湖南省岳阳市第七中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题

2023年上学期期中质量检测试卷

九年级 数学

一、选择题。（本题共8小题，每小题3分，满分24分）

1.在实数0.1，，0，中，最小的数是（    ）。

A. B. C.0 D.0.1

2.下图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（    ）

A. B. C. D.

3.下列计算正确的是（    ）。

A.  B.

C.  D.

4.在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0，9.3，8.6（单位：分）去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，这五个有效评分的平均数和众数分别是（    ）。

A.9.0，8.9 B.8.9，8.9 C.9.0，9.0 D.8.9，9.0

5.如图，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（    ）。

A. B. C. D.

6.下列命题是假命题的是（   ）。

A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

B.同角（或等角）的余角相等

C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

D.正方形既是矩形又是菱形

7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（    ）。

A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺

8.二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是（    ）。

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

二、填空题。（本题共8小题，每小题4分，满分32分）

9.要使分式有意义，则的取值范围为________。

10.关于的分式方程的解为，则常数的值为________。

11.如图，等腰底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最小值为________。

12.关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则________。

13.如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第（）个数是________（用含的代数式表示）。

14.在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球4个，其余为白球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为，则袋中白球的个数为________。

15.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上。若测得，，，则河的宽度等于________。

16.如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点。

①若，则的长为________；

②若，则________。

三、解答题。（本题共8小题，满分64分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算：

18.（6分）先化简，再求值：，其中。

19.（8分）如图，已知平行四边形。

（1）若，是上两点，且，，求证：四边形是矩形；

（2）若，，，求平行四边形的面积。

20.（8分）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，将于2022年2月4日开幕，共设7个大项，15个分项，109个小项。学校从九年级同学中随机抽取若干名，组织了奥运知识竞答活动，将他们的成绩进行整理，得到如下不完整的频数分布表、频数直方图与扇形统计图。（满分为100分，将抽取的成绩分成，，，四组，每组含最大值不含最小值）

（1）本次知识竞答共抽取九年级同学________名，组成绩在扇形统计图中对应的圆心角为________°；

（2）请将频数直方图与扇形统计图补充完整；

（3）学校将此次竞答活动的组成绩记为优秀。已知该校初、高中共有学生2400名，小敏想根据九年级竞答活动的结果，估计全校学生中奥运知识掌握情况达到优秀等级的人数，请你判断她这样估计是否合理并说明理由；

21.（8分）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点。

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求直线与轴的交点的坐标及的面积；

（3）求不等式的解集（请直接写出答案）。

22.（8分）长安街道积极响应垃圾分类号召，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，购买3个垃圾箱和2个温馨提示牌花费280元，购买2个垃圾箱和3个温馨提示牌花费270元。

（1）求垃圾箱和温馨提示牌的单价各多少元？

（2）购买垃圾箱和温馨提示牌共100个，如果垃圾箱个数不少于温馨提示牌个数的3倍，请你写出总费用元与垃圾箱个数个之间的关系式，并说明采用怎样的方案可以使总费用最低，最低为多少？

23.（10分）（1）【证明体验】如图1，正方形中，、分别是边和对角线上的点，。①求证：；②________；

（2）【思考探究】如图2，矩形中，，，、分别是边和对角线上的点，，，求的长；

（3）【拓展延伸】如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点，、分别是线段和上的点，，，求的长。

图1               图2                     图3

24.（10分）如图，直线：与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点。

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第一象限内，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值；

（3）在（2）的条件下，当取得最大值时，动点相应的位置记为点。

①写出点的坐标；

②将直线绕点按顺时针方向旋转得到直线，当直线与直线重合时停止旋转，在旋转过程中，直线与线段交于点，设点、到直线的距离分别为、，当最大时，求直线旋转的角度（即的度数）。

