答】解：由图象可以看出菜地离小徐家1.1千米，
故选：A．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题关键．
7．（4分）如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（ ）
A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN
【分析】根据普通三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种．逐条验证即可．
【解答】解：A、∠M＝∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；
B、AB＝CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意；
C、根据条件AM＝CN，MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故C选项符合题意；
D、AM∥CN，得出∠MAB＝∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目．
8．（4分）下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x2﹣2y）（2x+y2） B．（a2+b2）（b2﹣a2）
C．（2x2y+1）2x2y﹣1） D．（a3+b3）（a3﹣b3）
【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A：（x2﹣2y）（2x+y2）＝x2y2﹣4xy﹣2y3+2x3，不符合平方差公式；
B：（a2+b2）（b2﹣a2）＝（b2+a2）（b2﹣a2）＝（b2）2﹣（a2）2，符合平方差公式；
C：（2x2y+1）2x2y﹣1）＝（2x2y）2﹣1，符合平方差公式；
D：（a3+b3）（a3﹣b3）＝（a3）2﹣（b3）2，符合平方差公式．
故选：A．
【点评】本题主要考查平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
9．（4分）一个蓄水池有15m3的水，以每分钟0.5m3的速度向池中注水，蓄水池中的水量Q（m3）与注水时间t（分）间的函数表达式为（ ）
A．Q＝0.5t B．Q＝15t C．Q＝15+0.5t D．Q＝15﹣0.5t
【分析】根据一个蓄水池有15m3的水，以每分钟0.5m3的速度向池中注水，可以得到蓄水池中的水量Q（m3）与注水时间t（分）间的函数表达式，本题得以解决．
【解答】解：∵一个蓄水池有15m3的水，以每分钟0.5m3的速度向池中注水，
∴蓄水池中的水量Q（m3）与注水时间t（分）间的函数表达式是：Q＝15+0.5t，
故选：C．
【点评】本题考查函数关系式，解题的关键是明确题意，找出题目中的数量关系，列出相应的函数关系式．
10．（4分）“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”．莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”．如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是边BC上的一点．下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是（ ）
A．∠ADB＝∠ADC B．BD＝CD
C．BC＝2AD D．S△ABD＝S△ACD
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解．
【解答】解：∵∠ADB＝∠ADC，∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD是△ABC的高线，
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，
∴AD是△ABC的角平分线，故A选项不符合题意；
∵△ABC是等腰三角形，BD＝CD，
∴AD是△ABC的角平分线，故B选项不符合题意；
若BC＝2AD，不能说明AD是△ABC的角平分线，故C选项符合题意；
∵S△ABD＝S△ACD，
∴BD＝CD，
∴AD是△ABC的角平分线，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
二.填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若5x﹣3y﹣6＝0，则105x÷103y＝ 1000000
【分析】首先根据5x﹣3y﹣6＝0，可得：5x﹣3y＝6；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出105x÷103y的值是多少即可．
【解答】解：∵5x﹣3y﹣6＝0，
∴5x﹣3y＝6，
∴105x÷103y＝105x﹣3y＝106＝1000000．
故答案为：1000000．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
12．（4分）在一个暗盒中放有若干个红色球和3个黑色球（这些球除颜色外，无其它区别），从中随即取出1个球是红球的概率是．若在暗盒中增加1个黑球，则从中随即取出一个球是红球的概率是 ．
【分析】根据取出1个球是红球的概率是，可得取出1个球是黑球的概率，再由黑色球可求球的总数，从而得出红色球的个数；再根据概率公式即可得到从中随机取出一个球是红球的概率．
【解答】解：盒中共有球的个数为：
3÷（1﹣）
＝3÷
＝5（个），
则红球的个数为：5﹣3＝2（个），
所以增加1个黑球后，从中随机取出一个球是红球的概率是：2÷（5+1）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（4分）自从扫描隧道显微镜发明以后，世界上便诞生了一门新兴的学科，这就是“纳米技术”，已知1纳米＝0.000000001米，则2.25纳米用科学记数法表示为 2.3×10﹣9 米（结果保留两位有效数字）．
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数，n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂，此题n＜0，n＝﹣9．
【解答】解：∵1纳米＝0.000000001米，
∴2.25纳米＝2.25×0.000000001米
＝0.00000000225米
＝2.25×10﹣9米
≈2.3×10﹣9米，
