浙江省名校协作体2023届高三下学期联考数学试题

2022学年第二学期浙江省名校协作体试题

高三年级数学学科

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题卷.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.己知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知复数z满足：，则（    ）

A. B. C. D.

3.若向量，满足，，，则与的夹角为（    ）

A. B. C. D.

4.设x，y为正实数，若，则的最小值是（    ）

A.4 B.3 C.2 D.1

5.刍甍是如图所示五面体ABCDEF，其中，底面ABCD是平行四边形.《九章算术·商功》对其体积有记载：“求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一”，意思是：若，，AB、CD之间的距离是h，直线EF与平面ABCE之间的距离是H，则其体积.现有刍甍ABCDEF，，，AB、CD之间的距离是2，EF与平面ABCD之间的距离是4，过AE的中点G ，作平面平面ABCD，将该刍甍分为上下两部分，则上下体积之比为（    ）

A.1：3 B.1：7  C.5：7  D.5：23

6.已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若，（），则（    ）

A.3 B.4  C.5 D.6

7.已知函数（，，），两个等式，对任意的实数x均成立，在上单调，则的最大值为（    ）

A.17 B.16 C.15 D.13

8.对任意正整数对，定义函致如下：，，，则（    ）

A.  B.

C. D.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得分，有选错的或不选的得0分.

9.下列结论中，正确的有（    ）

A.数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为5

B.若随机变量，，则

C.己知经验回归方程为，且，，则

D.根据分类变量X与Y的成对样本致据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.0001

10.己知函数，则（    ）

A.有两个极值点  B.若方程有三个实根，则或

C.点（0，1）是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线

11.己知正三棱锥O-ABC的底面边长为2，表面积为，A，B，C三点均在以O为球心的球O的球面上.Q是该球面上任意一点.下列结论正确的有（    ）

A.球O的半径为

B.三棱锥O-ABC的内切球半径为

C.的取值范围是

D.若平面ABC，则异面直线AC与QB所成角的余弦值为

12.已知F为双曲线的右焦点，P在双曲线C的右支上，点，设，，，则下列判断正确的是（    ）

A.的最大值为  B.

C.  D.存在点P满足

三、填空题：本大题共4小题.每小题5分.共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.展开式中含项的系数为___________.

14.直线与圆相交于A，B两点，且（O为坐标原点），则c=__________.

15.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是__________.

16.已知定义在R上的可导函数，对于任意实数x都有成立，且当时，都有成立，若，则实数m的取值范围是__________.

四、解答题：本大题共6小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，C为锐角.

（1）求C；

（2）若，，求的面积.

18.（12分）己知等比数列的前n项和为，且满足，，数列满足：，，（）

（1）求数列，的通项公式；

（2）设数列的通项，求数列的前n项和.

19.（12分）第二十二届世界杯足球赛于2022年11月21日在卡塔尔举行，是历史上首次在中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.在此火热氛围中，某商场设计了一款足球游戏：场地上共有大、小2个球门，大门和小门各射门一次，射进大门后才能进行小门射球，两次均进球后可得到一个世界杯吉祥物“拉伊卜”.己知甲、乙、丙3位顾客射进大门的概率均为，射进小门的概率依次为，，，假设各次进球与否互不影响.

（1）求这3人中至少有2人射进大门的概率；

（2）记这3人中得到“拉伊卜”的人数为X，求X的分布列及期望.

20.（12分）如图，在多面体ABCDE中，面BCDE为平行四边形.，，，，F为AC中点.

（1）求证：；

（2）二面角E-AB-C的正切值为4，求多面体ABCDE的体积.

21.（12分）己知函数（）

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若恒成立，求实数m的取值范围.

22.（12分）己知椭圆（）的离心率为，且经过点，，为椭圆C的左右焦点.为平面内一个动点，其中，记直线与椭圆C在x轴上方的交点为，直线与椭圆C在x轴上方的交点为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）①若，证明：；

②若，探究，，之间的关系.

