初中数学苏科版九年级上册2.3 确定圆的条件精品课后练习题

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第2章 对称图形----圆
2.3 确定圆的条件
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课程标准
课标解读
1.了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。
2.培养学生观察、分析、概括的能力；培养学生动手作图的准确操作的能力。
3.通过引言的教学，激发学生的学习兴趣，培养学生的知识来源于实践又反过来作用于实践的辩证只许物主义观念。
1.本节课使学生了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法。
2.经历不在同一直线上得三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力，进一步体会解决数学问题的方法。
3.解不在同一条直线上得三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
知识精讲

知识点01 确定圆的条件
1. 确定圆的条件：不在同一直线的三点确定一个圆。
2. 外心概念：三角形的三个顶点确定一个圆，改圆称为该三角形的外接圆，三角形称为圆的内接三角形。
外接圆的圆心称为三角形的外心，是三角形三条边垂直平分线的交点。
3. 掌握过不在同一直线上三点作圆的尺规作图方法。
【微点拨】
1.定理： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
2.三角形的外接圆．
3.定义：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，
4.这个三角形叫做这个圆的内接三角形
5.三角形的外心:
（1） 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；
（2） 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；
（3） 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．

【即学即练1】1．下列判断中正确的是（ ）

A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧
C．平分弧的直径平分弧所对的的弦 D．三点确定一个圆
【答案】C
【分析】
根据垂径定理和确定圆的条件对各选项进行逐一解答即可．
【详解】
解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误；
B、垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故选项错误；
C、平分弧的直径平分弧所对的的弦，故选项正确；
D、不共线的三点确定一个圆，故选项错误；
故选C．
【即学即练2】2．下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】
根据弧、弦、圆心角的关系及确定圆的条件可进行排除选项．
【详解】
解：完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故①错误；
任意不共线的三点确定一个圆，所以②错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以③错误；
外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，所以④正确；
∴真命题共有1个；
故选B．
【即学即练3】3．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】B
【分析】
根据圆的定义、外心的定义、圆心角与弧的关系、垂径定理，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：不在同一条直线上的三点确定一个圆，故A错误；
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故B正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C错误；
平分弦的直径垂直于弦（不是直径的弦），故D错误；
故选：B．
【即学即练4】4．下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中错误的结论有（　　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据确定圆的条件、垂径定理、圆心角的性质、外心性质即可．
【详解】
解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故③错误；
三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故④正确；
综上，错误结论的序号为：①②③，共有3个，
故选：C．
能力拓展

考法01 判断确定圆的条件
1、确定圆的条件
不在同一条直线上的三个点不能确定一个圆
【典例1】给出下列4个命题，其中是真命题的是（ ）
A．经过三个点一定可以作圆． B．等弧所对的圆周角相等．
C．相等的圆周角所对的弧相等． D．圆的对称轴是直径．
【答案】B
【分析】
根据确定圆的条件、圆周角定理、轴对称图形的概念判断即可．
【详解】
解：A、经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，本选项说法是假命题；
B、等弧所对的圆周角相等，本选项说法是真命题；
C、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本选项说法是假命题；
D、圆的对称轴是直径所在的直线，本选项说法是假命题；
故选：B．
考法02 圆的基本概念辨析
圆的基本概念
1、定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定点O叫做圆心；线段OA叫做半径；圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）；
以O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”
2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
3.直径：经过圆心的弦叫直径。注：圆中有无数条直径
4圆的对称性及特性：
(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴;
(2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性
5.圆弧：
(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”
以A,B两点为端点的弧.记作,读作“弧AB”.
(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD.
(3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作(用两个字母).
(4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作(用三个字母).
【典例2】下列说法：①三点确定一个圆；②圆中最长弦是直径；③长度相等的弧是等弧；④三角形只有一个外接圆．其中真命题有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】
根据确定圆的条件、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可．
【详解】
①不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；
②圆中最长弦是直径，是真命题；
③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题；
④三角形只有一个外接圆，是真命题；
故选：C．
分层提分

