福建省泉州实验中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

泉州实验中学2022—2023学年度下学期期中考试

初二年数学试卷

命题人：潘惠敏  核题人：吴敏

（满分：150分；考试时间：120分钟）

一、选择题（共10题，每小题4分，共40分）

1.1.分式有意义，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C. 且   D. 且

2.如图，在平行四边形ABCD中，，则的度数是（    ）

A.130°   B.115°   C.65°   D.50°

3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列结论错误的是（    ）

A.    B.

C.    D.

4.用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ）

A.    B.

C.    D.

5.如图，要使成为矩形，需添加的条件是（    ）

A.    B.

C.     D.

6.关于的方程的根的情况是（    ）

A.有两个不相等实数根   B.无实数根

C.有两个相等的实数根   D.只有一个实数根

7.如图，在菱形ABCD中，，点F为AD的中点，于E，则EF长为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，，，则BF的长为（    ）

A.    B.    C.    D.

9.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且，AE、BF相交于点O，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ）

A.①②③   B.②③④   C.①③④   D.①②④

10.定义：如果代数式（，、、是常数）与（，、、是常数），满足，，，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论：

（1）代数式：的“同心式”为；

（2）若与互为“同心式”，则的值为1；

（3）当时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数；

（4）若A、B互为“同心式”， 有两个相等的实数根，则；

其中，正确的结论有（    ）个.

A.1个   B.2个   C.3个   D.4个

二、填空题（共6题，每小题4分，共24分）

11.一种细胞的直径约为0.00065米，将0.00065用科学记数法表示为_________.

12.计算：_________.

13.如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE.若，则_________°.

14.若a是一元二次方程的一个根，则的值是_________.

15.菱形ABCD的一条对角线长为6cm，其边长是方程的一个根，则菱形ABCD的面积为_________.

16.已知：如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F将矩形纸片ABCD沿着EF翻折，使点C与点A重合，点D与点重合，连结CE，

①如图1，若，，则_________；

②如图2，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD、BC于点E、F，将平行四边形ABCD沿着EF翻折，使点A与点C重合，点D与点重合，连结CE，若，，，则四边形AFCE的面积是_________.

三、解答题（共9题，共86分）

17.（10分）解方程：（1）；

（2）.

18.先化简，再求值：，其中.

19.（8分）如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且，连接AE，CF.

求证：.

20.（8分）已知关于x的一元二次方程有实根.

（1）求实数k的取值范围.

（2）方程的两个实数根分别为，，若，求k的值.

21.（8分）如图，在中，，，.

（1）求作直线AE，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）D是直线AE上一点，AC与BD交于点O，且，求四边形ABCD的面积.

22.（10分）.如今“线上团购”已经成为人们生活中很常见的购物方式，现有一商家在春节前推出线上年货秒杀活动，让社区居民享受便利.11月11日当天，商家对每瓶某品牌的洗衣液进行线上秒杀活动，每瓶洗衣液秒杀价比活动前少15元.小敏妈妈用120元抢购的洗衣液数量是她在活动前用90元购买的数量的2倍.

（1）求活动前每瓶洗衣液的售价是多少.

（2）由于11月11日的秒杀活动很成功，商家决定在年前最后一天进行12：00整点限时秒杀，每瓶洗衣液的秒杀价不变，秒杀时长为1小时，每人限购1瓶.活动当天12：00准点在线购买的人数为50人，随后平均每30分钟新购买人数都增加了m%，截止13：00秒杀活动的销售额共5460元，求的值.

23.（10分）（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将沿AE折叠后得到，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G.猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论.

（2）类比探究：

如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.

（3）解决问题：

保持（1）中的条件不变，若G点是CD的中点，则矩形ABCD中，AD与AB的比值_________.