答：用科学记数法表示为2.3×10﹣9米．
【点评】用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a，a是只有一位整数的数；（2）确定n；当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
14．（4分）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝ 105° ．
【分析】根据平行线的性质及对顶角相等求解即可．
【解答】解：∵直线c直线a，b相交，且a∥b，∠1＝75°，
∴∠3＝∠1＝75°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣75°＝105°．
故答案为：105°
【点评】此题考查平行线的性质，解题关键为：两直线平行，同旁内角互补，对顶角相等．
15．（4分）某地海拔高度h与温度T的关系可用T＝21﹣6h来表示（其中温度单位为℃，海拔高度单位为km），则该地区某海拔高度为2000m的山顶上的温度为 9°C ．
【分析】把h＝2000米＝2千米代入T＝21﹣6h即得．
【解答】解：2000米＝2千米，
T＝21﹣6h＝21﹣6×2＝9（℃）．
故答案为：9°C．
【点评】本题考查函数值的知识，根据题目的信息代入运算即可．
16．（4分）对于任意的代数式a，b，c，d，我们规定一种新运算：＝ad﹣bc．根据这一规定，计算＝ x2﹣y2﹣6xy ．
【分析】按照规定的运算方法把化为（x﹣y）（x+y）﹣2x•3y，利用平方差公式计算整理即可．
【解答】解：根据题意得：
＝（x﹣y）（x+y）﹣2x•3y，
＝x2﹣y2﹣6xy．
故答案为：x2﹣y2﹣6xy．
【点评】本题考查了整式的混合运算，立意较新颖，读懂规定运算的运算方法并列出算式是解题的关键．
三、解答题（共5道大题，共36分）
17．（8分）计算：
（1）（﹣3ab2）3÷（）•（﹣2ab3c）；
（2）（2a3b2﹣4a4b3+6a5b4）÷（﹣2a3b2）．
【分析】（1）利用积的乘方，幂的乘方的法则及单项式的乘法法则计算即可；
（2）利用多项式除单项式的运算法则计算．
【解答】（1）原式＝
＝﹣54b3•（﹣2ab3c）
＝108ab6c；
（2）原式＝2a3b2÷（﹣2a3b2）﹣4a4b3÷（﹣2a3b2）+6a5b4÷（﹣2a3b2）
＝﹣1+2ab﹣3a2b2．
【点评】本题考查了整式混合运算，掌握积的乘方，幂的乘方的法则及单项式的乘法法则是解题的关键．
18．（6分）利用乘法公式计算：
（1）102×98；
（2）20022．
【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可；
（2）利用完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（100+2）×（100﹣2）
＝1002﹣4
＝10000﹣4
＝9996；
（2）原式＝（2000+2）2
＝20002+2×2000×2+22
＝4000000+8000+4
＝4008004．
【点评】本题考查利用完全平方公式及平方差公式进行简便运算即可，熟练掌握这两个公式是解题的关键．
19．（6分）按要求完成作图并填空：
（1）作∠ABC的平分线，交边AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）过点A画直线BC的垂线，交直线BC于点E，那么点A到直线BC的距离是线段 AE 的长；
（3）在（2）的条件下，如果∠ABC＝135°，点B恰好是CE的中点，BC＝2cm，那么S△ABC＝ 2 cm2．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E．
（3）证明AE＝EB＝BC＝2，可得结论．
【解答】解：（1）如图，射线BD即为所求作．
（2）如图，线段AE即为所求作，点A到直线BC的距离是线段AE的长，
故答案为：AE．
（3）∵∠ABC＝135°，
∴∠ABE＝45°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，∠EAB＝∠ABE＝45°，
∴AE＝BE，
∵BE＝BC＝2cm，
∴AE＝2（cm），
∴S△ABC＝×BC×AE＝2（cm2）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，点到直线的距离，角平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（8分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．
【分析】（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等；
（2）根据三角形全等得出EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可．
【解答】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，
∴∠EBC＝25°．
【点评】本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
21．（8分）阅读理解：
“若x满足（210﹣x）（x﹣200）＝﹣204，试求（210﹣x）2+（x﹣200）2的值．”
解：设210﹣x＝a，x﹣200＝b，则ab＝﹣204，且a+b＝210﹣x+x﹣200＝10．
因为（a+b）2＝a2+2ab+b2，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣204）＝508
即（210﹣x）2+（x﹣200）2的值为508．
同学们，根据材料，请你完成下面这一题的解答过程：
“若x满足（2018﹣x）2+（2016﹣x）2＝4038，试求（2018﹣x）（2016﹣x）的值．
【分析】结合阅读材料中的方法将原式变形，求出值即可．
【解答】解：设2018﹣x＝a，x﹣2016＝b，则ab＝（2018﹣x）（x﹣2016），a+b＝2018﹣x+x﹣2016＝2，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2×（2018﹣x）（x﹣2016）＝4038，
则（2018﹣x）（2016﹣x）＝2017．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
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