题组A 基础过关练
1．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
①没有边相等的信息不能判定其是正多边形；②符合正三角形的定义；③仅有各角相等没有边相等的信息不能判定其是圆内正多边形；④符合圆内接多边形的定义．
【详解】
①错误，如矩形，满足条件，却不是正多边形；②正确；③错误，如圆内接矩形，满足条件，却不是正多边形；④正确．共有2个正确．
故选B
2．给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（ ）
A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．不在同一直线上的三个点
【答案】D
【分析】
根据确定圆的条件，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】
A. 已知圆心，但半径不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，
B. 已知半径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，
C. 已知直径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，
D. 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，符合题意．
故选D．
3．已知⊙O的半径为1,点P到圆心的距离为m,且关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等实数根，则点P与⊙O位置关系是( )
A．点p在⊙O内 B．点p在⊙O上 C．点p在⊙O外 D．以上都不对
【答案】A
【分析】
关于x的方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac>0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围，进而判断点P与⊙O的位置关系．
【详解】
∵a=1，b=−2，c=m，
∴△=b2−4ac=(−2)2−4×1×m=4−4m>0，
解得：m<1.
则点P在⊙O内部.
故答案为A.
4．设⊙O的半径为5，圆心的坐标为(0，0)，点 P的坐标为(4，-3)，则点P在( ).
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．在⊙O内或外
【答案】C
【分析】
先利用两点间的距离公式计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系判断点P与⊙O的位置关系．
【详解】
解：∵点P的坐标是（-4，3），
∴OP==5，
∵OP等于圆O的半径，
∴点P在圆O上．
故选：C．
5．下列四个说法：①经过任意三点可以作一个圆；②三角形的外心一定在三角形内；③等腰三角形的外心必在底边的中线上；④矩形一定有外接圆，圆心是对角线的交点.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】利用确定圆的条件、三角形的外心的定义、等腰三角形的性质及外接圆的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①经过任意不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故错误；
②三角形的外心可能在三角形的外部或斜边上，故错误；
③等腰三角形的外心肯定在底边上的中线所在直线上，故错误；
④矩形一定有外接圆，圆心是对角线的交点，故正确．
故选A．
6．①直径是弦②弦是直径③半圆是弧④弧是半圆，以上说法中正确的是（　　 ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
【答案】D
【分析】根据直径和弦的关系判断说法①、②的正误；
再根据半圆和弧的关系判断说法③、④的正误，从而确定正确说法的个数.
【详解】
根据直径和弦的定义可知：直径是弦，但弦不一定是直径，故①正确，②错误；
再根据半圆和弧的定义可知：半圆是弧，但弧不一定是半圆，故③正确，④错误；
综上所述：正确的有①、③，共2个.
故选D.
7．设⊙O的半径为r，P到圆心的距离为d不大于r，则点P在( )
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．不在⊙O内 D．不在⊙O外
【答案】D
【分析】根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】
解：已知点P到圆心O的距离d不大于r，当大于r时点P在圆外，因而则点P不在⊙O外．
故选：D．
题组B 能力提升练
1．在同一平面内，的半径为，，则点与的位置关系是（ ）
A．在内 B．在上 C．在外 D．不能确定
【答案】A
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．
【详解】
∵⊙O的半径为7cm，OA=5cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选A．
2．已知的直径为10，点A在圆内，若OA的长为a，则a应满足　　
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
【详解】
的直径为10，
∴的半径长为5，
∵点A在圆内，
的长a的取值范围为：，
故选A．
3．已知⊙O的直径为10，OA=6，则点A在（ ）
A．⊙O上 B．⊙O外 C．⊙O内 D．无法确定
【答案】B
【分析】先求出⊙O的半径，再根据点与圆的位置关系即可求解．
【详解】
∵⊙O的直径为10，
∴⊙O的半径为5，
∵OA=6＞5，
∴点A在⊙O外．
故选B．
4．手工课上，小明用长为10π，宽为5π的绿色矩形卡纸，卷成以宽为母线的圆柱，这个圆柱的底面圆半径是( )
A．5π B．5 C．10π D．10
【答案】B
【分析】底面半径=底面周长÷2π．
【详解】
底面周长就是矩形的长，所以利用周长公式可得半径=10π2π=5，
故选B．
5．在平面直角坐标系中，已知、、都在上，则圆心的坐标为________．
【答案】
【分析】
根据题意，先求出AC、AB、BC的长度，得出E，D的坐标，则点M是AC与BC的垂直平分线的交点，分别求出直线DM和EM的解析式，再求出点M的坐标即可．
【详解】
解：如图：

∵、、，
∴点E的坐标为（1，1），点D坐标为（，），
∵，，
又∵DM垂直平分BC，EM垂直平分AC，
∴，，
∴，，
∴直线EM的解析式为：；
直线DM的解析式为：，
∴，
解得：，
∴点M的坐标为：（，）．
故答案为：（，）．
6．已知AB为⊙O的直径AC、AD为⊙O的弦，若AB=2AC=AD，则∠DBC的度数为________
【答案】15°或75°．
【分析】试题分析：本题需要分两种情况进行讨论，根据题意可得：∠ACB=∠ADB=90°，根据弦长之间的关系可得：∠ABC=30°，∠ABD=45°，当AC和AD在AB的异侧时，∠DBC=30°+45°=75°；当AC和AD在AB同侧时，∠DBC=45°－30°=15°．
7．如图，在平面直角坐标系中，点P(3，4)，⊙P半径为2，A(2.6，0)，B(5.2，0)，点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值为_____________.

【答案】1.5
【分析】如图,连接OP交P于M′，连接OM.