2023年上学期期中质量检测试卷

九年级  数学

一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

1  A  2 B  3 D  4C   5  D 6.A   7B    8B

二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）

9    x≠1    10.-1        11、8        12   

 13. 、  14、3      15、.   16、    2.24

三、解答题（本大题共8个小题，共64分）

17.解：原式

18.【答案】原式

【详解】原式，

当时，原式

19、【答案】(1)证明见详解；（2）

1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，

∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，

∴四边形AMCN是平行四边形，

∵AC＝2OM，

∴MN＝AC，

∴四边形AMCN是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB＝CD＝3，

∴∠BAD+∠ABC＝180°，

∵∠BAD＝120°，

∴∠ABC＝60°，

∵AB⊥AC，

∴∠BAC＝90°，

∴∠BCA=30°

∴BC=6

∴，

∴平行四边形ABCD的面积．

20、【答案】解：（1）40 72

（2）补全频数直方图与扇形统计图如图所示.

（3）不合理.理由：此次“知识竞答”活动随机抽查的是九年级学生，产生的样本对于全校学生而言不具有代表性（答案合理即可）.

21、（1）∵A（－4，2）在上，

∴m=－8．∴反比例函数的解析式为．…………………………1分

∵B（n，﹣4）在上，∴n=2．∴B（2，－4）．

∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），

∴，解之得．

∴一次函数的解析式为．…………………………3分

（2）∵C是直线AB与x轴的交点，

∴当y=0时，x=－2．∴点C（－2，0）．…………………………4分

∴OC=2．∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=．……………………6分

（3）不等式的解集为：0＜x＜2或x＜－4．…………………………8分

22.【答案】（1）垃圾箱和温馨提示牌的单价分别是60元与50元；（2）w＝10m+5000，购买垃圾箱75个，温馨提示牌共25个，可以使总费用最低，最低为5750元

【详解】解：（1）设垃圾箱和温馨提示牌的单价分别是x元与y元，

，

解得：，

答：垃圾箱和温馨提示牌的单价分别是60元与50元；

（2）由题意得：w＝60m+50（100﹣m）＝10m+5000，

∵垃圾箱个数不少于温馨提示牌个数的3倍，

∴m≥3（100﹣m），

解得，m≥75，

∵10＞0，

∴w随着m的增大而增大，

∴当m＝75时，w取得最小值，此时w＝10×75+5000＝5750，100﹣75＝25，

答：购买垃圾箱75个，温馨提示牌共25个，可以使总费用最低，最低为5750元．

23.、（1）①见解析；②；（2）3；（3）2．

【分析】（1）①求出，，即可证明；

②求出，由得；

（2）连接交于点O，先证明，再通过计算，得出，求出，证明，根据相似三角形的性质列式求解即可；

（3）连接交于O点，先求出，，证明，可得，求出、的长，然后根据，得出，求出，然后证明，根据相似三角形的性质列式求解即可．

【详解】（1）①证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∵四边形为正方形，，为对角线，

∴，

∴；-------------------------------------------------------------------2

②解：∵四边形为正方形，，为对角线，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

故答案为：；---------------------------------------------------------------------------------4

（2）解：连接交于点O，

∵，，

∴，

∵在矩形中，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴，------------------------------------------------------------------------6

∴，

∵，

∴；-------------------------------------------------------------------------------------------7

（3）解：连接交于O点，

∵在菱形中，，，，

∴，，

在中，，

∴，，

∵为菱形对角线，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，即，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，------------------------------------------------------------------9

∴，∴．-------------------------------10

24、(1)

(2)，

(3)①  ②

解：（1）把代入，得，

∴，把代入，

解，∴，

∴二次函数解析式为；

（2）把代入，得，

∴或3，∴抛物线与男婴的交点横坐标为和3，

∵在抛物线上，且在第一象限内，

∴，把代入，

得，∴的坐标为，由题意知：的坐标为，连接，如图1，

，

∴当时，取得最大值.

（3）①由（2）可知：的坐标为；

②过点作垂直于于点，过点作垂直于于点，则，，∵，当取得最大值时，得最小值，当时取得最小值.根据和可得，∵，∴，当时，，∴.