2022学年第二学期浙江省名校协作体试题

高三年级数学学科 参考答案

一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

8.解析：令，则，故A错；

，所以，又，

所以，，当时也符合上式，故B错；

，故C对；

，故D错.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

11.解析：设G，H，分别为BC，AB，AQ的中点，为的中心

∵，，∴，，∴，故A对；

∵，∴，故B对；

∵，∵

∴，故C错；

∵，，

∴，

∴，故D对.

12.解析：过P向作垂线，垂足为，过P向x轴作垂线，垂足为，

设直线，不妨设，，消y，∴，

∴，∴，∴，∴，∴，故A错；

（易得）

，故B对；

（显然成立），故C对；

（已知）

（显然成立），（也可用极限思想考虑）故D对.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.21； 14.； 15.； 16.；

（注：第14题漏了一解扣1分，第16题闭区间写成开区间不扣分）

16.解析：∵，∴

令，则，∴是偶函数，∵，

∴，∴，∴当时，递减，

∴当时，递增，∵ ，

∴，∴，

∴，∴，∴.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（1）∵，

由正弦定理，得，…………….2分

∴，

∴，

∴，

∴，∴或

∵，∴. …………….5分

（2）∵，

∴…………….7分

∴，

∴，∴，…………….8分

∴ …………….10分

18.（1）∵，∴，

∴，∴或

当时，不符合，舍去.

当时，，

∴，∴ …………….4分

∵①

∴② ，

∴①-②

∴  ，

当时，，

∴

∴是常数列

∴，∴…………….8分

（2）∵

∴当n为偶数时，

…………….10分

当n为奇数时，

…………….12分

∴（或）

（注：若第（2）问答案都不对，但有并项求和思想给1分；若第（2）问用错位相减法来做，只要有错位相减法思想就给1分，答案3分）

19.（1）…………….3分

（2）设甲、乙、丙3位顾客大小门都射进的事件分别记为A，B，C.

由题意，…………….4分

，…………….5分

，…………….6分

，…………….7分

，…………….8分

…………….9分

，…………….10分

，…………….11分

∴…………….12分

20.解：（1）∵且，∴

取AB中点G，连FG，EG.又∵F为AC中点，

∵∴…………….1分

∴，∴…………….2分

∵

∴面EFG，…………….4分

又面EFG

∴…………….5分

（2）∵，，，，

∴即为二面角E-AB-C所对应的平面角……………6分

又∵，∴

∴∴，又∵，

∴面ABC ……………8分

（解法一）

由图可知四棱锥中：……………10分

∴

∴……………12分

（解法二）

由图可知：……………10分

又因为A到面EBC的距离等于F到面EBC的距离FI的两倍

取BC的中点H，连接FH，EH，故∴，

∴，，

∴

∴……………12分

（解法三）

以F为坐标原点，FG为x轴，FH为y轴建立直角坐标系……………9分

则，，，，∴，，

令面EBC的法向量为，则

∴即

∴，……………10分

∴，∴

∴……………12分

21.（1）当时，，∴……………1分

∵，……………3分

∴……………4分

∴切线方程为：……………5分

（2）（解法一）

∵（）

∴，……………6分

∴在上单调递增

∵当时，，当时，，

∴，使得，

即，……………7分

∴当时，，当时，，

∴在上递减，在上递增，……………9分

∴

∴. ……………12分

（解法二）

∵，∴……………6分

∴ ∴

∴

∴……………8分

令，单调递增

∴ ∴

∴……………10分

令，

∴

令，

当时，，∴递减，

当时，，∴递增

∴ ∴……………12分

（解法三）

∵∴

∴……………6分

∴

∴……………8分

∴ ∴

∴当且仅当时取“=”号…………………………9分

∵∴

∴……………10分

令，

∴∴……………12分

22.（1）∵，……………1分

，……………2分

∴……………3分

（2）①（解法一）

∵，，

∴∴……………4分

∴

∴

即

又∵，

∴……………5分

即

∴

∴，即……………6分

（解法二）

∵

∴……………4分

∴

∴…………… 5分

∴∴

∴……………6分

②设：，（令）……………7分

∵，消去x得：，

∴，∴，

∴，

∴，……………8分

∴

设：，（令）……………9分

∵，消去x得：，

∴，∴，

∴，

∴……………10分

∴

∴

……………12分

（注：若只猜出最后答案，给1分）