∵OA=AB，CM=CB，
，
∴当OM最小时，AC最小，
∴当M运动到M′时，OM最小，
此时AC的最小值 ．
题组C 培优拔尖练
1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点在线段上，点在轴上，将沿直线翻折，使点与点重合．若点在线段延长线上，且，点在轴上，点在坐标平面内，如果以点为顶点的四边形是菱形，那么点有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】
根据菱形的性质，分别以EC为边和EC为对角线进行讨论即可得出答案．
【详解】

∵点，点，
∴，
．
由折叠可知，CE是线段AB的垂直平分线，点C为AB中点，
∴．
∵以点为顶点的四边形是菱形，
若CE为菱形的边，则菱形的每个边的长度都为5，分别以点C,E为圆心，以5为半径画圆，所画的圆与y轴有4个交点，分别对应图中的，即此时对应的N点也有4个，分别为；
若以CE为菱形的对角线，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，所以先画出CE的垂直平分线，该垂直平分线与y轴的交点即为，对应的N点即为．
所以符合条件的N有5个，
故选：D．
2．下列命题：①若a＜1，则（a﹣1）=﹣；②圆是中心对称图形又是轴对称图形；③的算术平方根是4；④如果方程ax2+2x+1=0有实数根，则实数a≤1．其中正确的命题个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】分析：①a＜1时，1－a＞0，根据二次根式的非负性化简；②根据圆的性质判定；③＝4，本质是求4的算术平方根；④分a≠0和a＝0两种情况求a的范围.
详解：①若a＜1，则(a﹣1)，正确；
②圆是中心对称图形又是轴对称图形，正确；
③＝4的算术平方根是2，此选项错误；
④当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实数根，则4﹣4a≥0，解得a≤1，
当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，解得x＝，此选项正确．
故选C．
3．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是（ ）

A．点（1，0） B．点（2，1） C．点（2，0） D．点(2.5，1)
【答案】C
【详解】
试题分析：根据勾股定理可知A、B、C点到2的距离均为，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以.
故选C.
4．如图，以点P为圆心，以为半径的圆弧与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为

A． B．（4，2） C．（4，4） D．（2，）
【答案】C.
【分析】试题分析：过点P作PC⊥AB于点C；

即点C为AB的中点，
又点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），
故点C（4，0）
在Rt△PAC中，PA=2，AC=2，
即有PC=4，
即P（4，4）．
故选C．
5．如图，直线l：y=-x-2与坐标轴交于A，C两点，过A，O，C三点作⊙O1，点E为劣弧AO上一点，连接EC，EA，EO，当点E在劣弧AO上运动时（不与A，O两点重合），EC-EAEO的值是否发生变化？（ ）

A．12 B．13 C．2 D．变化
【答案】A
【分析】试题分析：对于直线l：y=-x-2，
令x=0，得到y=-2；
令y=0，得到x=-2，
∴OA=OC，又∠AOC=90°，
∴△OAC为圆内接等腰直角三角形，AC为直径，
如图，在CE上截取CM=AE，连接OM，
∵在△OAE和△OCM中，
OA＝OC∠OAE＝∠OCMAE＝CM，
∴△OAE≌△OCM（SAS），
∴∠AOE=∠COM，OM=OE，
∵∠AOC=∠AOM+∠MOC=90°，∠MOE=∠AOE+∠MOC，
∴∠MOE=90°，
∴△OME为等腰直角三角形，
∴ME=2EO，
又∵ME=EC-CM=EC-AE，
∴EC-AE=2EO，即EC-EAEO=2．

6．已知，如图，，点在第二象限运动，求的最小值为（ ）.

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意知点P的运动轨迹是以点M为圆心，半径的圆弧，当点P在BC上时，PC有最小值，据此可求解.
【详解】
如图，

∵A（-1，0），B（-3，0），
∴AB=2，
∵∠APB=30°，
∴点P的轨迹是以M为圆心，半径r=2的圆弧；
易得圆心坐标为， ，
.
故选
7．在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，P为边AD上一点，点A关于BP的对称的点为E，AD＝2，BC＝4，AB＝2，则△CDE的面积不可能为（ ）

A．4—2 B．3－ C．4—2 D．3－
【答案】A
【分析】如图，过点D作DF⊥BC于点F，则由题意易得四边形ABFD是正方形，△DFC是等腰直角三角形，DC=，点E在以B为圆心，BA为半径的上运动，
（1）由图可知，当点E运动到BD与的交点Q点时，点E到DC的距离最短=QD，此时△CDE的面积最小，
∵QD=BD-BQ=，CD=，
∴S△CDE最小=；
（2）由图可知，当点E运动到点F或点A处时，点E到DC的距离最大=FC，此时△CDE的面积最大，
由题意易得：FC=2，
∴S△CDE最大=；
综上所述，对比四个选项中的结果可知，△CDE的面积不可能为，
故选A.