重庆市第八中学校2023-2024学年高二上学期开学适应性训练数学试题

重庆八中2023—2024学年度（上）高二年级开学适应性训练

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小通5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设，为的共轭复数，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知点在圆上，则点到轴的距离的最大值为（    ）

A．2 B．3 C． D．

3．已知向量，，，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．1

4．如图所示，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

5．在三棱锥中，已知平面，，若，，则与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

6．如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，则，则的最小值（    ）

A．1 B．3 C．5 D．8

7．解放碑是重庆的标志建筑物之一，因其特有的历史内涵，仍牵动着人们敬仰的目光，在海内外具存非凡的影响．某校数学兴趣小组为了测量其高度，在地面上共线的三点，，处分别测得点的仰角为30°，45°，60°，且，则解放碑的高度约为（    ）（参考数据：）

A． B． C． D．

8．在中，，，，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为1，则直线与平面所成角的正弦值是（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．设，是空间中不同的直线，，，是不同的平面，则下列说法正确的有（    ）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，，则

D．若，，，则

10．下列结论正确的有（    ）

A．两个不同的平面，的法向量分别是，，则

B．直线的方向向量，平面的法向量，则

C．若，，，则点在平面内

D．若是空间的一个基底，则也是空间一个基底

11．已知直线：，：，设两直线分别过定点，，直线和直线的交点为，则下列结论正确的有（    ）

A．直线过定点，直线过定点

B．

C．面积的最大值为5

D．若，，则点恒满足

12．半正多面体亦称“阿基米德体”、“阿基米德多面体”，是由边数不完全相同的正多边形为面的多面体．某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成．在如图所示的正半多面体中，若其棱长为1，则下列结论正确的有（    ）

A．该半正多面体的表面积为

B．该半正多面体的体积为

C．该半正多面体外接球的表面积为

D．若点，分别在线段，上，则的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．如图所示是利用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，已知轴，轴且，则的周长为______．

14．直线的倾斜角的取值范围是______．

15．已知三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围是______．

16．德国机械学家莱洛设计的菜洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为1，为弧上的一个动点，则的最小值为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知的三个顶点为，，．

（1）求过虑且平行于的直线方程；

（2）求过点且与、距离相等的直线方程．

18．（12分）

已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点是的中点．

（1）求证：平面；

（2）若底面为边长为2的正三角形，，求三棱锥的体积．

19．（12分）

如图，已知的外接圆的半径为4，．

（1）求中边的长：

（2）求．

20．（12分）

如图，是圆的直径，是圆上异于，的一点，垂直于圆所在的平面，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

21．（12分）

在中，角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求证：；

（2）求的最小值．

22．（12分）

如图，在四棱锥中，，，，为等边三角形，平面平面，点在棱上，直线平面．

（1）证明：．

（2）设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围．

重庆八中2023—2024学年度（上）高二年级开学适应性训练

参考答案

13．    14．    15．    16．

1．解：∵，∴．故选B．

2．解：圆．即圆，

圆心为，半径，得点到轴的距离的最大值．故选B．

3．解：因为向量，，所以，，

又因为，所以，解得．故选D．

4．解：设圆柱的底面半径为，高为，则，，圆锥的母线长为，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，