24.（12分）对于一个三位数的正整数P，满足各个数位上的数字都不为零，它的百位数字减去十位数字的差等于十位数字减去个位数字的差，那么称这个数P为“圆梦数”，对于任意一个“圆梦数”，将它的前两位数加上后两位数所得的和记为m；将它的百位数字和个位数字构成的两位数加上交换这个两位数所得到的新两位数的和记为n；把m与n的差除以9所得结果记为：.例如，因为2-4=4-6，所以246是一个“圆梦数”，所以，，则.

（1）请判断：258__________（是不是）圆梦数，并计算：的值；

（2）若、都是“圆梦数”其中，，，，，，x、y、a、b都是整数），规定，当时，求整数的值.

25.（12分）已知，在四边形ABCD中，，，点E在BC延长线上，连接DE，.

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，过点C作BE的垂线，交AD于点F，请求出BE，AF，DF之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，的平分线，交CD于G，交CF于H，连接FG，若，，，求BE的长.

泉州实验中学2022—2023学年度下学期期中考试

初二年数学试卷答案

命题人：潘惠敏  核题人：吴敏

（满分：150分；考试时间：120分钟）

一、选择题（共10题，每小题4分，共40分）

1.A  2.B  3.C  4.C  5.B  6.B  7.C  8.C  9.D  10.C

二、填空题（共6题，每小题4分，共24分）

11.   12.5  13.40  14.7  15.24  16.①；②15

三、解答题（共9题，共86分）

17.（1）解，，，

，

，

所以，；

（2）解：两边都乘以，去分母，得，

解得，

检验：当时，，

∴是原方程的解.

18.【解答】解：

当时，原式.

19.【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，，∴，

∴，∴，

在和中，

，

∴，∴.

20.（1）略

（2）∵方程的两个实数根分别为，，

∴，，

∵，∴，

∴，

解得，符合题意.故所求k的值为-3.

21.【解答】解：（1）如图所示，直线AE均为所求；

（2）如图所示，过A点作于F，

在中，，∴，

∵，∴，∴，

∵，，∴，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD的面积是.

22.解：（1）设活动前每瓶洗衣液的售价是元，

由题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

答：活动前每瓶洗衣液的售价是45元；

（2）由题意得：，

整理得：，

解得：或（舍去），

答：的值为20.

23.【解答】解：（1）.

理由如下：如图1，连接GE，

∵E是BC的中点，∴，

∵沿AE折叠后得到，

∴，∴，

∵四边形ABCD是矩形，

∴，∴，

∵在和中，，

∴，

∴；

（2）（1）中的结论仍然成立.

理由如下：如图2，连接FC，

∵E是BC的中点，∴，

∵将沿AE折叠后得到，

∴，，

∴，∴，

∵四边形ABCD为平行四边形，∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，∴；

即（1）中的结论仍然成立.

（3）设，

∵点G是CD中点，∴，

由（1）知，，

∵四边形ABCD是矩形，∴，

由折叠知，，

∴，

在中，根据勾股定理得，，

∴矩形的长与宽的比值为.

故答案为：.

24.【解答】解：（1）是，

.

（2）∵，，（，，，，x，y，a，b都是整数），

∴，

，

∵，∴，

整理得，即，

∵，

∴，

∵是“平衡数”，∴，∴，

则

∵，∴，解得，

∵为整数，且，∴或6或7，∴当或6时，取得值为-1或-3.

当时，，舍去，∴.

25.【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴，

∵，，

∴，∴；

（3）结论：.

理由：如图2，过点D作于N，

∵，∴，∴，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

∴四边形CFDN是矩形，∴，

∵，，∴，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴，

∴.

（3）如图3，过点B作于点M，延长FM至K，使.连接BK，

∵，∴，∴，

∵BG平分，

∴设，

∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴，∴，

∵，∴，

∴四边形BCFM是矩形，

∵，∴四边形BCFM是正方形，

∴，∴，

∵，，

∴，

∴，，，

∵，∴，

∴，∴，

在中，，，

∴，

∴，

∴.