则剩下的几何体的表面积为，故选：B．

5．解，如图，取，，的中点，，连接，，，

∵，，∴（或其补角）即为与所成的角．

∵平面，∴，∴，则．

∵，，．取的中点，连接，．

∴，∴平面．

∴．又，．

∴

∴，

∴与所成角的余弦值为．故选：C．

6．解：由题意可知，，又是线段上的动点，

则可设，且，

所以

则．所以．

则，，

所以．

当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为8，故选：D．

7．解：由题知，设，则，，，

又，

所以在中，①，

在中，②，

联立①②，解得．故选：B．

8．解：∵，，，∴，

又为中点，∴，

则，即为等边三角形，

设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，取中点，

连接，，，，，，

∵，，∴，即外接球半径为1，

又四面体的外接球半径为1，∴为四面体外接球的球心，

由球的性质可知：平面，又平面，∴，

∵，，∴；

设点到平面的距离为，由得：，

又与均为边长为1的等边三角形，∴，

直线与平面所成角的正弦值为．故选D．

9．解：在选项A中，，，，由线面平行判定定理得，，故A项正确；

在选项B中，，，，则与平行或㫒面，故B项错误；

在选项C中，，，，，则与相交或平行，故C项错误；

在选项D中，由面面平行的性质定理得D项正确．故选：AD．

10．解：因为，所以，故A正确：

因为直线的方向向量，平面的法向量，则，

所以，但是当直线在平面内，直线与平面不平行，故B不正确；

因为，所以，，共面，即点在平面内，故C正确；

若是空间的一个基底，假如，，中有向量共线情况，则，，就会出现向量共线情况，不合题意，则，，中的任意两个都不共线．

又设对空间任意一个向量，存在唯一的实数组，使得，于是，由，，的唯一性，得，，也是唯一的，

所以也是空间一个基底．故D正确．故选：ACD．

11．解：对于A，可化作，可发现过定点，

同理，过定点，A正确；

对于B，∵，可得恒成立，因此是以为直径的圆上的点，

根据定义，，B正确；

对于C，，

当且仅当时等号成立，故C错误；

对于D，由题可知在圆上运动，设，若，

则，化简可得，

与的方程相同，故D正确．故选：．

12．解：该半正多面体的表面积为，A错误；

该半正多面体所在正四面体的高为，体积为，

该半正多面体的体积为，B正确；

该半正多面体外接球的球心即其所在正四面体的外接球的球心，记球心为，

则，故该半正多面体外接球的表面积为，C正确；

该半正多面体的展开图如图所示，，，，

，D正确．故选：BCD．

13．解：先由斜二测画法得，，即可求解．

由题意得，，且，则，

则的周长为．故答案为：．

14．解：设直线的倾斜角为，

因为直线的斜率，即，

所以．故答案为：．

15．解：，

由余弦定理可得：，所以，

所以，所以，

所以，

当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，

又因为，所以，所以的取值范围是．

16．解：设，，则：

其中，∴，∴，

∴时，取最小值．故答案为：．

17．解：（1）由于，，所以，

故过点且与直线平行的直线方程为，整理得；

（2）①由于，，故直线垂直于轴，

所以过点的直线当垂直于轴时，即直线时，满足条件：

②由于，，故中点．

故经过点和点的直线满足条件，即的直线方程为，整理得．

综上所述，满足条件的直线方程为或．

18．（1）证明：连接交于点，连接，

因为四边形是矩形，则为的中点

又是的中点，，

又面，面，所以面；

（2）解：，是的中点，，

又面，面，，

，面，面．

平面平面，所以是三棱锥的高，

又，所以；

19．（1）∵，∴，∴，

即且，

又的外接圆的半径，∴，∴；

（2）如图，取的中点，取的中点，连接，，．

因为，且，

所以四边形是平行四边形．所以．

所以．所以．

所以．

20．（1）证明：∵垂直于圆所在的平面，圆所在的平面，

∴，∵是圆的直径，∴，

又∵，∴平面，平面，

∴平面平面；

（2）解：以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系．

∵，，则，．

则，，，，

则，，，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，，

∴平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量为．

则，令，则，，

∴平面的一个法向量为．

设平面与平面所成的锐二面角为．

．

∴平面与平面所成的镜二面角的余弦值．

21．（1）证明：在中，，由正弦定理得，

又，∴，

∴，∴，

又，∴，且，

∴，∴；

（2）由（1）可得得，

∴，，

∵，，

∴．

当且仅当即，

且，当且仅当时等号成立，

∴当时，的最小值为．

22．解：（1）证明：连接交于，连接．

因为，，

所以根据相似的性质可得．

因为直线平面，平面，平面平面，

所以，则，所以．

（2）取的中点，的中点，连接，，．

因为为等边三角形，所以不妨设，

则，．

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，，平面，

所以，．

又因为，分别为，的中点，

所以，而，所以，

又，，平面，则平面，

又平面，则，

所以是二面角的平面角，即．

设，则，得．

过作交于，连接，

由于平面，所以平面，

则为直线与平面所成的角，即．

，，．

因为，

所以，

则．

因为，所以．

故的取值范围为．